Algebra lineare

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L’algebra lineare è trattata nella settima sezione dei Corsi di matematica, che sono così strutturati:

Dai concetti base alle prime equazioni
Dalle equazioni ai primi studi di funzioni
Limiti
Integrali e derivate
Funzioni a due variabili
Algebra lineare
Teoremi della matematica

L’Algebra Lineare è una branca della matematica che studia:

vettori
matrici
sistemi lineari
funzioni lineari
Rette piani spazi iperspazi
Autovalori e autovettori

Possiamo applicare le conoscenza dell’algebra lineare di questa disciplina in svariati ambitie per svariati scopi, tra cui ricordiamo:

Risolvere sistemi lineari
Teoria della programmazione lineare
Studio dei massimi e minimi di funzioni a più variabili
Teoria del portafoglio di Finanza
Studio delle obbligazioni e costruzione della curva dei tassi
Strumentazioni medicinali
…

Solo per citarne alcuni.

I VETTORI – ALGEBRA LINEARE

Lo studio dell’algebra lineare si impernia sui vettori, che possiamo vedere matematicamente come una n-pla ordinata di numeri.

I vettori con due o tre componenti li possiamo anche rappresentare nel piano o nello spazio.

Con i vettori possiamo operare le operazioni di:

Somma e differenza
Moltiplicazione tra scalare e vettore
Moltiplicazione scalare
Moltiplicazione vettoriale (solo con 3 componenti)

La caratteristica certamente più studiate dei vettori sono le combinazioni lineari.

In particolare il concetto di vettori linearmente dipendenti o indipendenti.

Un vettore si dice che dipende linearmente da altri vettori se è una combinazione lineare di questi:

MATRICI – ALGEBRA LINEARE

Lo strumento che viene maggiormente usato per studiare i vettori sono le matrici.

Le matrici possono essere viste come vettori scritti in riga o colonna.

Al fine di studiare la dipendenza lineare tra i vettori presenti nella matrice ci interessa il rango o la caratteristica della matrice.

Per studiare il rango possiamo avvalerci del metodo dei minori, i quali a loro volta sono sottomatrici quadrate di cui possiamo studiare il determinante.

Un altro metodo per studiare il rango è la riduzione delle matrici con il metodo Gauss.

SISTEMI LINEARI – ALGEBRA LINEARE

Tutti i concetti appena visti ci conducono inevitabilmente alla teoria più generale dei sistemi lineari, che possono essere riletti tramite la teoria delle matrici:

In particolare grazie al concetto del rango o caratteristica delle matrici è possibile stabilire a priori se il sistema ammette soluzioni (consistente) oppure non ne ammette (inconsistente).

Il famoso teorema a cui ci agganciamo è il teorema di Rouché-Capelli.

Nel caso in cui il sistema è consistente può essere determinato (ammette una soluzione) oppure indeterminato (infinite soluzioni).

Se il sistema è inconsistente allora il sistema è impossibile!

Passando ai metodi per risolvere sistemi lineari usando le matrici troviamo (il metodo del/della):

SPAZI, SOTTOSPAZI VETTORIALI E BASI

Nel corso specifico dedicato all’Algebra lineare vi è una seconda parte dedicata più in particolare agli studenti di ingegneria.

Questa parte affronta argomenti più astratti e meno intuitivi rispetto a quelli visti nella prima parte.

Gli argomenti trattati in questa parte sono:

Spazi vettoriali
Basi di spazi vettoriali
Sottospazi vettoriali e relative basi

LE FUNZIONI LINEARI

L’argomento che per eccellenza rappresenta l’algebra lineare sono certamente le funzioni lineari.

Possiamo vedere questo argomento come un’espansione molto forte della retta nella geometria cartesiana

In questo argomento confluiscono tutte le nozioni viste in precedenza

Vettori e matrici
Determinante e rango
Sistemi lineari
Spazi e sottospazi vettoriali

Ad ogni funzione lineare è associata generalmente una matrice.

Tuttavia questa matrice può cambiare in riferimento a quale base del dominio e del codominio scegliamo.

AUTOVALORI E AUTOVETTORI – ALGEBRA LINEARE

Di fronte al problema dell’ambiguità della matrice che può rappresentare una stessa lineare, ci chiediamo se è possibile trovare una procedura generale che ci permette di individuare se due matrici sono simili.

Ovvero sono matrici che rappresentano la stessa funzione lineare rispetto però a basi diverse.

Questa ricerca ci conduce inevitabilmente verso i nuovi concetti di:

Autovalori
Polinomio caratteristico
Autovettori e autospazi
Molteplicità algebrica e geometrica

RETTE E PIANI NELLO SPAZIO – ALGEBRA LINEARE

Un ulteriore passaggio nella teoria dell’algebra lineare riguarda le rette e i piani nello spazio.

Possiamo scrivere l’equazione di una retta o un piano sia nella forma cartesiana che nella forma parametrica.

In particolare quasi tutta la teoria che riguarda le rette e i piani può essere analizzata studiando le matrici e i vettori.

Alcune delle operazioni che possiamo fare con le matrici, i vettori e i determinanti sono:

Scrivere equazioni cartesiane e parametriche di rette e piani
Trovare l’intersezione tra rette e piani.
Studiare il parallelismi tra rette e piani
Determinare i vettori normali ad un piano
Trovare rette passanti per un punto parallele o perpendicolari a piani

LE CONICHE

Le coniche sono una pagina affascinante della geometria euclidea.

Ricordiamo che le coniche sono figure piane che si ottengono tramite l’intersezione di un piano con un cono.

A seconda dell’inclinazione del piano rispetto all’asse del cono e all’angolo che si forma tra l’asse e la superficie laterale si può ottenere una delle seguenti coniche:

Circonferenza
Ellisse
Iperbole

A partire dal 1600 con Cartesio questa pagina comincia a parlare il linguaggio matematico, e le coniche vengono descritte per la prima volta con equazioni cartesiane.

Usando le matrici, in particolare le forme quadratiche delle matrici è possibile studiare e distinguere le coniche.