La matematica è la materia per eccellenza che ha accompagnato la storia dell’uomo con la nascita e l’evoluzione di grandi società.
Quando le società si sono sviluppate, passando da quelle primitive a quelle più moderne, sono per l’uomo sono nate nuove sfide:
- Creare canali di irrigazione
- Organizzare gli scambi commerciali
- Tenere la contabilità dei magazzini
- Studiare le stelle per stabilire rotte marittime
- Costruire grandi opere ingegneristiche
L’ODIO VERSO LA MATEMATICA
Oggi tuttavia molto di noi percepiscono la matematica insopportabile e inutile.
Centinaia di regole prive di significato che ci vengono imposte dall’alto al solo fine di causarci sofferenza e dolore
Questo crea molta confusione e frustrazione in molti di noi.
L’immagine mentale è quella dell’angelo della Morte.
COME RISOLVERE IL PROBLEMA
La maggior parte dei problemi con la matematica è causata dall’arrenderci quando incontriamo argomenti troppo difficili e lontani dalla nostra realtà.
La causa più frequente è il gradiente troppo ripido e la non comprensione di argomenti basilari.
Molto spesso siamo talmente convinti di aver compreso che 1+1 è uguale a 2 che non siamo disposti nemmeno a esercitarci su queste cose “così semplici”.
Ci spingiamo dunque troppo presto e senza le adeguate risorse in direzione degli argomenti più difficili come derivate, integrali e determinanti di matrici (perché le cose che ci verranno richieste sono quelle).
Molto spesso però facciamo questo passo in maniera troppo frettolosa e alla prima difficoltà ci ritiriamo dai giochi.
Pensiamo ad esempio a quando abbiamo imparato ad andare in bicicletta per la prima volta.
Prima abbiamo avuto il problema di partire e di mantenere il giusto equilibrio.
Solamente dopo aver fatto tante prove nel nostro giardino siamo usciti fuori casa, accompagnati dai nostri genitori o dai nostri zii o nonni.
Poi quando ci sentivamo bene abbiamo cominciato ad andare da soli o con i nostri amici.
Ed infinite quelli più avventurosi di noi hanno cominciato a fare le prime gare, le prime impennate e i primi esperimenti con discese in montagna o con qualche ostacolo più di difficile.
Se avessimo tentato l’impennata al primo tentativo sarebbe finita esattamente così:
Il Corso per preparare l’esame di elementi di matematica è stato suddiviso in 7 sezioni:
- Dai concetti base alle prime equazioni
- Dalle equazioni ai primi studi di funzioni
- Limiti, derivate e integrali
- Funzioni a due variabili
- Algebra lineare
- Teoremi della matematica
- Trigonometria
- Analisi Matematica 1
1. DAI CONCETTI BASE ALLE PRIME EQUAZIONI – UN RAPIDO RIPASSO
Molto spesso si comincia a preparare l’esame di elementi di matematica non si tiene in considerazione che il punto di partenza non sono le derivate e gli integrali.
Per un corretto approccio al mondo delle funzioni è infatti di basilare importanza conoscere gli elementi fondamentali del calcolo ovvero:
- numeri
- monomi e operazioni con i monomi
- polinomi e operazioni con i polinomi: somme, moltiplicazioni, potenze
- prodotti notevoli
- Divisioni polinomiali e divisioni con Ruffini
- scomposizione dei polinomi
- frazioni algebriche
- fondamenti delle equazioni
- equazioni di primo grado (e disequazioni)
- equazioni fratte e fattorizzate (e disequazioni)
Questo mini corso offre una rapida rispolverata per tutti quei concetti che vengono presto lasciati nel dimenticatoio dalla gran parte degli studenti.
Questo avviene pressappoco tra la prima e la seconda superiore.
Questo è il primo fondamentale step per preparare in modo corretto l’esame di matematica, o di elementi di matematica.
Questo secondo mini corso segna dunque la seconda fase del nostro viaggio.
Dopo aver assaporato quali sono i fondamenti del calcolo numerico attraverso i concetti di numeri puri, monomi, polinomi e frazioni algebriche il viaggio prosegue.
2. DALLE EQUAZIONI AI PRIMI STUDI DI FUNZIONE
In questa seconda parte gli argomento trattati sono:
- equazioni di primo grado e disequazioni di primo grado
- sistemi di disequazioni
- equazioni fratte e fattorizzate
- radicali, argomento ampio
- equazioni di secondo grado e disequazioni di secondo grado
- equazioni irrazionali e disequazioni irrazionali
- equazioni esponenziali e disequazioni esponenziali
- logaritmi e proprietà dei logaritmi
- equazioni logaritmiche e disequazioni logaritmiche
Chiaramente la risoluzioni delle equazioni e delle disequazioni può essere interpretata graficamente attraverso lo studio delle funzioni:
- retta o funzione di primo grado
- Parabola o funzioni di secondo grado
- Funzione potenza e funzione radice
- modulo o valore assoluto
- Funzione esponenziale e funzione logaritmica
I primi punti dello studio di funzioni sono:
- dominio
- intersezioni con gli assi
- segno
- grafico probabile
Vedremo questi studi applicati a funzioni di varia natura:
- razionale
- fratta
- irrazionale
- esponenziale
Lo studio di funzioni rappresentano il perno centrale attorno al quale ruota tutto il ragionamento matematico.
Le funzioni sono definite come le relazioni per cui ad ogni elemento di un certo insieme, che chiamiamo dominio, corrisponde uno ed un solo elemento del codomio.
Grazie alle Funzioni è possibile prevedere l’andamento di una variabile, chiamata solitamente y (dipendente), rispetto (in funzione appunto) all’andamento di un’altra variabile x (indipendente).
Le funzioni trovano ampio spazio nel mondo della fisica, dove si cerca di determinare leggi sempre più precise che legano tra di loro diversi aspetti misurabili della realtà.
Consideriamo ad esempio la legge di gravitazione universale, scoperta da Newton e trattata nella sua opera Philosophiae Naturalis Principia Mathematica del 1687.
La sua formulazione è F=G(m1*m2)/R^2, dove:
- F è la forza che lega due pianeti
- G è la costante di gravitazione universale
- m1 e m2 sono le masse dei corpi
- R è la distanza che separa i due corpi
In particolare questa formula tenta di prevedere la Forza che due corpi sviluppano a causa dell’attrazione di gravità.
Da questa formulazione possiamo vedere che tale forza è direttamente proporzionale alle masse dei corsi e inversamente proporzionale al quadrato della loro distanza.
3.1 LIMITI E CONTINUITÀ
La fase successiva di occupa dei limiti.
In particolare in questa sezione vedremo:
- analisi grafica dei limiti
- limiti forme determinate
- limiti forme indeterminate 0/0
- scala degli infiniti
- forme indeterminate infinito-infinito e infinito su infinito
- applicazione dei limiti per studiare la continuità di una funzione
- punti di discontinuità
Questa sezione è da aggiornare e completare!
3.2 DERIVATE E INTEGRALI
Dopo i limiti entriamo finalmente nel cuore della matematica: le derivate e gli integrali.
Se avete seguito correttamente questo tabellina di marcia eccoci arrivati al cuore della matematica moderna.
Le derivate e gli integrali hanno cominciato ad essere concepite in Europa a partire dal 1600.
DERIVATE
Fu grazie a studiosi come come Newton che nacque il calcolo differenziale e il concetto di derivata di una funzione.
In matematica sono uno strumento potentissimo per indagare a fundo una funzione.
In questa sezione affronteremo dapprima i concetti di :
- rapporto incrementale
- derivata prima di una funzione
- Regole di derivazione
- esercizi sulle regole di derivazione
Negli esercizi pratici utilizzeremo queste derivate all’interno dello studio di funzioni per analizzare:
- punti stazionari
- punti di non derivabilità
- crescenza e decrescenza
- concavità e flessi
Negli esercizi pratici troveremo inoltre
- retta tangente ad una funzione
- polinomio di Taylor
Nel video corso specifico troverete anche la sezione dedicata all’eserciziario.
INTEGRALI
Nella sezione relativa agli integrali vedremo:
- il concetto di integrale e funzione primitiva
- regole di integrazione di funzioni elementari e composte
- Regole di integrazioni sulle fratte
- integrali per parti
- integrali per sostituzione
Nel video corso specifico troverete anche la sezione dedicata all’eserciziario.
4. FUNZIONI A DUE VARIABILI (completa nel mini-corso)
Le funzioni a due variabili possono essere considerati come un ampliamento delle funzioni ad una variabile.
Con l’unica differenza riguarda il dominio della funzione.
Nelle funzioni ad una variabile partivano da un dominio in R per arrivare ad un condominio in R.
Nelle funzioni a due variabili il dominio è definito in un piano cartesiano, quindi diremo che la funzione va da R^2 a R.
In questo mini corso vedremo:
- concetto di funzione a due variabili
- cenni sul dominio
- derivate parziali prime e vettore gradiente
- Punti stazionari e classificazione mediante il metodo dell’Hessiano.
Nel video corso specifico troverete anche la sezione dedicata all’eserciziario.
5. ALGEBRA LINEARE (completo nel mini-corso)
E’ quella parte dell’Algebra lineare che di solito viene studiata in modo basilare nei corsi di economia.
in questa sezione troveremo:
- concetto di vettore e operazioni di vettori
- vettori linearmente dipendenti e indipendente
- Matrici, tipologie e operazioni
- Matrice inversa
- determinante e rango di una matrice
- Riduzione a scala di una matrice
- sitemi lineari e teorema di Rouche-Capelli
- Metodi Cramer e Pivot per risolvere sistemi lineari
Nel corso specifico sull’Algebra lineare troverete tutta la sezione più approfondita adatta ai corsi di ingegneria.
6. TEOREMI DELLA MATEMATICA (trattati nel mini-corso)
Questa sezione la troverete colo nel video corso specifico
ESERCIZIARIO
Si raccomanda coloro che vogliono realmente avere una adeguata preparazione per l’esame di affiancare questo corso al corso ESERCIZI DI MATEMATICA (TRATTI DA UNIVERSITA’).
Questo corso è complementare poiché vengono messi in pratica tutte le nozioni contenute in questo nel corso principale sulla matematica.
I temi sono tratti principalmente dall’università di Bergamo ma vi sarà un continuo aggiornamento.
NOTE FINALI
Il corso ha una durata complessiva di circa quaranta ore.
Il Contenuto Video del corso sarà vostro per 360 giorni.
Mentre i contenuti PDF sono scaricabili.
