Esercizi Svolti sulla Semplificazione di Frazioni Algebriche

Semplificare una frazione algebrica significa ridurla ai minimi termini, esattamente come si fa con le frazioni numeriche. Il processo richiede la padronanza della scomposizione e segue tre passaggi obbligatori:

  1. Scomposizione: Scomporre in fattori (il più possibile) sia il Numeratore che il Denominatore.
  2. Condizioni di Esistenza (C.E.): Trovare i valori che annullano il denominatore scomposto. La frazione “esiste” solo se il denominatore è diverso da zero.
  3. Semplificazione: Eliminare (barrare) i fattori identici che appaiono sia al numeratore che al denominatore.

Vengono presentati 10 esercizi di difficoltà crescente.

Livello Base Semplificazione di Frazioni Algebriche

Esercizio 1: Semplificazione di Frazioni Algebriche – Raccoglimento Totale (MCD)

Domanda: Semplifica la frazione $\frac{5x^2 + 10x}{5x}$.

Risposta Corretta: $x + 2$ (con C.E.: $x \neq 0$)

Svolgimento (ID CSS: domanda-1):

  1. Scomponi Num: Raccoglimento Totale $\rightarrow 5x(x + 2)$.
  2. Scomponi Den: Già scomposto $\rightarrow 5x$.
  3. C.E.: $5x \neq 0 \rightarrow x \neq 0$.
  4. Semplifica: $\frac{5x(x + 2)}{5x}$. Eliminiamo il fattore comune $5x$.
  5. Risultato: $x + 2$.

Esercizio 2: Differenza di Quadrati

Domanda: Semplifica $\frac{x^2 – 4}{x^2 + 2x}$.

Risposta Corretta: $\frac{x – 2}{x}$ (con C.E.: $x \neq 0, x \neq -2$)

Svolgimento (ID CSS: domanda-2):

  1. Scomponi Num: Differenza di Quadrati $\rightarrow (x – 2)(x + 2)$.
  2. Scomponi Den: Raccoglimento Totale (MCD) $\rightarrow x(x + 2)$.
  3. C.E.: $x(x + 2) \neq 0 \rightarrow x \neq 0$ e $x \neq -2$.
  4. Semplifica: $\frac{(x – 2)(x + 2)}{x(x + 2)}$. Eliminiamo $(x + 2)$.
  5. Risultato: $\frac{x – 2}{x}$.

Esercizio 3: Quadrato di Binomio

Domanda: Semplifica $\frac{a^2 + 6a + 9}{2a^2 + 6a}$.

Risposta Corretta: $\frac{a + 3}{2a}$ (con C.E.: $a \neq 0, a \neq -3$)

Svolgimento (ID CSS: domanda-3):

  1. Scomponi Num: Quadrato di Binomio $\rightarrow (a + 3)^2$.
  2. Scomponi Den: Raccoglimento Totale (MCD) $\rightarrow 2a(a + 3)$.
  3. C.E.: $2a(a + 3) \neq 0 \rightarrow a \neq 0$ e $a \neq -3$.
  4. Semplifica: $\frac{(a + 3)(a + 3)}{2a(a + 3)}$. Eliminiamo un $(a + 3)$.
  5. Risultato: $\frac{a + 3}{2a}$.

Livello Intermedio – Semplificazione di Frazioni Algebriche

Esercizio 4: Trinomio Speciale (Somma/Prodotto)

Domanda: Semplifica $\frac{x^2 + 5x + 6}{x^2 – x – 6}$.

Risposta Corretta: $\frac{x + 3}{x – 3}$ (con C.E.: $x \neq 3, x \neq -2$)

Svolgimento (ID CSS: domanda-4):

  1. Scomponi Num: Trinomio $x^2 + 5x + 6$ (S=5, P=6 $\rightarrow$ +2, +3) $\rightarrow (x + 2)(x + 3)$.
  2. Scomponi Den: Trinomio $x^2 – x – 6$ (S=-1, P=-6 $\rightarrow$ +2, -3) $\rightarrow (x + 2)(x – 3)$.
  3. C.E.: $(x + 2)(x – 3) \neq 0 \rightarrow x \neq -2$ e $x \neq 3$.
  4. Semplifica: $\frac{(x + 2)(x + 3)}{(x + 2)(x – 3)}$. Eliminiamo $(x + 2)$.
  5. Risultato: $\frac{x + 3}{x – 3}$.

