Concetti base, la Capitalizzazione -MATEMATICA FINANZIARIA
MATEMATICA FINANZIARIA
La matematica finanziaria è quella branchia della matematica che si occupa di studiare i criteri di valutazione delle operazioni finanziarie, ovvero di tutte quelle operazione che comportano, in situazioni di certezza, di uno scambio tra somme di denaro riferite a istanti temporali diversi.
FLUSSI DI CASSA NEL TEMPO
La matematica finanziaria analizza dunque i flussi di cassa nel tempo.
La domanda a cui tenteremo di rispondere è:
Flussi di cassa complessivamente identici hanno lo stesso valore se avvengono in epoche diverse?
Per chiarire questo concetto facciamo subito un esempio chiarificatore.
Supponete che dovete ricevere da un amico a cui avete prestato una certa somma di denaro 100 euro.
Ci sono tre opzioni di rimborso:
- 100 euro subito oggi
- 50 euro subito e 50 auro tra un mese
- 2 euro al mese per 50 mesi
Sembra abbastanza chiaro a tutti che l’opzione probabilmente meno preferite sia l’ultima.
Ora dovreste avere chiaro che stessi importi a tempi diversi potrebbero non avere lo stesso valore.
Il prossimo step sarà quello di definire il concetto di situazione finanziaria elementare (SFE)
SITUAZIONI FINANZIARIE ELEMENTARI
Il primo tassello base su cui si basa la matematica finanziaria è il concetto di situazione finanziaria elementare (SFE).
Per comprendere più realisticamente meglio concetto immaginate la seguente situazione.
Decidete di investire oggi per la prima volta la cifra di 100 euro.
Dopo due anni guardate il fondo in cui avete investito e scoprite che la vostra ricchezza investita ammonta a 150 euro.
Anche essere soddisfatti e prelevare il bottino decidete di lasciarla nel fondo di investimento per altri tre anni.
Passati ormai 5 anni dal vostro primo investimento consultate il fondo e siete lieti di vedere che il vostro montante (capitale più interessi) ammonta ora a 210 euro.
Quello che abbiamo appena osservato è un’operazione finanziaria, il cui andamento può essere descritto attraverso tre coppie ordinata di questo tipo
(0; 100), (2;150), (5; 210),
Ogni coppia ordinata descrive una SFE.
La prima componente della coppia identifica il tempo, mentre la seconda componente l’importo disponibile nel fondo in quell’istante temporale.
ESEMPIO
Per dare una definizione più “raffinata” e generica possiamo vedere la SFE come una coppia ordinata di valori (t;x) dove
T=tempo di riferimento
X= cifra o importo ad esso relativa
L’insieme di tutte le SFE può descrivere l’andamento di una certa operazione, ad esempio un investimento.
CAPITALIZZAZIONE E ATTUALIZZAZIONE
Vediamo ora di descrivere i due concetti cardine su cui si basa lo studio della matematica finanziaria:
- La capitalizzazione
- L’attualizzazione
CAPITALIZZAZIONE
È un’operazione nella quale un soggetto economico si priva di una disponibilità di denaro oggi nella prospettiva di averne una superiore o uguale in futuro.
Investendo un certo capitale C, l’investitore ottiene dopo un certo tempo t un montante M, in cui oltre al capitale investito C, ci sono anche gli interessi I
C= capitale inizialmente investito
M= montante
I=interesse
Come si può notare dal grafico abbiamo inserito il capitale C sotto il tempo zero, mentre il montante M all’epoca t.
Il montante M risulta essere pari al capitale C sommato agli interessi I che sono maturati.
Scritto sinteticamente in formule:
M = C + I
Il processo di capitalizzazione parte dunque da un capitale investito oggi (epoca iniziale) e cresce nel tempo fino ad un’epoca futura t, maggiorato di interessi
Per capire meglio questo concetto con un esempio concreta.
Immaginiamo di investire al tempo 0 la cifra di 100 euro e di ritirare dopo 3 anni 125 euro. In tal caso avremo rilevato un interesse pari a 25 euro.
ATTUALIZZAZIONE
Cerchiamo ora di descrivere un’operazione di attualizzazione
È un’operazione nella quale un soggetto economico per poter entrare anticipatamente in possesso di una somma disponibile ad una scadenza futura, rinuncia ad una parte di essa
C= capitale futuro
V=valore attuale
T= scadenza futura
D=sconto
Come potete vedere ho adottato due simbologie.
Nella seconda simbologia M è concepito come il valore alla scadenza t del debito da rimborsare.
Mentre C è la cifra che serve a rimborsare oggi (o a una data anticipata) la cifra M.
Con D viene indicato lo sconto (discount in inglese).
Tale sconto è pari alla differenza tra il valore a scadenza M e la cifra C da rimborsare oggi.
Detta in formule potremo scrivere:
C = M – D
oppure
M – C = D
Per fare un esempio concreto di questa situazione immaginate di avere un debito che vi scade tra due anni dell’importo di 100 euro (valore nominale della cambiale).
Vi accordate con il vostro credito per saldare anticipatamente la cifra di 80euro.
In tal modo potrete beneficiare di uno sconto pari a 20 euro.
CAPITALIZZAZIONE
Cerchiamo ora di analizzare più nel dettaglio il processo della capitalizzazione.
Ricordiamo che la capitalizzazione è un’operazione nella quale un soggetto economico si priva di una disponibilità di denaro oggi nella prospettiva di averne una superiore o uguale in futuro.
Andiamo ora a definire meglio i concetti di interesse, tasso di interesse e intensità di interesse.
INTERESSE, TASSO DI INTERESSE E INTENSITA’ DI INTERESSE
Immaginiamo di disporre in un generico tempo t1 la cifra che chiameremo M(t1), ovvero montante al tempo t1.
Chiameremo invece M(t2) la cifra disponibile al tempo t2.
Possiamo rappresentare questa situazione sulla linea del tempo in questo modo.
Oppure se siete più matematici potremmo anche vederla in questo altro modo in un sistema cartesiano.
Sull’asse delle x rappresentiamo il tempo, mentre sull’asse y (ordinate) rappresentiamo l’andamento del nostro montante, ovviamente crescente.
INTERESSE
Definiamo interesse la differenza tra il montante finale e quello inziale
TASSO D’INTERESSE
Il tasso di interesse è il rapporto che esiste tra l’interesse prodotto da t1 a t2, I(t1;t2) e il montante iniziale, M(t1)
INTENSITA’ DI INTERESSE
Definiamo intensità di interesse il rapporto che esiste tra il tasso di interesse, i(t1;t2) e il tempo intercorrente tra l’epoca iniziale e quella finale, t2-t1.
ESEMPIO PRATICO
Cerchiamo di capire meglio quello che abbiamo imparato attraverso questo semplice esempio.
Consideriamo la seguente SFE descritta dai due vettori (2;100) e (5;120)
Potremo vedere questa situazione sulla linea del tempo oppure nel grafico cartesiano:
Calcoliamo ora:
Interesse da 2 a 5, I(2;5)
Tasso di interesse da 2 a 5, i(2;5)
Intensità di interesse da 2 a 5, gamma(2;5)
