LE EQUAZIONI

Le equazioni sono uno degli argomenti più affascinanti e più utili della storia della matematica.

Matematicamente  le equazioni sono un’uguaglianza tra due termini.

Quindi una cosa del tipo:

Esse possono essere delle identità perfette, come ad esempio:

Oppure delle uguaglianze in cui si cela un’incognita come per esempio:

In questo ultimo caso lo scopo è di trovare il valore della x, che qui vale 1. Infatti:

Le equazioni possono presentarsi in molte forme diverse, come queste:

Nel primo caso uno dei possibili valori della x è 3. infatti:

Mentre nel secondo vale 7.

Ovviamente lo scopo finale di questo ultimo tipo di equazioni è risolverle!

In questo articolo vedremo:

• Etimologia della parola equazione e un po’ di storia
• Come immaginare le equazioni
• Regole generali che valgono per le equazioni
• Classificazione delle equazioni

ETIMOLOGIA DELLA PAROLA EQUAZIONE E UN PO’ DI STORIA

Il termine equazione deriva dalla parola latina “aequatio” (che si legge “equazio”), il cui significato è uguaglianza.

A me piace più pensare al termine “aequalis” , che significa uguale.

E ricondurlo al fatto che in mezzo all’equazione ci sta proprio il simbolo di uguale (=).

Il termine equazione in senso matematico fu utilizzato nel Liber Abaci dal matematico Leonardo Fibonacci.

In quell’epoca ci troviamo nel Basso medioevo (1000-1492) e ci  si stava riprendendo dal declino dell’Alto medioevo, dopo il crollo dell’impero Romano.

A quell’epoca nacquero nuove tecnologie agricole, le città si ripresero e l’attività commercialerifiorì.

Fu proprio grazie al commercio con gli arabi che la matematica rientrò in Europa, dopo che era stata lontana dal continente per millenni.

E con essa si ritrovarono anche le equazioni con il libro del matematico Fibonacci.

Nel nostro mondo moderno le equazioni ricoprono un ruolo di fondamentale importanza e servono a scopi diversi.

Grazie alle equazioni è possibile descrivere l’universo fisico.

Pensiamo ad esempio alla formula della velocità (v), a quella che descrive la forza in senso classico o gravitazionale (F)

Queste possono servire a descrivere molti aspetti economici, come i costi totali (CT) e i ricavi totali (RT) di un’impresa, fino ad arrivare ad aspetti finanziari del come si calcola il prezzo (P) di un’azione.

LE EQUAZIONI COME UNA BILANCIA A DUE BRACCI

L’equazione si presenta scritta matematicamente 

Un modo singolare di concepire le equazioni è immaginarle come una grande bilancia con due bracci.

Sui piattini dei due bracchi sono posizionati 

La forma generale di un’equazione è del tipo:

Dove:

Possiamo immaginare le equazioni come delle grandi bilance a due bracci, dove sui piattini sono posizionati proprio i termini M1 e M2

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REGOLE GENERALI PER LE EQUAZIONI

Lo scopo finale nelle equazioni con incognite, ricordiamolo, è quello di risolverle.

Questo significa trovare i valori dell’incognita.

A tal fine è utile conoscere regole generali valide per ogni tipo di equazione.

In generale possiamo affermare che se un membro di sinistra M₁ è uguale ad un membro di destra M₂, 

allora sse applichiamo una operazione a M₁ possiamo anche applicarla a M₂.

Cominciamo con l’elencare le operazioni in ordine di difficoltà:

• Somme e differenza
• Moltiplicazioni e divisioni
• Potenze e radici
• Altre operazioni (moduli, esponenziali, logaritmi, funzioni goniometriche, …)

Andiamo qui ad enunciare tre semplici regole che valgono per tutte le equazioni.

In ordine elenchiamo:

• Regola della somma e della differenza
• Regola della moltiplicazione e della divisione
• Regole delle potenze e delle altre operazioni

REGOLA DELLA SOMMA E DELLA DIFFERENZA

Partendo da:

Possiamo sommare o sottrarre una stessa quantità da ambo i membri e l’equazione non cambia:

Con la somma abbiamo che:

Mentre con la differenza:

In generale possiamo anche scrivere:

REGOLA DELLA MOLTIPLICAZIONE E DELLA DIVISIONE

Partendo da:

Possiamo moltiplicare o dividere per una stessa quantità da ambo i membri e l’equazione non cambia:

Con la moltiplicazione abbiamo che:

Mentre con la divisione:

In generale possiamo anche scrivere:

REGOLA DELLA POTENZA E DELLE ALTRE OPERAZIONI

Le regole delle equazioni che valgono per le operazioni fondamentali più semplici, valgono anche ingenerale per le altre operazioni.

A partire in primis per le  potenze:

E dalle radici

Ma anche per gli esponenziali

E la loro operazione inversa che sono i logaritmi:

Oltre che per valori assoluti

 e tutte le funzioni della trigonometria:

CLASSIFICAZIONE DELLE EQUAZIONI CON INCOGNITE

Come abbiamo detto in partenza lo scopo finale di un’equazione è quello di risolverla.

