Le equazioni di secondo grado sono equazioni polinomiali in cui eguagliamo un polinomio di secondo grado a zero.
La forma caratteristica con cui si presentano è:
Dove:
Grazie a questi coefficienti è possibile trovare le soluzioni di questo tipo di equazione
La formula risolutiva delle equazioni di secondo è:
Dove ∆ è detto anche discriminante (o delta) dell’equazione.
Sulla base del valore del discriminante il numero delle soluzioni può variare.
ESEMPI DI EQUAZIONI DI SECONDO GRADO CON DUE SOLUZIONI DISTINTE
L’equazione di secondo grado presenta due soluzioni reali e distinte quando il discriminante (delta) ∆ è positivo.
La scrittura matematica che utilizziamo per descrivere questa situazione è:
Esistono due soluzioni x1 e x2 che appartengono al campo dei numeri reali con x1 che è diversa da x2
Svolgiamo questi tre esempi:
ESEMPIO 1 – EQUAZIONE DI SECONDO GRADO
Per prima cosa individuiamo i valori dei coefficienti:
Ora andiamo a calcolare il discriminante:
Calcoliamo le soluzioni con la formula risolutiva:
Da cui otteniamo che:
Ecco le soluzioni!
Vi faccio notare che era possibile anche applicare la scomposizione del trinomio speciale di secondo grado per risolvere questa equazione.
Questo dal momento che le soluzioni sono numeri relativi.
Con questo ultimo metodo avremmo proceduto in questo modo:
ESEMPIO 2
Per prima cosa individuiamo i valori dei coefficienti:
Ora andiamo a calcolare il discriminante:
Calcoliamo le soluzioni con la formula risolutiva:
Da cui otteniamo che:
Ecco le soluzioni!
Notiamo che avremmo potuto risolvere questa equazione con la scomposizione del trinomio di secondo grado.
Ciò dal moment che le soluzioni sono numeri razionali.
ESEMPIO 3
Per prima cosa individuiamo i valori dei coefficienti:
Ora andiamo a calcolare il discriminante:
Calcoliamo le soluzioni con la formula risolutiva:
In questo caso non potevamo utilizzare la classica scomposizione del trinomio speciale (o caratteristico) di secondo grado.
Questo dal momento che nella soluzione compaiono numeri irrazionali (√5)
Vi svelo un piccolo segreto su questo esercizio.
La soluzione positiva:
È un numero molto importante in matematica e si chiama 𝜑.
Esso identifica la sezione aurea.
Se vi state appassionando alla matematica vi consiglio vivamente questa lettura.
Si tratta della “sezione aurea” di Mario Livio.
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EQUAZIONI DI SECONDO GRADO CON SOLUZIONI COINCIDENTI
L’equazione di secondo grado può avere due soluzioni reali coincidenti.
Questo avviene quando il discriminante (delta, ∆) è uguale a zero.
Per indicare con una scrittura matematica questa situazione scriviamo:
Quando il delta dell’equazione è pari a zero allora esistono due soluzioni reali (appartenenti ad R) x1 e x2 con x1 uguale a x2
Alcuni testi parlano dell’esistenza di una sola soluzione reale.
Se andiamo a sostituire il delta nulla nella formula generica:
Otteniamo che l’unica soluzione è:
Vediamo questo esempio
Per prima cosa individuiamo i valori dei coefficienti:
Ora andiamo a calcolare il discriminante:
Calcoliamo la soluzione con la formula risolutiva:
In realtà le soluzioni sono due e coincidenti:
DISCRIMINANTE NULLO E QUADRATO DI BINOMIO
Quando il discriminante è pari a zero possiamo anche certamente affermare che il polinomio di secondo grado è certamente un quadrato di binomio.
Riprendiamo in mano l’ultimo esempio svolto:
Non ci vuole molto a capire che sul lato sinistro vi è un quadrato di binomio:
Noi sappiamo che un quadrato vale zero, quando la base del quadrato vale zero.
Questa è un’equazione di primo grado:
METODO DEL COMPLETAMENTO DEL QUADRATO
Un’equazione di secondo grado (o quadratica) si manifesta nella forma:
E la sua formula risolutiva è:
Ma da dove viene questa formula???
