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ESERCIZI DI MATEMATICA FINANZIARIA (Temi tratti da UNIBG e UNICATTOLICA Milano)

PREMESSA IMPORTANTE

Il seguente corso è un ESERCIZIARIO dedicato ad esercizi pratici circa i principali temi di MATEMATICA FINANZIARIA.

 La finalità principale è quella di aiutare lo studente universitario a svolgere il proprio esame di matematica finanziaria.

In particolare nel corso sono affrontati esercizi tratti da temi tratti dall’Università di Bergamo e dall’Università Cattolica di Milano.

Il corso è comunque molto adattato per:

  • Studenti che stanno studiando Finanza e vogliono fare un rapido ripasso per svolgere l’esame
  • Banchieri che in tendono capire i meccanismi di calcolo dei prestiti da loro emessi
  • Società che intendono fare un business plan dei loro investimenti
  • Chiunque voglia capire cosa ci sia dietro un prestito, un investimento o la polizza assicurativa appena stipulata.

Trattandosi comunque di un eserciziario sarebbe bene comunque andare a chiarire i concetti della teoria acquistando anche il corso di teoria MATEMATICA FINANZIARIA.

STRUTTURA DEL CORSO

Il corso è stato suddiviso in queste categorie:

  1. Fattori di montante e di sconto
  2. Regimi finanziari
  3. Tassi di interesse
  4. Scadenza media e duration
  5. Operazioni finanziarie
  6. Rendite
  7. Ammortamenti
  8. Usufrutto e nuda proprietà
  9. Obbligazioni
  10. TIR REA e Pay back period
  11. Assicurazioni

1. FATTORI DI MONTANTE E DI SCONTO

I fattori di montante e di sconto sono gli atomi essenziali della materia.

In essi possiamo trovare i processi di capitalizzazione e di attualizzazione.

Essi rappresentano la cellula primaria della materia, che poi moltiplicandosi in maniera armonica da origine ad una materia più complessa.

Questa è una parte di collegamento con tutto il tessuto matematico.

Ancora una volta la matematica è stata in grado di generare nuova vita.

2. REGIMI FINANZIARI

Se i fattori di montante sono i mattoni fondamentali, regimi finanziari cominciano ad essere un insieme più complessi.

Possiamo immaginare i regimi finanziari come un insieme di regole particolari organizzate al fine di dar vita a strutture standardizzate.

I regimi si classificano in:

  • Semplice
  • Composto
  • Anticipato (o commerciale)

Grazie a queste regole standardizzate possiamo costruire attorno a queste regole organizzate dei grafici e dei modi di pensare standardizzati.

Anche in questo caso ci avviciniamo molto alla matematica pura.

Ad esempio se consideriamo il processo di capitalizzazione possiamo associare:

  • Una retta al regime semplice
  • Una curva esponenziale al regime composto
  • Un’iperbole a quello anticipato (o sconto commerciale)

Se dobbiamo identificare il “regime speciale”, il nostro regime preferito sarà quello composto.

Ovviamente noi vedremo esercizi pratici di tutto ciò.

3. TASSI DI INTERESSE

In qualsiasi regime noi operiamo dovremo tenere presente una REGOLA MOLTO IMPORTANTE.

Quando utilizziamo formula di capitalizzazione o di attualizzazione:

“il tempo deve essere sempre correlato al tasso di interesse”.

Questo significa che se noi stiamo valutando un capitale di 1.000 euro che viene investito al tasso dell’8% annuo, se vogliamo calcolare il montante useremo il tempo in anni!

Ora la sezione dei tassi si rivolge proprio a queste trasformazioni.

Il regime composto in quanto regime speciale presenta la sua particolarità anche nei tassi.

Il tasso di interesse un po’ particolare e di non facile immediata comprensione è il tasso annuo nominale convertibile k volte in un anno.

4. SCADENZE MEDIE

Ad essere onesti avrei dovuto inserire questo argomento dopo le rendite. Ma cosa volete, la storia è finita così!.

Immaginate di dover pagare:

  • 1.000 euro tra un anno
  • 2.000 tra due anni
  • 3.000 tra tre anni
  • 10.000 tra 7 anni

Se doveste stabilire un’unica scadenza che tenga conto dei pesi delle cifre in gioco dove la piazzereste?