Il che significa trovare il valore dell’incognita (o delle incognite).

Tralasceremo quindi le identità perfette, per concentrarci sulle equazioni con incognita.

In particolare ci soffermiamo inizialmente sulle equazioni che presentano una incognita.

EQUAZIONI CON UNA INCOGNITA

In questo articolo concentriamo gli sforzi sul primo caso

In matematica troviamo una vasta varietà di equazioni che presentano una incognita.

La forma generale con cui queste si presentano è del tipo:

Non lasciamoci però ingannare dall’apparente forma semplice!

Non è facile fornire una classificazione sintetica ed esauriente di queste equazioni.

Anche se la cosa è di grande difficoltà proveremo a darne una, coscienti del fatto che questo schema può sempre essere migliorato

In primo luogo cominciamo con il creare classi generali di equazioni:

• Polinomiali
• Fratte e fattorizzate
• Irrazionali
• Logaritmiche
• Esponenziali
• Trigonometriche
• Complesse 

Queste vengono solitamente trattate, con diversi livelli di difficoltà, nelle nostre scuole superiori.

In particolare nei licei scientifici e negli istituti tecnici.

Cominciamo con il distinguere le equazioni che hanno per oggetto un’incognita reale da quelle con incognita complessa.

Ovviamente le prime sono una sotto categoria delle seconde.

Suddividiamo le equazioni con incognita reale in due gruppi:

• Algebriche
• Trascendenti.

Quelle algebriche sono a loro volta distinte in:

• Polinomiali
• Fratte
• Irrazionali

Mentre quelle trascendenti in:

• Esponenziali
• Logaritmiche
• Goniometriche

Ora che abbiamo uno schema da seguire presentiamo i vari tipi di equazione.

Siccome l’argomento è molto lungo mi limiterò a:

• Presentare il caso generale più noto
• Un esempio della forma più semplice con soluzione
• (Altri eventuali esempi)

Per ogni tipologia.

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EQUAZIONI POLINOMIALI

La tipologia di equazione più studiata in assoluto è quella delle equazioni polinomiali.

Queste rappresentano gli zeri di un generico polinomio in x di grado n.

Dove:

Le equazioni polinomiali possono essere a loro volta suddivise in un vasta tipologia di equazioni a seconda del grado del polinomio.

Ne riportiamo sotto uno schema.

EQUAZIONI DI PRIMO GRADO

Le equazioni di primo grado sono le più semplici nel caso polinomiale.

Queste hanno per oggetto l’annullamento di un polinomio di primo grado.

Si presentano genericamente come:

Ad esempio:

EQUAZIONI DI SECONDO GRADO

Il secondo step sono le equazioni di secondo grado, che hanno per oggetto l’annullamento di polinomi di grado secondo.

Vedi la storia che è collegata al mondo arabo in questo video:

La forma con cui si presentano è:

La generica formula risolutiva di origine prima mesopotamica e poi araba è:

Il trattato e le informazioni sono talmente vasti che passo oltre.

Risulta interessante anche notare come nella storia vi sono stati tanti tentavi per rappresentare le equazioni di secondo grado come ad esempio quella del matematico Cartesio (1596-1650)

EQUAZIONI DI GRADO MAGGIORE DEL SECONDO

La storia ci insegna che quando andiamo oltre al secondo grado le cose si fanno molto più complicate.

Non esistono metodi formalizzati e certi per risolvere questo tipo di equazioni, ma dei “tentativi quasi azzeccati” per alcuni tipi.

Per risolvere questo tipo di identità “se ci va bene” dobbiamo sfoggiare tutte le nostre competenze  nelle scomposizioni di polinomi.

Ricordiamo che tutte le procedure di scomposizioni che riguardano numeri razionali si riconducono tutte alla procedura di Ruffini.

Riconduciamo dunque ad un tipo generale di equazione detta equazione fattorizzata.

Consideriamo la seguente equazione di quinto grado.

Raccogliamo a fattor parziale (a coppie)

Ora raccogliamo a fattor comune il (x–1)

Imponendo il primo fattore uguale a zero abbiamo la prima soluzione:

Imponiamo adesso il secondo fattore uguale a zero:

Agiamo con la sostituzione:

Questo è un trinomio speciale somma-prodotto:

Risostituendo abbiamo:

Scomponiamo le differenze di quadrati:

Ecco fatto!

EQUAZIONI DI TERZO E QUARTO GRADO

Sopra abbiamo detto che per le equazioni di grado superiore al secondo non esistono metodi formalizzati e certi per risolvere questo tipo di equazione, ma dei “tentativi quasi azzeccati” per alcuni tipi.

Risulta doveroso dunque fare alcuni chiarimenti sulle equazioni di terzo e di quarto grado.

