Esercizi Svolti sulle Equazioni Irrazionali – Caso radice di f(x) = k

In questo articolo svolgiamo gli Esercizi Svolti sulle Equazioni Irrazionali del tipo $\sqrt[n]{f(x)} = k$, dove l’argomento della radice è una funzione $f(x)$ (polinomio o frazione). Questi esercizi sono presenti nel quiz correlato .

Ripasso: Come Risolvere $\sqrt[n]{f(x)} = k$

La differenza rispetto al caso elementare è che ora, elevando a potenza, non troviamo subito la soluzione, ma otteniamo un’equazione algebrica (lineare, quadratica o fratta) da risolvere.

Anche qui, la strategia dipende dall’indice $n$.

1. Indice $n$ DISPARI

È il caso semplice. Non servono condizioni di esistenza né controlli sul segno di $k$.

• Eleva entrambi i membri alla potenza $n$: $f(x) = k^n$.
• Risolvi l’equazione ottenuta per trovare $x$.

2. Indice $n$ PARI (Il caso principale)

Qui dobbiamo fare molta attenzione.

• Controllo Preliminare su $k$: Una radice pari non può mai essere uguale a un numero negativo.
  • Se $k < 0$: L’equazione è Impossibile. (Stop).
  • Se $k \ge 0$: L’equazione è risolvibile.
• Risoluzione: Eleviamo alla potenza $n$: $f(x) = k^n$.
• Nota sulle C.E.: Di norma, dovremmo porre la Condizione di Esistenza $f(x) \ge 0$. Tuttavia, se $k \ge 0$, l’equazione $f(x) = k^n$ ci assicura automaticamente che $f(x)$ è positivo (o nullo), poiché è uguale a un numero positivo (o nullo). Quindi non serve esplicitare la C.E. in questo caso specifico. Basta risolvere $f(x) = k^n$.

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Esercizi Svolti sulle Equazioni Irrazionali – Caso radice di f(x) = k

Vengono presentati 10 esercizi di difficoltà crescente.

Livello Semplice (Argomento Lineare) – Esercizi Svolti sulle Equazioni Irrazionali – Caso $\sqrt[n]{f(x)} = k$

Esercizio 1: Radice Quadrata con Polinomio Lineare

Domanda: Risolvi $\sqrt{2x – 6} = 4$.

Risposta Corretta: $x = 11$

Svolgimento (ID CSS: domanda-1):

• Analisi: Indice pari ($n=2$), termine noto $k=4$ (positivo, OK).
• Risoluzione: Eleviamo al quadrato.
  • $2x – 6 = 4^2$
  • $2x – 6 = 16$
  • $2x = 22 \rightarrow x = 11$.

Esercizio 2: Radice Cubica (Indice Dispari)

Domanda: Risolvi $\sqrt[3]{x – 5} = 2$.

Risposta Corretta: $x = 13$

Svolgimento (ID CSS: domanda-2):

• Analisi: Indice dispari ($n=3$). Non servono controlli.
• Risoluzione: Eleviamo al cubo.
  • $x – 5 = 2^3$
  • $x – 5 = 8$
  • $x = 13$.

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Livello Intermedio (Casi Impossibili e Quadratic semplici) – Esercizi Svolti sulle Equazioni Irrazionali – Caso radice di f(x) = k

Esercizio 3: Caso Impossibile

Domanda: Risolvi $\sqrt{x^2 + 5x} = -3$.

Risposta Corretta: Impossibile (Nessuna soluzione reale)

Svolgimento (ID CSS: domanda-3):

• Analisi: Indice pari ($n=2$).
• Controllo: Il termine noto è $k = -3$.
• Conclusione: Una radice quadrata non può restituire un risultato negativo. L’equazione è impossibile senza svolgere calcoli.
• $S = \emptyset$.

Esercizio 4: Argomento Quadratico Puro

Domanda: Risolvi $\sqrt{x^2 – 9} = 4$.

Risposta Corretta: $x = 5; x = -5$

Svolgimento (ID CSS: domanda-4):

• Analisi: Indice pari, $k=4 > 0$. Procediamo.
• Elevamento: $x^2 – 9 = 4^2 \rightarrow x^2 – 9 = 16$.
• Equazione risultante: $x^2 = 25$.
• Soluzioni: $x = \pm\sqrt{25} \rightarrow x = 5; x = -5$.

