La trigonometria o goniometria è uno degli argomenti più affascinanti della storia dell’uomo.
Sin dalla nascita delle civiltà l’uomo è sempre stato affascinato dalle costellazioni, tanto da attribuire il valore di divinità ai pianeti e alle stelle.
Un modo per svelare i segreti della posizione delle costellazioni era proprio la trigonometria, la scienza che si occupa dello studio dei triangoli.
Dalla trigonometria nasce la goniometria che focalizza l’attenzione unicamente sugli angoli.
Tuttavia tratteremo questi termini come se fossero lo stesso.
LA TRIGONOMETRIA E LO STUDIO DEI TRIANGOLI RETTANGOLI
La strada per la comprensione della trigonometria nasce dal triangolo rettangolo e dal teorema di Pitagora.
Questo teorema afferma che in un triangolo rettangolo, la somma dei quadrati dei cateti è pari al quadrato costruito sull’ipotenusa.
SENO, COSENO E TANGENTE – I PRIMI CONCETTI DELLA GONIOMETRIA
Quando fissiamo un angolo 𝜃 che non sia retto, i cateti diventano opposti oppure adiacente all’angolo.
Da qui abbiamo le prime definizioni della trigonometria: seno, coseno e tangente.
Da questi concetti possiamo ricavare le formule inverse e costruire la circonferenza goniometrica.
Successivamente si possono sviluppare seni e coseni di angoli particolari, come ad esempio: (0o , 30o , 45o , 60o , 90o )
Possiamo dunque a questo punto costruire le principali funzioni goniometriche, tra cui: seno, coseno e tangente:
FORMULE DI ADDIZIONE, DUPLICAZIONE, BISEZIONE E PARAMETRICHE:
Il secondo avvincente capitolo della goniometria riguarda formule di addizione di angoli:
Da queste formule è possibile ricavare le formule di duplicazione degli angoli:
Dalle quali è possibile ricavare a suo volta le formule di bisezione:
E quelle parametriche:
EQUAZIONI GONIOMETRICHE – GONIOMETRIA
Nello step successivo abbiamo le equazioni che vengono applicate alla goniometria
Con le equazioni goniometriche cominciamo ad entrare nel cuore della trigonometria o goniometria.
Le più semplici equazioni goniometriche sono le equazioni elementari in seno, coseno e tangente:
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A seguire come ordine di difficoltà troviamo quelle più generali nella forma:
A seguire troviamo forme di equazioni goniometriche che possono essere ricondotte ai due casi elementari precedenti mediante operazioni di:
- scomposizione
- Sostituzione
Esempi di questo tipo di equazioni nella trigonometria sono:
A seguire troviamo le equazioni fratte, come ad esempio:
le equazioni lineari del tipo:
E le equazioni omogenee di secondo grado, che si presentano nella forma generica:
DISEQUAZIONI GONIOMETRICHE – TRIGONOMETRIA
Quando sostituiamo il simbolo di uguale (=) con il simbolo di maggiore o minoretroviamo le disequazioni goniometriche:
Le tipologie sono ricondotte esattamente a quelle delle equazioni:
Dapprima ci sono le disequazioni elementari in seno, coseno e tangente, del tipo:
Da notare che ho usato solamente il simbolo di maggiore, ma avrei potuto tranquillamente usare anche i seguenti simboli:
Successivamente in ordine troviamo quelle fattorizzate o da fattorizzare o risolubili per sostituzione, ad esempio:
A seguire le disequazioni fratte, ad esempio:
Quelle lineari come ad esempio:
E quelle omogenee del tipo:
TEOREMI DELLA TRIGONOMETRIA
Un’altra fase spettacolare della trigonometria o goniometria riguarda i teoremi della trigonometria.
Tra i principali teoremi ricordiamo il teorema del seno:
Il teorema dell’area di un triangolo:
ed il teorema del coseno (o del terzo lato)
PROBLEMI CON LA TRIGONOMETRIA
Grazie alle conoscenze che ci danno gli argomenti precedenti della trigonometria:
- Concetti base
- Formule di duplicazione, bisezione, parametriche
- Equazioni e disequazioni goniometriche
- Teoremi
è possibile avventurarci alla risoluzioni dei problemi della trigonometria.
Questa sezione è in fase di elaborazione e ci saranno tanti nuovi problemi.
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