  • Opzione A) all’inizio
  • Opzione B) esattamente a metà (3,5 anni)
  • Opzione C) quasi alla fine, dopo la metà comunque
  • Opzione D) esattamente alla fine.

Cari ragazzi, se avete scelto l’opzione C) mi avete fatto un uomo felice. Altrimenti non c’è assolutamente problema.

Se notate in questa struttura di piano la pesantezza delle cifre sale a manao a mano che ci spostiamo verso la fine. Dunque la scadenza media cadrà certamente dopo la metà. Se dovessi sparare a caso la metterei la il 4,5 e il 5,5.

Il calcolo preciso comunque è:

SCADENZA MEDIA= (1.000*1+2.000*2+3.000*3+10.000*7)/(1.000+2.000+3.000+10.000)= 5,25

Evviva!!!! Avrei azzeccato a spanne.

Ovviamente ogni regime ha una sua scadenza media.

A me piace chiamarla DURATION.

5. OPERAZIONI FINANZIARIE

Se proprio dobbiamo cominciare a parlare della vera matematica finanziaria (O.F.) ecco le operazioni finanziarie.

Queste sono il perno più importante che riassume tutti i concetti affrontati fino a prima.

I tipi di operazioni finanziarie principali sono due:

  • Investimenti
  • Finanziamenti

Gli investimenti implicano ina rinuncia di risorse monetarie per avere un ritorno (tipicamente maggiorato) al tempo futuro.

Quando state comprando un’azione della Apple state facendo un investimento.

Rinunciate alla vostra spesa per i consumi attuali per beneficiare nel corso del tempo dei dividendi che la società vi pagherà per remunerarvi della vostra rinuncia iniziale.

La stessa cosa succede quando comperate un appartamento per darlo in affitto.

O semplicemente per viverci, dal momento che non dovrete certamente pagare l’affitto.

Delle O.F. ci interesserà in modo speciale andare a calcolare i valori ad una certa epoca (che chiameremo genericamente t).

Ma l’oggetto principale di questa materia sono certamente le O.F. eque.

6. RENDITE

Ecco l’oggetto che senza dubbio è il più conosciuto di tutti sulla piazza.

Mi piace descrivere le rendite come delle operazioni finanziarie con importi tutti dello stesso segno.

Questi importi si chiamano rate.

Poi qualche saputello che la sa molto lunga mi ha detto che quella definizione è tecnicamente scorretta.

Sapete cosa ho pensato?

A me piace definita così!

Comunque sia le rendite sono un argomento molto vasto.

Ma in esso esiste un tipo di rendite molto ben definito di rendita che se dovessi elencarvi tutti i punti di ipotesi diventereste orbi.

Comunque nel corso di teoria c’è tutto quanto, inclusa la dimostrazione!

Comunque immaginate di chiedere un prestito in banca supponiamo 100.000 euro, e dovete spiegare al vostro amico al bar quanto pagate.

Certamente sarebbe più semplice dire: “pago 480 euro al mese, per venti anni”.

Ecco che avete appena descritto una di queste rendite. Complimenti!

In questo tipo di rendite esiste una formula ben definita per il calcolo del valore attuale.

Negli esercizi sarà molto ricorrente.

7. AMMORTAMENTI

Ecco l’argomento che mette maggior paura.

Niente di cui aver paura se fino a qui è andato tutto bene.

Però il consiglio spassionato è quello prima di affrontare l’argomento dal punto di vista teorico, che potrete fare acquistando l’altro corso.

Possiamo distinguere tre tipi di ammortamento:

  • Italiano
  • Francese
  • Americano

(in realtà ci sarebbe anche quello tedesco) ma per ora ce lo siamo risparmiati.

Ammortamento italiano

L’ammortamento italiano è definito a quota capitale costante.

Ogni volta che paghiamo una rata cambia solamente la quota di interesse.

Esso è collegato alla progressione aritmetica.

Ammortamento francese:

l’ammortamento francese è definito a rata costante.

Per calcolare la rata ci servirà il concetto di rendita particolare

Le sue quote capitale sono collegate alla progressione geometrica.

Ammortamento americano

L’ammortamento americano è definito a due tassi di interesse.

Il primo è il tasso operato dalla banca per il calcolo degli interessi.