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Livello Avanzato (Equazioni di Secondo Grado Complete) – Esercizi Svolti sulle Equazioni Irrazionali (Caso $\sqrt[n]{f(x)} = k$)

Esercizio 5: Quadratica Completa

Domanda: Risolvi $\sqrt{x^2 – 4x + 3} = \sqrt{3}$.

(Nota: Qui $k=\sqrt{3}$, che è un numero positivo. Rientra nel caso $\sqrt{f(x)}=k$).

Risposta Corretta: $x = 0; x = 4$

Svolgimento (ID CSS: domanda-5):

• Elevamento: $(\sqrt{x^2 – 4x + 3})^2 = (\sqrt{3})^2$.
• $x^2 – 4x + 3 = 3$.
• Forma normale: $x^2 – 4x = 0$.
• Risoluzione: Raccoglimento totale $x(x – 4) = 0$.
• $x_1 = 0, x_2 = 4$.

Esercizio 6: Quadratica con Delta positivo

Domanda: Risolvi $\sqrt{2x^2 – 7} = 5$.

Risposta Corretta: $x = 4; x = -4$

Svolgimento (ID CSS: domanda-6):

• Elevamento: $2x^2 – 7 = 5^2 \rightarrow 2x^2 – 7 = 25$.
• Isolamento: $2x^2 = 32 \rightarrow x^2 = 16$.
• Soluzioni: $x = \pm 4$.

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Livello Molto Avanzato (Equazioni Fratte e Indici Superiori)

Esercizio 7: Equazione Irrazionale Fratta

Domanda: Risolvi $\sqrt{\frac{x+1}{x-2}} = 2$.

Risposta Corretta: $x = 3$

Svolgimento (ID CSS: domanda-7):

• Elevamento: Eleviamo al quadrato.
  • $\frac{x+1}{x-2} = 2^2 \rightarrow \frac{x+1}{x-2} = 4$.
• Risoluzione Fratta: C.E. algebrica del denominatore: $x \neq 2$.
  • $x + 1 = 4(x – 2)$
  • $x + 1 = 4x – 8$
  • $-3x = -9 \rightarrow x = 3$.
• Verifica: $x=3$ è accettabile ($3 \neq 2$).

Esercizio 8: Indice 4 (Pari Superiore)

Domanda: Risolvi $\sqrt[4]{x – 2} = 1$.

Risposta Corretta: $x = 3$

Svolgimento (ID CSS: domanda-8):

• Analisi: Indice pari ($n=4$), $k=1 > 0$.
• Elevamento: Eleviamo alla quarta potenza.
  • $x – 2 = 1^4$
  • $x – 2 = 1$
  • $x = 3$.

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Livello Molto Molto Avanzato (Casi Particolari)- Esercizi Svolti sulle Equazioni Irrazionali – Caso radice di f(x) = k

Esercizio 9: Fratta con Incognita solo al Denominatore

Domanda: Risolvi $\sqrt{\frac{18}{x^2 – 1}} = 3$.

Risposta Corretta: $x = \sqrt{3}; x = -\sqrt{3}$

Svolgimento (ID CSS: domanda-9):

• Elevamento: $\frac{18}{x^2 – 1} = 3^2 \rightarrow \frac{18}{x^2 – 1} = 9$.
• Risoluzione: Dividiamo tutto per 9 per semplificare: $\frac{2}{x^2 – 1} = 1$.
• $2 = x^2 – 1 \rightarrow x^2 = 3$.
• Soluzioni: $x = \pm\sqrt{3}$.
• (Nota: per $x^2=3$, il denominatore $3-1=2 \neq 0$, soluzione accettabile).

Esercizio 10: Equazione con Valore Assoluto Nascosto

Domanda: Risolvi $\sqrt{(x-1)^2} = 5$.

Risposta Corretta: $x = 6; x = -4$

Svolgimento (ID CSS: domanda-10):

• Proprietà Fondamentale: Ricordiamo che $\sqrt{A^2} = |A|$.
• Quindi l’equazione diventa: $|x – 1| = 5$.
• Risoluzione del Valore Assoluto: Si aprono due casi.
  • Caso 1: $x – 1 = 5 \rightarrow x = 6$.
  • Caso 2: $x – 1 = -5 \rightarrow x = -4$.
• Metodo Alternativo (Elevamento):
  • $(x-1)^2 = 25$.
  • $x^2 – 2x + 1 = 25 \rightarrow x^2 – 2x – 24 = 0$.
  • $(x-6)(x+4) = 0 \rightarrow x=6, x=-4$.
• Entrambi i metodi portano allo stesso risultato.

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