Questa formula è collegata alla formazione di un quadrato di binomio e alla regola per il suo completamento.
Vediamo un caso concreto:
Isoliamo per prima cosa le x a sinistra e spostiamo i numeri a destra:
Sulla sinistra abbiamo:
Dobbiamo chiederci quale numero possiamo aggiungere per completare il quadrato di un binomio:
La risposta in questo caso è abbastanza facile: +4
Ritorniamo ora all’equazione e sommiamo +4 da ambo i lati:
Sulla sinistra abbiamo un quadrato di binomio che è sempre positivo nei numeri reali.
Sulla destra abbiamo un numero certamente positivo, quindi l’equazione ammette soluzioni.
Imponiamo ora la radice quadrata a sinistra e a destra:
Attenzione che sul lato sinistro resta ora un modulo o valore assoluto:
Leviamo ora il modulo:
Da cui ricaviamo le due soluzioni:
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PROCEDURA CON FORMULA E TRINOMIO SPECIALE
Da notare che le soluzioni appena trovate sono le stesse che avremmo trovato usando la formula risolutiva oppure con la scomposizione del trinomio speciale.
In particolare con la formula avremmo:
Mentre se avessimo utilizzato il trinomio speciale:
DIMOSTRAZIONE DELLA FORMULA RISOLUTIVA
La dimostrazione della formula risolutiva si basa sulla creazione di un quadrato di binomio sul lato sinistro dell’equazione.
Vediamola passo a passo:
Partiamo dall’equazione di secondo grado nella sua forma generica:
Spostiamo a destra il termine c cambiandone il segno
Ora moltiplichiamo tutto il lato di sinistra (e anche di destra) per 4a
Completiamo il quadrato di binomio sulla destra sommando b^2 .
Ovviamente facciamo questa operazione anche sul lato destro, di modo da mantenere intatta l’equazione
A sinistra abbiamo ora un quadrato di binomio, che scomponiamo:
Da notare questa equazione ammette soluzioni solamente se la quantità sul lato destro (il delta) è positiva!
Questo dal momento che abbiamo a sinistra un quadrato, che è certamente positivo!
Imponiamo la radice quadrata ad entrambi i membri dell’equazione.
Eliminiamo ora la radice quadrata introducendo il valore assoluto sulla sinistra:
Eliminiamo ora il valore assoluto:
Ora non ci resta che risolvere un’equazione di primo grado in x:
Ecco la nostra formula risolutiva!
EQUAZIONI DI SECONDO GRADO SENZA SOLUZIONE (REALE)
L’equazione di secondo grado:
è priva di soluzioni reali quando il discriminante è negativo.
Se osserviamo la formula risolutiva appena dimostrata:
ci rendiamo subito conto che la quantità sotto radice (il discriminante)
non può essere minore di zero (negativo)
Dunque se ciò dovesse avvenire scriviamo:
Non esiste nessuna x appartenente al campo dei numeri reali R
Oppure anche:
x non appartiene a R
Consideriamo per esempio il seguente caso:
L’equazione è impossibile poiché il discriminante è negativo!
Se tentassimo infatti di risolvere questa equazione avremmo:
Ma la radice quadrata di –3 non esiste (nei reali) poiché non riusciamo a determinare nessun numero che elevato alla seconda dia –3
ALTRI ESERCIZI CON EQUAZIONI DI SECONDO GRADO
Vi lascio questo file in PDF per vedere altri esercizi:
https://andreailmatematico.it/wp-content/uploads/2020/06/3-Equazioni-di-secondo-grado.pdf
UNO SGUARDO VERSO LE SOLUZIONI COMPLESSE
Quando il discriminante è negativo non troviamo nessuna soluzione reale.
E facciamo bene a sottolineare questo termine: soluzione reale.
Infatti qualcuno che si chiamava Rafael Bombelli (1526 – 1572) aveva scoperto i numeri immaginari.
In particolare l’unità fondamentale di questa teoria era una certa unità immaginaria i che elevata alla seconda ci restituisce un numero negativo.
Quindi questo concetto ci permette di calcolare la radice quadrata di –1:
Ma più in generale ci permette di calcolare la radice quadrata di un qualsiasi numero negativo.