Il secondo è il tasso di remunerazione di un fondo che ha come scopo principale la ricostituzione del capitale preso a prestito.

8. USUFRUTTO E NUDA PROPRIETA’

Il concetto di Usufrutto e di Nuda Proprietà è un prolungamento dei piani di ammortamenti.

Con Nuda proprietà intendiamo il valore attuale delle future quote capitale

Con Usufrutto intendiamo il valore attuale delle future quote interessi.

9. OBBLIGAZIONI

Quante volte guardando il telegiornale avete sentito:

“sStato italiano indebitato emette nuovi titoli obbligazionari”

“Spread con i bund tedeschi alle stelle”

“Alitalia emette un nuovo prestito di 8 miliardi euro sostenuto dallo Stato italiano”

Ebbene si cari amici, stiamo parlando di obbligazioni.

Le obbligazioni non sono altro che dei titoli emessi da società private o pubbliche al fine di finanziare i propri investimenti.

Tanto più un’obbligazione è sicura, tanto minore sarà il suo tasso di interesse.

Nei nostri calcoli ci interesseranno i concetti di:

  • Prezzo di un’obbligazione
  • Valore nominale
  • Cedola
  • Tasso cedolare
  • Yield to maturity

Scoprire per credere.

10. TIR, REA e PAY-BACK PERIOD

Il TIR è il Tasso Interno di Rendimento di un progetto.

Se doveste spiegare sempre al vostro amico che avete investito in un progetto o in un fondo, lui sarà curioso di sapere quanto rende.

Potete tranquillamente dirgli “negli ultimi cinque anni ha reso il 12%”.

Gli state spiegando il TIR (lezione super veloce).

Il REA non è altro che il Risultato Economico Attualizzato, ovvero il valore attuale di un certo investimento (o finanziamento) calcolato ad un certo tasso di interesse.

Se foste un amministratore delegato di una società S.P.A. accettereste esclusivamente progetto con un REA positivo.

A quale tasso lo calcoliamo.

Ovviamente possiamo al costo medio ponderato della nostra azienda.

Ok, qui mi sto espandendo troppo visto che siamo già alla Finanza.

Il PBP Pay-back-period è il tempo di recupero del capitale investito.

Indica dopo quanto tempo c’è stato un ritorno del capitale investito.

Ad esempio potreste dire al vostro amico.

“Ho comprato una quota di un progetto negli Emirati Arabi: nei primi cinque anni non ho ricevuto niente, ma dopo altri tre anni sono andato in positivo, ed oggi sto continuando a guadagnare”.

Implicitamente gli state dicendo che ci sono voluti quasi otto anni per riavere la cifra investita.

Gli avete spiegato anche il Pay-back-period. Tanti complimenti!

11. MATEMATICA ATTUARIALE (ASSICURAZIONI)

l’ultima parte si occupa di esercizi sulle assicurazioni.

Per come le intenderemo noi le assicurazioni sono contratti in cui una parte, il contraente, versa una somma in denaro (premio) ad una compagnia di assicurazione grazie alla quale si garantisce una certa somma (capitale assicurato) ad un terzo soggetto giuridico (il beneficiario) nel caso:

  • l’assicurato dovesse vivere
  • l’assicurato dovesse morire.

Nel primo caso parleremo di polizze caso vita.

Mentre nel secondo caso polizze caso morte.

Negli esercizi vedremo tanti esempi su come calcolare:

  • probabilità di vita o di morte
  • premi unici o periodici

NOTE FINALI

Se acquistate il MATEMATICA FINANZIARIA (CORSO COMPLETO) è bene associarlo al relativo eserciziario.

Se optate per l’acquisto dei singoli mini corsi gli esercizi dell’eserciziario sono già inclusi all’interno.

Bene cari a mici se sono riuscito nell’impresa di convincervi ad acquistare il corso non mi resta che fare le ultime precisazioni.

Il corso consiste circa venticinque lezioni di durata circa 35/45 minuti.

Questi corsi saranno aggiornati nel corso del tempo con nuovi temi d’esame e nuove lezioni.

Il corso sarà vostro per circa 6 mesi (200 giorni)

Tutti i materiali sono tranquillamente scaricabili in PDF o in EXCEL

Buon divertimento 😉