Esercizio 5: Raccoglimento Parziale

Domanda: Semplifica $\frac{ax – a + bx – b}{x^2 – 1}$.

Risposta Corretta: $\frac{a + b}{x + 1}$ (con C.E.: $x \neq 1, x \neq -1$)

Svolgimento (ID CSS: domanda-5):

  1. Scomponi Num: Racc. Parziale $\rightarrow (ax – a) + (bx – b) \rightarrow a(x – 1) + b(x – 1) \rightarrow (a + b)(x – 1)$.
  2. Scomponi Den: Differenza di Quadrati $\rightarrow (x – 1)(x + 1)$.
  3. C.E.: $(x – 1)(x + 1) \neq 0 \rightarrow x \neq 1$ e $x \neq -1$.
  4. Semplifica: $\frac{(a + b)(x – 1)}{(x – 1)(x + 1)}$. Eliminiamo $(x – 1)$.
  5. Risultato: $\frac{a + b}{x + 1}$.

Esercizio 6: Somma/Differenza di Cubi (La Trappola)

Domanda: Semplifica $\frac{y^3 + 8}{y^2 – 2y + 4}$.

Risposta Corretta: $y + 2$ (con C.E.: $\forall y \in \mathbb{R}$)

Svolgimento (ID CSS: domanda-6):

  1. Scomponi Num: Somma di Cubi $\rightarrow (y + 2)(y^2 – 2y + 4)$.
  2. Scomponi Den: $y^2 – 2y + 4$. Questo è un “falso quadrato”. Non è scomponibile (non ha radici reali).
  3. C.E.: Poiché $y^2 – 2y + 4$ non si annulla mai (è sempre positivo), non ci sono C.E. (o $\forall y \in \mathbb{R}$).
  4. Semplifica: $\frac{(y + 2)(y^2 – 2y + 4)}{(y^2 – 2y + 4)}$. Eliminiamo l’intero blocco $(y^2 – 2y + 4)$.
  5. Risultato: $y + 2$.

Livello Avanzato – Semplificazione di Frazioni Algebriche

Esercizio 7: MCD + Scomposizione Ricorsiva

Domanda: Semplifica $\frac{2x^4 – 32}{2x^2 + 8}$.

Risposta Corretta: $(x – 2)(x + 2)$ (con C.E.: $\forall x \in \mathbb{R}$)

Svolgimento (ID CSS: domanda-7):

  1. Scomponi Num: MCD $\rightarrow 2(x^4 – 16)$. Scomponiamo ancora (Diff. Quadrati) $\rightarrow 2(x^2 – 4)(x^2 + 4)$. Scomponiamo ancora $\rightarrow 2(x – 2)(x + 2)(x^2 + 4)$.
  2. Scomponi Den: MCD $\rightarrow 2(x^2 + 4)$.
  3. C.E.: $2(x^2 + 4) \neq 0$. Poiché $x^2+4$ è una somma di quadrati, è sempre positiva, quindi nessuna C.E.
  4. Semplifica: $\frac{2(x – 2)(x + 2)(x^2 + 4)}{2(x^2 + 4)}$. Eliminiamo $2$ e $(x^2 + 4)$.
  5. Risultato: $(x – 2)(x + 2)$ (o $x^2 – 4$).

Esercizio 8: Ruffini + Trinomio Speciale

Domanda: Semplifica $\frac{x^3 + 2x^2 – x – 2}{x^2 + 3x + 2}$.

