La scomposizione dei polinomi è una procedura matematica mediante la quale si riscrive un certo polinomio come una moltiplicazione di potenze di polinomi primi tra di loro.
Per polinomi ad una incognita potremmo anche scrivere:
Dove:
Tale procedure vie anche detta fattorizzazione polinomiale in fattori primi.
Ne sono esempi:
La scomposizione dei polinomi risulta molto utile per:
- Determinare minimi comuni multipli (mcm) e massimi comuni divisori (MCD) tra polinomi
- Semplificare frazioni algebriche
- Fare la somma di frazioni algebriche
In generale la scomposizione serve ad indagare l’essenza fondamentale di un polinomio, oltre che riscriverlo in forma unificata.
In questo articolo vedremo:
- Cosa si intende per fattore primo
- Quali sono i principali di tipi di scomposizione di polinomi
- Principali utilizzi della procedura
I FATTORI PRIMI
I fattori primi sono gli elementi fondamentali della matematica.
Tutti gli elementi della matematica possono essere riscritti in termini di fattori primi.
Siano essi numeri, monomi, polinomi, radicali, frazioni, o altre strutture matematiche più o meno complesse.
Nell’antica Grecia secondo Socrate e Aristotele, tutta la vita era basata su quattro elementi fondamentali:
terra, fuoco aria e acqua.
Tutta la realtà può essere vista in funzione di questi elementi essenziali
Successivamente qualcuno ha pensato bene di integrare questa teoria con gli studi astrologici e la religione.
Da qui nasce il moderno oroscopo, il cui scopo è descrivere la realtà, la vita e la sua evoluzione.
Tale impostazione è stata ritenuta valida per millenni dagli alchimisti, con alcune diversità da cultura a cultura.
Se chiedeste ad un chimico moderno di cosa è fatta la realtà e quali sono i suoi elementi essenziali, probabilmente vi risponderebbe mostrandovi le tavole periodiche degli atomi.
Anzi probabilmente aggiungerebbe anche che ogni atomo presente nella tavola può essere scomposto in elementi ancora più essenziali.
Mi riferisco a elettroni, neutroni e protoni.
La teoria sugli atomi si fa risalire al filosofo greco Democrito (460 a.C. – 370 a.C.).
Secondo un altro filosofo precedente a Democrito tutta la realtà poteva essere ricondotta ad elementi matematici.
Questo matematico era Pitagora di Samo (580 a.C. – 495 a.C.), famosissimo per il Teorema di Pitagora sui triangoli rettangoli.
Il motto di Pitagora era “tutto è numero“.
Pitagora era convinto che ogni aspetto del reale potesse essere visto come il rapporto di numeri naturali, quelle che oggi chiamiamo frazioni o numeri razionali.
Per approfondire i temi della matematica vi consiglio di vedere questo video, tratto dalla playlist STORIA DELLA MATEMATICA.
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Nella teoria numerica moderna i fattori primi o numeri primi rappresentano in modo analogo i mattoncini fondamentali della matematica.
Un numero primo è per definizione un numero che può essere diviso solo per se stesso o per 1.
Sotto vi riporto la collocazione dei numeri primi nei primi 100 numeri naturali.
Come si può notare la collocazione di questi numeri non sembra seguire un andamento prevedibile.
Questo lo si capisce meglio quando osserviamo i primi 1.000 o anche i primi 10.000 o 100.000 numeri naturali.
I numeri primi rappresentano ancora oggi uno dei grandi misteri irrisolti della matematica.
E tutta la ricerca sembra confluire attorno ad una strana e misteriosa funzione, la funzione zeta.
Per approfondire questo aspetto vi rimando a questo video di YouTube.
Ogni numero naturale (eccetto 1 e 0) può essere riscritto come il prodotto di potenze che hanno per base numeri primi ed esponenti numeri naturali.
Questa si definisce scomposizione dei numeri o fattorizzazione dei numeri.
Ne sono esempi:
Ovviamente dove non c’è l’esponente significa che questo vale 1.
Queste immagini vi saranno certamente familiari dai tempi delle scuole elementari e medie
LA SCOMPOSIZIONE DEI POLINOMI E I FATTORI PRIMI
I polinomi sono strutture più complesse rispetti ai numeri.
Dunque possiamo vedere la scomposizione dei polinomi come un ampliamento della scomposizione numerica.
Lo scopo finale è comunque sempre lo stesso:
Riscrivere un polinomio come il prodotto di polinomi più semplici, detti appunto polinomi primi.