Queste due furono risolte in Italia nella prima metà del 1500.

Per quanto riguarda l’equazione di terzo grado fu il matematico bresciano Niccolò Tartaglia a trovare la soluzione.

Tale affermazione avvenne in modo formale il 12 febbraio 1535, a Bologna, in occasione di una sfida matematica contro Antonio Maria del Fiore.

Tale formula passò poi alla storia come la formula di Cardano, un altro matematico che si era fatto rivelare la formula dallo stesso Tartaglia.

(1499-1557)

Gerolamo Cardano (1501-1576)

La formula, nota come Formula di Cardano, venne in realtà scoperta da un matematico bresciano, Niccolò Tartaglia.

Tartaglia aveva sfidato del Fiore il 12 febbraio 1535

Tartaglia aveva poi confidato la formula a Cardano, con la promessa di non pubblicarla.

Ma Cardano venne meno al suo giuramento.

Per approfondire su una di queste forme vai al seguente video:

Dobbiamo però sapere che Tartaglia era riuscito a risolvere alcuni casi dell’equazione cubica, tra cui:

All’epoca se ne conoscevano tredici versioni ridotte, rispetto alla formula generale oggi conosciuta che è:

Qualcuno trovò comunque il modo di generalizzare i risultati di Tartaglia e ricondurli al caso generale.

Le scoperte sulle soluzioni alle identità di terzo grado vennero riprese da un altro matematico contemporaneo italiano, Rafael Bombelli (1526-1572) grazie al quale nasce una nuova teoria.

Questa è la teoria dell’unità immaginaria e dei numeri complessi, che implicano il superano dei numeri allora conosciuti, che erano i numeri reali.

Nascerà una nuova più ampia branca matematica.

Approfondisci la questione in questo video:

L’equazione di quarto grado fu invece risolta da un brillante discepolo di Cardano, Ludovico Ferrari (1522 – 1565)

L’EQUAZIONE DI QUINTO GRADO

Mentre per le equazioni di terzo e quarto grado si era potuto ragionare su metodi algebrici, questa cosa sembra non funzionare per quelle di quinto grado.

Matematici del calibro di Eulero non erano riusciti a risolvere questa equazione.

Altri matematici come l’italiano Paolo Ruffini (1765-1822) ne affermare la non risolvibilità con i classici metodi.

Un brillante matematico molto giovane di nome Galois individuo univoche connessioni tra l’equazione di quinto grado e le funzioni ellittiche.

Vi invito a leggere il libro “L’equazione impossibile” di Mario Livio.

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EQUAZIONI FRATTE

Si definiscono equazioni fratte, quelle che presentano l’incognita al denominatore di una frazione.

La forma generale di questo tipo di equazione è:

Un esempio è:

EQUAZIONI IRRAZIONALI

L’ultima tipologia di equazioni algebriche che conosciamo sono quelle irrazionali.

Nelle equazioni irrazionali l’incognita compare come radicando, ovvero l’argomento del radicale (o radice).

Una possibile forma di questo tipo di equazione è:

Un esempio facile da risolvere è il seguente:

Che si risolve elevando al quadrato ambo i membri:

EQUAZIONI TRASCENDENTI

In contrapposizione alle equazioni algebriche che si dividono in:

Troviamo quelle trascendenti  suddivise in:

• Esponenziali
• Logaritmiche
• Goniometriche

Riportiamo ancora lo schema generale per evitare di perderci

Le equazioni trascendenti sono equazioni in cui sono presenti funzioni trascendenti.

Un po’ difficile detto così.

Detto in parole più semplici il valore della x non è calcolabile come soluzione (o radice) di un polinomio.

Tale incognita non è riconducibile dunque all’ambito dei numeri radicali.

Ovvero dove la soluzione era di tipo algebrico.

Cosa che si verifica nelle equazioni algebriche appunti viste sopra

EQUAZIONI ESPONENZIALI

La prima categoria delle equazioni trascendenti è quella delle equazioni esponenziali.

In tale categoria di equazione l’incognita compare all’esponente.

Alcune forme comune di equazioni esponenziali sono:

Un esempio semplice è:

Per risolverla imponiamo il logaritmo ad entrambi i membri:

EQUAZIONI GONIOMETRICHE O TRIGONOMETRICHE

La seconda grande categoria delle trascendentali sono le equazioni goniometriche o trigonometriche.

In questo tipo di equazione l’incognita è nell’argomento di funzioni goniometriche come ad esempio:

Seno, coseno e tangente.

Alcuni basilari esempi sono:

LE EQUAZIONI NEL CAMPO COMPLESSO.

Le equazioni algebriche e trascendenti viste finora hanno per oggetto incognite reali.

Quando al posto dei numeri reali inseriamo numeri complessi, le equazioni diventano complesse.

Ricordiamo che un numero complesso può essere scritto nella forma tradizionale con:

Oppure nella forma trigonometrica:

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Se hai qualche domanda scrivila nei commenti

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