Risposta Corretta: $x – 1$ (con C.E.: $x \neq -1, x \neq -2$)

Svolgimento (ID CSS: domanda-8):

  1. Scomponi Num: Ruffini. Proviamo $P(1) = 1+2-1-2 = 0$. Divisibile per $(x-1)$.
    • (Con la divisione di Ruffini) $\rightarrow (x – 1)(x^2 + 3x + 2)$.
    • Alternativa (Parziale): $x^2(x+2) – 1(x+2) \rightarrow (x^2-1)(x+2) \rightarrow (x-1)(x+1)(x+2)$. (Entrambi i metodi portano a una scomposizione corretta, usiamo la seconda che è più completa).
  2. Scomponi Den: Trinomio Speciale (S=3, P=2 $\rightarrow$ +1, +2) $\rightarrow (x + 1)(x + 2)$.
  3. Scomposizione Finale (Num): $(x – 1)(x + 1)(x + 2)$.
  4. C.E.: $(x + 1)(x + 2) \neq 0 \rightarrow x \neq -1$ e $x \neq -2$.
  5. Semplifica: $\frac{(x – 1)(x + 1)(x + 2)}{(x + 1)(x + 2)}$. Eliminiamo $(x+1)$ e $(x+2)$.
  6. Risultato: $x – 1$.

Esercizio 9: MCD + Ruffini + Trinomio

Domanda: Semplifica $\frac{2x^3 + 2x^2 – 10x + 6}{x^2 + 2x – 3}$.

Risposta Corretta: $2(x – 1)$ (con C.E.: $x \neq 1, x \neq -3$)

Svolgimento (ID CSS: domanda-9):

  1. Scomponi Num: MCD $\rightarrow 2(x^3 + x^2 – 5x + 3)$.
    • Scomponiamo $(x^3 + x^2 – 5x + 3)$ con Ruffini. $P(1) = 1+1-5+3 = 0$. Divisibile per $(x-1)$.
    • (Con Ruffini) $\rightarrow 2(x – 1)(x^2 + 2x – 3)$.
  2. Scomponi Den: Trinomio Speciale (S=2, P=-3 $\rightarrow$ +3, -1) $\rightarrow (x + 3)(x – 1)$.
  3. Scomposizione Finale (Num): Il trinomio $x^2 + 2x – 3$ nel numeratore è identico al denominatore (ma non serve scomporlo ulteriormente se lo si riconosce).
    • Scomposizione completa Num: $2(x-1)(x+3)(x-1) = 2(x-1)^2(x+3)$.
  4. C.E.: $(x + 3)(x – 1) \neq 0 \rightarrow x \neq -3$ e $x \neq 1$.
  5. Semplifica: $\frac{2(x – 1)^2(x + 3)}{(x + 3)(x – 1)}$. Eliminiamo $(x+3)$ e uno dei $(x-1)$.
  6. Risultato: $2(x – 1)$.

Livello Molto Difficile

Esercizio 10: Scomposizione Multipla (Metodi Combinati)

Domanda: Semplifica $\frac{x^5 – 5x^3 + 4x}{x^4 – 2x^3 – 3x^2 + 4x + 4}$.

Risposta Corretta: $\frac{x(x – 1)(x + 2)}{(x + 1)(x – 2)}$ (con C.E.: $x \neq -1, x \neq 2$)

Svolgimento (ID CSS: domanda-10):

  1. Scomponi Num:
    • MCD $\rightarrow x(x^4 – 5x^2 + 4)$.
    • Trinomio in $x^2$ (S=-5, P=4 $\rightarrow$ -1, -4) $\rightarrow x(x^2 – 1)(x^2 – 4)$.
    • Diff. Quadrati (doppia) $\rightarrow x(x-1)(x+1)(x-2)(x+2)$.
  2. Scomponi Den:
    • Ruffini $P(-1) = 1+2-3-4+4 = 0$. Divisibile per $(x+1)$.
    • Quoziente 1: $x^3 – 3x^2 + 0x + 4$.
    • Ruffini (di nuovo $P(-1)$) $\rightarrow (-1)^3 – 3(-1)^2 + 4 = -1 – 3 + 4 = 0$. Divisibile ancora per $(x+1)$.
    • Quoziente 2: $x^2 – 4x + 4$.
    • Quadrato Binomio: $(x – 2)^2$.
    • Scomposizione Den: $(x + 1)(x + 1)(x – 2)(x – 2) = (x+1)^2(x-2)^2$.
  3. C.E.: $(x+1)^2(x-2)^2 \neq 0 \rightarrow x \neq -1$ e $x \neq 2$.
  4. Semplifica: $\frac{x(x-1)(x+1)(x-2)(x+2)}{(x+1)^2(x-2)^2}$.
  5. Risultato: $\frac{x(x – 1)(x + 2)}{(x + 1)(x – 2)}$.

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