Esempi di polinomi primi sono:
Questi sono paragonabili ai numeri primi.
METODI DI SCOMPOSIZIONE DI POLINOMI
Passiamo ora alla domanda principale.
Come si scompone un polinomio in fattori primi?
Addentriamo ora nella questione più scolastica e vediamo come funziona la scomposizione dei polinomi.
Per scomporre un polinomio esistono dei metodi e li sveleremo partendo dal più semplice via via aumentando il grado difficoltà.
Compliamo un elenco che andremo via via a seguire.
Per cominciare al livello più basso ci sono i raccoglimenti:
A seguire troviamo i prodotti notevoli, tra cui ricordiamo:
- Quadrato di binomio
- Differenza di quadrati
- Trinomio speciale di secondo grado
- Cubo di binomio
- Somma e differenza di cubi
Una sezione a parte potrebbe essere i trinomi speciali di secondo grado.
Anche se molto spesso io stesso li faccio rientrare tra i prodotti notevoli.
Vediamoli uno a uno.
RACCOGLIMENTO A FATTOR COMUNE
Il tipo più semplice di scomposizione di un polinomio è certamente il raccoglimento a fattor comune.
Matematicamente funziona in questo modo.
Supponiamo di trovarci di fronte ad un polinomio del tipo:
In questo caso si tratta di un trinomio, un polinomio composto da tre termini.
Non è difficile capire che tra tutti i termini del polinomio vi è in comune la a.
Andiamo dunque a raccogliere il fattore comune e a scrivere tutto il resto dentro una parentesi:
Ovviamente in mezzo vi è il simbolo di per (·).
Facciamo un paio di esempi:
Sono sicuro che questi due esempi sono stati compresi.
Attenzione che la parte comune potrebbe essere anche un polinomio.
Consideriamo questo esempio di scomposizione:
Come possiamo notare il testo è suddiviso in due parti separate dal segno meno (-).
Queste due parti hanno in comune il polinomio (x+y)
Che andiamo a raccogliere a fattor comune:
RACCOGLIMENTO A FATTOR PARZIALE
La scomposizione dei polinomi aumenta il suo livello difficolta con il raccoglimento a fattor parziale.
In questo caso lo scopo è quello di suddividere il teso in parti e riconoscere all’interno di ogni parte un elemento comune.
Raccolto questo elemento comune ogni parte di testo dovrà presentare lo stesso elemento.
Si chiude infine con il raccoglimento a fattor comune.
Detta in questi termini sembra una questione assai complicata, ma proviamo a vedere la dinamica dei passaggi in un esempio semplice.
Consideriamo il seguente polinomio:
Tra i primi due termini vi è in comune una a, mentre tra gli ultimi due una b.
Raccogliamo ora a fattor parziale, ovvero la a tra i primi due e la b tra gli ultimi due.
Tale raccoglimento ha prodotto gli effetti desiderati, ovvero ha creato due parti di testo con la stessa parte in comune: (x+y).
Non ci resta ora che raccogliere a fattor comune questa parte:
Chiaramente possiamo anche scrivere:
Dal momento che il prodotto è commutativo.
Vediamo un esempio:
Notiamo che non è possibile effettuare un raccoglimento a fattor comune, dal momento che gli elementi del testo non presentano niente di comune (a parte 1).
Allora procediamo con il tentativo del raccoglimento parziale.
Raccogliamo la x tra i primi due termini e il 2y tra gli ultimi due:
Ecco ora che abbiamo la nostra parte comune (2x+y) che andiamo a raccogliere:
Da notare che per effettuare questo tipo di scomposizione è necessario che il polinomio presenti un numero pari di termini.
Vediamo un esempio con un polinomio con 6 termini.
In questo caso mi sono un po’ divertito a rendere più complicato il testo.
Comunque proviamoci e raccogliamo:
- 2 tra il primo e il terzo
- x tra il secondo e il quinto
- –3z tra il quarto e il sesto
A questo punto non ci resta che raccogliere il fattor comune (x+y)
Avremmo potuto scegliere un’altra strada per effettuare questa scomposizione di polinomi?
In effetti si!
Riscriviamo ancora una volta il polinomio di partenza:
Raccogliamo in questo modo:
- x tra il primo, il secondo e il quarto
- (+)y tra il terzo, il quinto e il sesto
Anche in questo caso ce l’abbiamo fatta!
