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ESERCIZI DI MATEMATICA -tratti da Licei scientifici con temi di UNIBG

PREMESSA IMPORTANTE

Il seguente corso di matematica è un ESERCIZIARIO dedicato ad esercizi pratici circa i principali temi di MATEMATICA Con la finalità di aiutare lo studente universitario a svolgere il proprio esame di matematica.

In particolare nel corso sono affrontati esercizi di matematica svolti in sede di quinta liceo scientifico tratti da uno dei principali testi scolastici:

il Bergamini della Zanichelli.

Questo è forse il testo più completo che assembla decine di migliaia di esercizi di matematica.

Per integrarlo ho proposto dei temi d’esame a crocette tratti dall’Università di Bergamo.

Si tratta comunque di un eserciziario e dunque per una completa comprensione degli argomenti consiglio vivamente di acquistare anche il corso di matematica di ELEMENTI DI MATEMATICA.

Capisco benissimo che lo scopo degli studenti è semplicemente quello di avere la laurea.

 Il famoso “pezzetto di carta” grazie al quale possono rendere felici i genitori, le fidanzate o le fidanzate, oltre che chiaramente la propria gratificazione personale.

Ma vi garantisco che una volta che entrerete nel modo del lavoro la cosa non sarà poi così semplice.

Lo strumento matematico può sembrare molto astratto e privo di fondamento.

Ma vi garantisco che una buona comprensione di esso può permettervi di sviluppare degli schemi logici importanti.

Questi schemi logici diventano molto importanti per chi compie studi di tipo economico.

Ma bando alle ciance vediamo subito insieme come è strutturato questo corso

STRUTTURA DEL CORSO

Ho strutturato il corso di matematica tenendo in considerazione le principali domande di un tema di esame universitario di matematica.

  • Concetti insiemistici
  • Limiti
  • Continuità
  • Rapporti incrementali
  • Derivate
  • Rette tangenti
  • Massimi minimi crescenza e decrescenza
  • Concavità e flessi
  • Teoremi con le derivate
  • Studi di funzione ad una variabile
  • Integrali
  • Vettori e matrici
  • Sistemi lineari
  • Funzioni a due variabili

CONCETTI INSIEMISTICI

Gli insiemi rappresentano il punto di partenza di tutto il ragionamento matematico, insieme al linguaggio e i simboli.

Essi sono definiti come un raggruppamento di oggetti, cose o numeri con una qualche caratteristica in comune.

Ad esempio formano un insieme:

  • Le capitali europee
  • Le imprese italiane che esportano
  • Gli alunni della 5a

Grazie a questo argomento è possibile concepire concetti quali relazioni che danno origine a nuovi concetti come le funzioni.

Esercizi in questo ambito li concentriamo prettamente dal punto di vista numerico.

Come i concetti di massimo minimo, estremi, insiemi limitati.

Oppure sugli elementi interni, esterni, la frontiera, punti isolati.

FUNZIONI A UNA VARIABILE

Le funzioni sono l’argomento principe di tutta la matematica.

 A mio avviso rappresentano l’essenza stessa della materia.

Essendo un oggetto complesso in esso confluiscono diversi oggetti matematici, come:

  • Dominio e codominio
  • Intersezioni
  • Segno
  • Limiti
  • Rapporti incrementali
  • Derivate
  • Integrali

I primi due oggetti (dominio, codominio e intersezioni) racchiudono una storia millenaria che prende origine dalle prime civiltà dell’uomo.

Quando le civiltà hanno cominciato a svilupparsi è stato necessario far fronte a diverse esigenze.

Parliamo di opere di irrigazione, costruzione di edifici, contabilità di magazzino.

Si è passato quindi da un sistema di calcoli semplici ad un sistema di calcolo basato su equazioni.

Quando gli schemi si fecero più complessi è stato necessario creare concetti più complessi avvicianndosi al moderno termine di funzione.

I calcoli sui limiti prendono piede dal 1500 con lo sviluppo dei primi esperimenti scientifici ad opera di Galileo Galilei.

Quando Galileo lanciava oggetti dalla torre di Pisa cominciava ad indagare il concetto di accelerazione.

