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GONIOMETRIA E TRIGONOMETRIA

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In questo corso affrontiamo i principali argomenti di goniometria e trigonometria

  • 70 LEZIONI
  • 27 ORE DI VIDEO
  • MATERIALE PDF PER OGNI LEZIONE (ESCLUSI QUELLI A LAVAGNA)
  • ESEMPI ED ESERCIZI PRATICI
  • ANGOLI, FUNZIONI GONIOMETRICHE (SENO, COSENO E TANGENTE)
  • FORMULE DI ADDIZIONE, DUPLICAZIONE, BISEZIONE E PARAMETRICHE
  • EQUAZIONI E DISEQUAZIONI GONIOMETRICHE
  • TEOREMI DELLA GONIOMETRIA CON ESERCIZI
trigonometria e goniometria: teorema di pitagora

La trigonometria o goniometria è uno degli argomenti più affascinanti della storia dell’uomo.

Sin dalla nascita delle civiltà l’uomo è sempre stato affascinato dalle costellazioni, tanto da attribuire il valore di divinità ai pianeti e alle stelle.

Un modo per svelare i segreti della posizione delle costellazioni era proprio la trigonometria, la scienza che si occupa dello studio dei triangoli.

Dalla trigonometria nasce la goniometria che focalizza l’attenzione unicamente sugli angoli.

Tuttavia tratteremo questi termini come se fossero lo stesso.

LA TRIGONOMETRIA E LO STUDIO DEI TRIANGOLI RETTANGOLI

La strada per la comprensione della trigonometria nasce dal triangolo rettangolo e dal teorema di Pitagora.

Questo teorema afferma che in un triangolo rettangolo, la somma dei quadrati dei cateti è pari al quadrato costruito sull’ipotenusa.

SENO, COSENO E TANGENTE – I PRIMI CONCETTI DELLA GONIOMETRIA

Quando fissiamo un angolo 𝜃 che non sia retto, i cateti diventano opposti oppure adiacente all’angolo.

Da qui abbiamo le prime definizioni della trigonometria: senocoseno e tangente.

trigonometria e goniometria: il seno è il rapporto tra il cateto opposto all'angolo e  l'ipotenusa
trigonometria e goniometria: il coseno è il rapporto tra il cateto adiacente e l'ipotenusa
trigonometria e goniometria: la tangente è il rapporto tra il cateto adiacente e l'ipotenusa
trigonometria e goniometria: seno coseno e tangente nel triangolo rettangolo

Da questi concetti possiamo ricavare le formule inverse e costruire la circonferenza goniometrica.

Successivamente si possono sviluppare seni e coseni di angoli particolari, come ad esempio: (0o , 30o , 45o , 60o , 90o )

trigonometria e goniometria: circonferenza goniometrica e angoli noti

Possiamo dunque a questo punto costruire le principali funzioni goniometriche, tra cui: senocoseno e tangente:

trigonometria e goniometria: le funzioni goniometriche principali sono seno, coseno e tangente

FORMULE DI ADDIZIONE, DUPLICAZIONE, BISEZIONE E PARAMETRICHE:

Il secondo avvincente capitolo della goniometria riguarda formule di addizione di angoli:

trigonometria e goniometria: formula di addizione per il seno
trigonometria e goniometria: formula di addizione per il coseno
trigonometria e goniometria: formula di addizione per la tangente

Da queste formule è possibile ricavare le formule di duplicazione degli angoli:

trigonometria e goniometria: formula di duplicazione per il seno
trigonometria e goniometria: formula di duplicazione per il coseno
trigonometria e goniometria: formula di duplicazione per la tangente

Dalle quali è possibile ricavare a suo volta le formule di bisezione:

trigonometria e goniometria: formula di bisezione per il seno
trigonometria e goniometria: formula di bisezione per il coseno
trigonometria e goniometria: formula di bisezione per la tangente

E quelle parametriche:

trigonometria e goniometria: formule parametriche per seno, coseno e tangente

EQUAZIONI GONIOMETRICHE – GONIOMETRIA

Nello step successivo abbiamo le equazioni che vengono applicate alla goniometria

Con le equazioni goniometriche cominciamo ad entrare nel cuore della trigonometria o goniometria.

Le più semplici equazioni goniometriche sono le equazioni elementari in seno, coseno e tangente:

trigonometria e goniometria: equazioni elementari in seno, coseno e tangente
trigonometria e goniometria: equazioni elementari in seno e coseno

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A seguire come ordine di difficoltà troviamo quelle più generali nella forma:

trigonometria e goniometria:equazioni del tipo seno di f(x) uguale a coseno di f(x)

A seguire troviamo forme di equazioni goniometriche che possono essere ricondotte ai due casi elementari precedenti mediante operazioni di:

Esempi di questo tipo di equazioni nella trigonometria sono:

A seguire troviamo le equazioni fratte, come ad esempio:

trigonometria e goniometria: equazioni fratte in seno, coseno e tangente

 le equazioni lineari del tipo:

E le equazioni omogenee di secondo grado, che si presentano nella forma generica:

trigonometria e goniometria: equazioni omogenee con secondo grado

DISEQUAZIONI GONIOMETRICHE – TRIGONOMETRIA

Quando sostituiamo il simbolo di uguale (=) con il simbolo di maggiore o minoretroviamo le disequazioni goniometriche:

Le tipologie sono ricondotte esattamente a quelle delle equazioni:

Dapprima ci sono le disequazioni elementari in seno, coseno e tangente, del tipo:

trigonometria e goniometria: disequazioni elementari in seno, coseno e tangente

Da notare che ho usato solamente il simbolo di maggiore, ma avrei potuto tranquillamente usare anche  i seguenti simboli:

trigonometria e goniometria: disequazioni goniometriche in seno, coseno e tangente

Successivamente in ordine troviamo quelle fattorizzate o da fattorizzare o risolubili per sostituzione, ad esempio:

A seguire le disequazioni fratte, ad esempio:

trigonometria e goniometria: disequazioni goniometriche fratte

Quelle lineari come ad esempio:

E quelle omogenee del tipo:

TEOREMI DELLA TRIGONOMETRIA

Un’altra fase spettacolare della trigonometria o goniometria riguarda i teoremi della trigonometria.

Tra i principali teoremi ricordiamo il teorema del seno:

Il teorema dell’area di un triangolo:

trigonometria e goniometria: teorema dell'area

 ed il teorema del coseno (o del terzo lato)

trigonometria e goniometria: teorema del coseno
trigonometria e goniometria: teorema del seno, teorema del coseno e teorema dell'area

PROBLEMI CON LA TRIGONOMETRIA

Grazie alle conoscenze che ci danno gli argomenti precedenti della trigonometria:

  • Concetti base
  • Formule di duplicazione, bisezione, parametriche
  • Equazioni  e disequazioni goniometriche
  • Teoremi

 è possibile avventurarci alla risoluzioni dei problemi della trigonometria.

Questa sezione è in fase di elaborazione e ci saranno tanti nuovi problemi.

trigonometria e goniometria: problemi con la trigonometria

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