Ad esempio la radice quadrata di –3 è:
Si creano così dei nuovi numeri, detti numeri complessi che si possono scrivere nella forma generica:
Questo nuovo campo di numeri complessi (ℂ)è un ampliamento dell’insieme dei numeri reali.
I numeri complessi stravolgono il volto dell’equazioni di secondo grado, che adesso ammettono sempre due soluzioni.
Ritorniamo infatti ai risultati che abbiamo trovato per l’equazione di prima:
Le due soluzioni complesse sono:
Un altro matematico di nome Carl Friedrich Gauss (1777 – 1855) ha avuto la brillante idea di creare il piano complesso e disegnare questi numeri immaginari come dei vettori.
Le soluzioni dell’equazioni precedente li possiamo rappresentare come vettori coniugati.
EQUAZIONI DI SECONDO GRADO INCOMPLETE
Un’equazione di secondo grado:
Si dice ella forma incompleta quando uno dei coefficienti (o entrambi) b e c valgono zero.
Chiaramente non è possibile che si annulli il termine a, poiché si creerebbe un’equazione di primo grado:
A secondo dei termini che si annullano parliamo di equazioni incomplete:
- Spuria
- Pura
- Monomia
EQUAZIONE DI SECONDO GRADO SPURIA
Un’equazione di secondo grado è spuria quando si annulla il termine noto c.
In questo caso basta che raccogliamo a fattor comune la x e applichiamo la legge di annullamento del prodotto
Consideriamo per esempio la seguente equazione spuria di secondo grado:
EQUAZIONE DI SECONDO GRADO PURA
L’equazione di secondo grado si dice pura quando si annulla il coefficiente b della x.
In questo caso isoliamo il quadrato della x sul lato sinistro:
Nel caso in cui il termine di destra è positivo abbiamo due soluzioni reali uguali e opposte:
Mentre se il termine destro è negativo non abbiamo nessuna soluzione reale
Consideriamo la seguente equazione pura:
Chiaramente potevamo giungere alla stessa soluzione riconoscendo una differenza di quadrati:
Se avessimo avuto invece una somma di quadrati l’equazione sarebbe risultata impossibile.
Non esiste nessun numero reale che elevato alla seconda sia negativo!
Se preferiamo proseguire applicando la regola per le equazioni pure:
Non esiste nessuna radice quadrata (reale) di numeri negativi
Se però agiamo nei numeri complessi avremo due soluzioni immaginarie pure:
EQUAZIONE DI SECONDO GRADO MONOMIA
Quando si annullano contemporaneamente sia il coefficiente b della x che il termine noto c, l’equazione incompleta è detta monomia.
Si tratta del caso più semplice di equazione di secondo grado in quanto presenta entrambe le soluzioni pari a zero.
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STORIA DELLE EQUAZIONI DI SECONDO GRADO
La storia dell’equazione di secondo grado va di pari passo con l’evoluzione dell’umanità.
Le prime equazioni di secondo grado si fanno ricondurre alla civiltà babilonese a partire dal secondo millennio a.C.
Tutto questo sapere si diffuse in India e continuò più tardi con l’espansione del mondo arabo.
Fu in particolare la figura di Al-Kwarizmi (780-850)a dare un forte stimolo alla sua diffusione.
A partire dal Basso medioevo la matematica Torna in Italia e si diffonde in Europa.
Grazie al matematico bresciano Niccolò Tartaglia (1500 – 1557) ( fu possibile risolvere l’equazione di terzo grado, sfruttando i risultati di Al-Kwazimi:
Il matematico Cartesio (1596 – 1650) ha una rappresentazione tutta sua delle equazioni di secondo grado.
EQUAZIONI DI SECONDO GRADO E LA PARABOLA
Le soluzioni delle equazioni di secondo possono essere viste nel sistema cartesiano come ipunti di intersezione di una parabola con l’asse delle x.
Se consideriamo ad esempio l’equazione:
Il termine di sinistra può essere rappresentato dalla parabola:
Mentre il termine di destra è l’asse delle x (ascisse), ovvero la retta di equazione:
I punti di intersezione tra queste due funzioni rappresentano le soluzioni a questa equazione
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Se hai qualche domanda scrivila nei commenti
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