Aveva notato che l’oggetto lanciato percorreva spazzi sempre maggiori in tempi uguali (provare per credere).

Cominciava a chiedersi se fosse possibile continuare a suddividere il tempo in intervalli sempre più piccoli.

Nasceva così il concetto di infinitesimo.

Ora, questo concetto in realtà era noto sin dall’antichità, nell’Antica Magna Grecia.

Tale concetto era noto sotto la forma del paradosso di Zenone.

Tale paradosso affermava che anche il corridore più veloce non avrebbe mai potuto superare una tartaruga se questa fosse partita anche solo un metro davanti a lui.

Comunque queste dispute non solo erano di natura filosofica ma sono state indagate anche dalla matematica.

Hanno dato luogo al concetto di LIMITE.

Una volta definiti i concetti di funzione e limiti, e una volta che Cartesio fu in grado di fondere matematica e geometria nasce tutta un’altra storia.

Nasce la storia delle derivate.

Le derivate a mio avviso sono la tappa più importante di tutta la storia della matematica.

Anche perché vanno ad indagare gli atomi delle funzioni (se così li possiamo chiamare).

Da qui agli integrali è un attimo.

VETTORI MATRICI E SISTEMI LINEARI

Questo è un altro capitolo spettacolare della matematica.

Tutto parte dai vettori che possono essere intesi come una serie ordinata di numeri.

Con questi vettori è possibile fare delle operazioni. Proprio come quelle che facevamo alle scuole elementari.

  • la somma, la differenza
  • la moltiplicazione

queste operazioni danno origine ai concetti fondamentali di

  • VETTORI LINEARMENTE DIPENDENTI
  • VETTORI LINEARMENTE INDIPENDENTI

Credetemi che se riuscite ad afferrare questo concetto il gioco è dalla vostra.

Perché attorno a questi concetti ruota attorno tutto il resto:

  • Determinante
  • Rango
  • Sistema lineare.

Anche se dal punto di vista delle definizioni e delle procedure sembra che stiate facendo esercizi diversi vi assicuro che in realtà state sempre rifacendovi al concetto di dipendenza lineare.

Comunque gli esercizi tipici che andremo ad affrontare sono:

  • Operazioni con i vettori
  • Vettori linearmente dipendenti
  • Operazioni con matrici
  • Determinante di matrici quadrate
  • Rango di matrici
  • Sistemi lineari e applicazione del teorema di Rouché Capelli

FUNZIONI A DUE VARIABILI

Le funzioni a due variabili sono l’evoluzione delle funzioni ad una variabile.

Come se stessimo passando dal livello di Sayan al livello di Super Sayan.

(Questo per chi di voi avesse visto Dragon Ball).

Ma se volute c’è anche l’esempio di Sailor Moon 😉

Le funzioni a due variabili, ma in generale le funzioni a più variabili hanno un vastissimo campo di applicazione:

  • Micro e macro economia
  • Finanza
  • Fisica e ingegneria

Comunque sia anche qui troviamo una procedura simile di studio delle funzioni ad una variabile

  • Dominio
  • Zeri
  • Segno (positività)
  • Limiti
  • Max minimi sella (punti stazionari)

Ovviamente, essendo delle evoluzioni ci saranno delle evoluzioni anche negli strumenti di indagine.

Ad esempio per il dominio servirà tutta la geometria cartesiana.

Così come anche per il segno e gli zeri.

Su questa parte per ora non ci sono esercizi.

Gli esercizi cominceranno dal calcolo del vettore gradiente, che è premessa per trovare i punti stazionari.

Per poter poi capire la natura dei punti servirà poi il concetto di Hessiano.

LEZIONI CON ASTERISCO*

Le lezioni con i titoli contrassegnati da asterisco sono presenti anche nel corso completo di matematica

NOTE FINALI

Il corso eserciziario di matematica consiste circa di una sessantina di lezioni di durata compresa tra i 20 e i 40 minuti.

Questi corsi saranno aggiornati nel corso del tempo con nuovi temi d’esame e nuove lezioni.

Il corso sarà vostro per circa 6 mesi (200 giorni)

Tutti i materiali sono tranquillamente scaricabili in PDF o in EXCEL

Buon divertimento 😉