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QUADRATO DI BINOMIO
La regola dello sviluppo di un quadrato di binomio è la seguente:
Quindi possiamo rileggere l’equazione da destra verso sinistra ed abbiamo la regola della scomposizione.
Se ci troviamo di fronte ad un polinomio in cui abbiamo due quadrati ed un doppio prodotto abbiamo un quadrato di binomio.
Nel caso generale dunque osserviamo il polinomio:
Osserviamo immediatamente la presenza di due quadrati:
Se proviamo ora a fare il doppio prodotto delle radici di questi quadrati:
Che è proprio il terzo termine del polinomio.
Dunque:
Proviamo ad esempio a considerare il seguente polinomio:
Come possiamo notare vi sono due quadrati:
Se facciamo il doppio prodotto delle radici quadrate:
Otteniamo proprio il termine centrale, dunque:
Badate bene al fatto che il doppio prodotto può anche essere negativo!
In tal caso significa che le basi sono tra di loro discordi.
Ad esempio il seguente polinomio:
Possiamo riscriverlo così:
Oppure anche cambiando il segno alla base:
DIFFERENZA DI QUADRATI
Nella scomposizione dei polinomi con i prodotti notevoli troviamo anche la differenza di quadrati.
In questo caso abbiamo un quadrato preceduto dal segno più e un quadrato preceduto dal segno meno.
Il caso generico della differenza di quadrati è una cosa del tipo:
In questo caso lo possiamo riscrivere come la somma delle radici per la differenza delle radici:
Consideriamo il seguente polinomio:
Notiamo che abbiamo due quadrati preceduti da segni discordi:
Possiamo dunque applicare la regola della differenza di quadrati:
ATTENZIONE ALLA SOMMA DI QUADRATI !!!
Mentre è possibile applicare la scomposizione dei polinomi per la differenza di quadrati, questo non risulta possibile per la somma.
Non possiamo trovare nessuna scomposizione per il binomio nella forma:
In realtà esistono alcune eccezioni a questa regola, ma queste sono di rango un po’ superiore a quanto stiamo facendo.
Quello che abbiamo detto è comunque confinato al campo dei numeri reali.
Se ci trovassimo infatti nel campo complesso potremmo affermare che:
Ma questa è una storia molto più grande.
SOMMA E DIFFERENZA DI CUBI
Quello che non vale per i quadrati vale di certo per i cubi.
In questo caso è possibile trovare una scomposizione sia per la somma di cubi che per la differenza di cubi.
Una somma di due cubi, scritta in generale così:
Si può scomporre come il prodotto tra il binomio delle radici cubiche:
che moltiplica il falso quadrato di questo binomio:
Notiamo che nel falso quadrato sono presenti i due quadrati:
Dunque ricapitolando:
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Ad esempio consideriamo questo semplice caso di somma di cubi:
Notiamo che:
Dunque il binomio delle basi (radici cubiche) è:
Mentre il falso quadrato è:
Dunque possiamo scomporre il polinomio:
La differenza di cubi:
si può vedere anche come una somma di cubi:
Pertanto non risulta difficile ricavare la formula di scomposizione:
Ad esempio:
TRINOMIO SPECIALE DI SECONDO GRADO
Una delle pagine più affascinante della scomposizione dei polinomi è quella del trinomio speciale di secondo grado.
Questo trinomio si presenta nella seguente forma generale:
Non c’è il minimo dubbio che questo sia un trinomio di secondo grado.
Ma cosa lo rende speciale?
La specialità in questo caso è data dal fatto che il coefficiente della x al secondo grado è pari a 1
Il coefficiente della x (s) lo chiamiamo somma
Mentre il termine noto (p) lo chiamiamo prodotto.
Per poter scomporre questo polinomio dobbiamo trovare due numeri A e B tali che:
la somma di A e B ci dia la somma s
mentre il prodotto di A e B ci dia il prodotto p
Il trinomio speciale verrà dunque riscritto in questo modo:
E la sua scomposizione finale è:
Consideriamo questi due esempi:
Nel primo caso:
I due numeri che risolvono il problema sono 2 e 3, infatti:
Dunque la scomposizione è:
Nel secondo caso:
I due numeri che risolvono il problema sono 2 e –3, infatti:
Dunque la scomposizione è:
HAI QUALCHE DOMANDA SULLA SCOMPOSIZIONE DEI POLINOMI???
Se hai qualche domanda scrivila nei commenti
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