Fino a questo momento abbiamo quasi sempre considerato rette “fisse” e immobili sul piano cartesiano. Ma in geometria analitica esiste un concetto molto affascinante: un’equazione
Fino ad ora, per trovare l’equazione di una retta, abbiamo sempre avuto bisogno di conoscere in partenza la sua pendenza $m$. Ma cosa succede se
Fino a questo momento abbiamo analizzato la retta pezzo per pezzo: abbiamo imparato a scriverne l’equazione (esplicita e implicita), a calcolare la pendenza, a disegnarla,
Nelle lezioni precedenti abbiamo visto che l’equazione esplicita di una retta si scrive come $y = mx + q$. Abbiamo già accennato al fatto che
Uno dei problemi più comuni (e più importanti) della geometria analitica è capire la relazione tra un singolo punto $P$ e una retta $r$. Nello
Avere l’equazione di una retta è come avere una mappa del tesoro, ma per trovare il tesoro devi saperla leggere. Disegnare una retta sul piano
Dopo aver imparato a posizionare punti singoli nel piano cartesiano, il passo successivo e naturale è unire quei punti. La figura geometrica più semplice che
Dopo aver preso confidenza con gli assi e i quadranti, è il momento di unire i punti. Il piano cartesiano dà il meglio di sé
Benvenuto nel mondo della Geometria Analitica! Tutto questo ramo della matematica si basa su una geniale intuizione di Cartesio: unire l’algebra alla geometria associando a
Siamo giunti al traguardo. Hai imparato a calcolare gli integrali immediati, hai dominato l’integrazione per parti, hai sconfitto le funzioni fratte e hai capito il
Fino ad ora abbiamo calcolato integrali definiti “perfetti”, in cui la funzione era continua e l’intervallo di integrazione era limitato, ad esempio tra $a =
Fino ad ora, calcolare un integrale indefinito significava trovare una famiglia di funzioni (le primitive $F(x) + c$). Con l’integrale definito, invece, facciamo un salto
Hai calcolato il $\Delta$ del tuo denominatore ($ax^2+bx+c$) e hai scoperto che è rigorosamente minore di zero. Ottima notizia: puoi salutare i fratti semplici. Nessuna
Se calcolando il Delta del denominatore di una funzione razionale fratta scopri che $\Delta = 0$, hai appena ricevuto un’ottima notizia: quel trinomio di secondo
Quando il denominatore della nostra frazione è un polinomio di secondo grado ($ax^2 + bx + c$) e il numeratore ha un grado inferiore (grado
Nello studio delle funzioni razionali fratte, abbiamo visto che la situazione ideale si verifica quando il numeratore è la derivata esatta del denominatore, regalandoci un
Quando all’esame ti trovi davanti all’integrale di una frazione, non farti prendere dal panico. Prima di pensare a calcoli lunghissimi, devi sempre fare un controllo
Quando compare una radice quadrata al denominatore di un integrale, il battito cardiaco di ogni studente tende ad accelerare. L’istinto è quello di lanciarsi in
Cosa fai quando ti trovi davanti a un integrale che contiene il prodotto di due funzioni completamente diverse tra loro, come un polinomio moltiplicato per
Ci sono integrali che non si lasciano risolvere né con le formule immediate né con il trucco della costante. Quando hai una funzione “incastrata” dentro
Se hai capito bene le derivate delle funzioni composte (la famosa “regola della catena”), gli integrali composti ti sembreranno un gioco da ragazzi. L’idea è
Se hai imparato a memoria la tabella degli integrali elementari, sei già a metà dell’opera. Ma cosa succede quando all’esame ti trovi davanti una funzione
Se vuoi imparare a risolvere gli integrali senza andare nel panico, c’è solo un punto di partenza: gli integrali elementari. Queste sono le “tabelline” dell’integrazione,
Pensiamo alla matematica come a un percorso in montagna: se con la derivata calcoliamo, passo dopo passo, la pendenza esatta del sentiero in ogni singolo
Dopo aver trovato crescenza e massimi con la derivata prima, ci manca un ultimo dettaglio visivo per disegnare il grafico perfetto: la curvatura! Una funzione,
Abbiamo visto che la derivata rappresenta la pendenza della retta tangente. Ma cosa succede quando una funzione “fa una piega strana”, ha un picco o
Dopo aver scovato i punti stazionari, è il momento di scoprire la vera “forma” del grafico della funzione. Per farlo, dobbiamo studiare il segno della
Una volta imparato a calcolare le derivate con tutte le regole possibili, è il momento di usarle per uno scopo preciso: scoprire i segreti del
Saper calcolare una derivata è solo metà dell’opera; il passo successivo è capirne il significato geometrico. La derivata prima di una funzione in un punto
Dopo aver affrontato potenze, logaritmi ed esponenziali, è il momento di applicare la Regola della Catena (o derivazione delle funzioni composte) all’ultimo grande scoglio dell’Analisi: