Dopo aver preso confidenza con gli assi e i quadranti, è il momento di unire i punti. Il piano cartesiano dà il meglio di sé quando iniziamo a costruirci sopra delle figure geometriche.
Il modo migliore per capire come l’algebra e la geometria collaborano è risolvere un esercizio guidato su un poligono fondamentale: il triangolo.
INDICE
L’Esercizio Guidato
Disegniamo sul piano cartesiano un triangolo i cui vertici hanno le seguenti coordinate:
- $A(1; 1)$
- $B(5; 1)$
- $C(1; 4)$
1. Analisi dei lati (Orizzontali e Verticali)
Se osserviamo le coordinate, notiamo subito qualcosa di speciale:
- I punti $A(1; 1)$ e $B(5; 1)$ hanno la stessa ordinata ($y=1$). Questo significa che il segmento $AB$ è perfettamente orizzontale. La sua lunghezza è semplicemente la differenza tra le ascisse: $|5 – 1| = 4$.
- I punti $A(1; 1)$ e $C(1; 4)$ hanno la stessa ascissa ($x=1$). Questo significa che il segmento $AC$ è perfettamente verticale. La sua lunghezza è la differenza tra le ordinate: $|4 – 1| = 3$.
2. Che tipo di triangolo è?
Poiché l’asse orizzontale e l’asse verticale sono perpendicolari tra loro, anche i segmenti $AB$ e $AC$ lo sono. Il nostro triangolo ha un angolo retto nel vertice $A$. È un triangolo rettangolo!
3. Calcolo dell’Area e del Perimetro
Avere un triangolo rettangolo semplifica enormemente i calcoli:
- L’Area si calcola moltiplicando i due cateti (base e altezza) e dividendo per due: $Area = \frac{AB \times AC}{2} = \frac{4 \times 3}{2} = 6$.
- Per trovare il Perimetro, ci manca l’ipotenusa $BC$. Poiché non è né orizzontale né verticale, per calcolarne la lunghezza possiamo usare il caro vecchio Teorema di Pitagora applicato ai due cateti che abbiamo appena trovato: $BC = \sqrt{AB^2 + AC^2} = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5$.Il perimetro sarà quindi: $4 + 3 + 5 = 12$.
Mettiti alla prova con questi 10 quiz per consolidare le distanze orizzontali, verticali e l’uso di Pitagora nel piano cartesiano.
I 10 Quiz: Esercizio su un Triangolo (PC02)
1. Se due punti nel piano cartesiano hanno la stessa ordinata (stessa $y$), il segmento che li unisce è:
- A) Parallelo all’asse delle ascisse (orizzontale)
- B) Parallelo all’asse delle ordinate (verticale)
- C) Obliquo
- D) Passante per l’origine
2. Qual è la lunghezza del segmento che unisce i punti $P(-2; 3)$ e $Q(5; 3)$?
- A) $3$
- B) $5$
- C) $7$
- D) $8$
3. Se due punti nel piano cartesiano hanno la stessa ascissa (stessa $x$), il segmento che li unisce è:
- A) Parallelo all’asse delle ascisse (orizzontale)
- B) Parallelo all’asse delle ordinate (verticale)
- C) Obliquo
- D) Sovrapposto all’asse $x$
4. Qual è la lunghezza del segmento che unisce i punti $R(4; -1)$ e $S(4; 6)$?
- A) $4$
- B) $5$
- C) $7$
- D) $6$
5. Considera il triangolo di vertici $A(0; 0)$, $B(6; 0)$ e $C(0; 8)$. In quale vertice si trova l’angolo retto?
- A) Vertice $A$
- B) Vertice $B$
- C) Vertice $C$
- D) Non è un triangolo rettangolo
6. Riferendoci al triangolo del quiz precedente ($A(0; 0), B(6; 0), C(0; 8)$), qual è la sua Area geometrica?
- A) $48$
- B) $24$
- C) $14$
- D) $10$
7. Riferendoci sempre al triangolo $A(0; 0), B(6; 0), C(0; 8)$, quanto misura l’ipotenusa $BC$? (Usa il Teorema di Pitagora)
- A) $14$
- B) $100$
- C) $10$
- D) $12$
8. Considera i punti $M(2; 2)$ e $N(2; 5)$. Senza disegnare nulla, cosa puoi affermare con certezza sul segmento $MN$?
- A) È parallelo all’asse $x$ e misura 3
- B) È parallelo all’asse $y$ e misura 3
- C) Passa per l’origine
- D) Misura 7
9. Hai un rettangolo con i lati paralleli agli assi cartesiani. Tre dei suoi vertici sono $(1; 1)$, $(5; 1)$ e $(1; 4)$. Quali sono le coordinate del quarto vertice?
- A) $(4; 5)$
- B) $(5; 5)$
- C) $(5; 4)$
- D) $(4; 1)$
10. Se sposti l’intero triangolo dell’esercizio guidato ($A(1;1), B(5;1), C(1;4)$) di 2 unità verso destra, quali saranno le nuove coordinate del vertice $A$?
- A) $(1; 3)$
- B) $(3; 1)$
- C) $(2; 1)$
- D) $(3; 3)$
Soluzioni e Spiegazioni
1. Risposta A (Parallelo all’asse delle ascisse – orizzontale)
Avendo la stessa “altezza” $y$, i punti si trovano sulla stessa linea orizzontale, formando un segmento parallelo all’asse $x$.
2. Risposta C ($7$)
I punti hanno la stessa $y$ (sono allineati orizzontalmente). La distanza è la differenza in valore assoluto delle ascisse: $|5 – (-2)| = |5 + 2| = 7$.
3. Risposta B (Parallelo all’asse delle ordinate – verticale)
Avendo lo stesso spostamento orizzontale $x$, i punti sono allineati uno sopra l’altro, formando un segmento verticale parallelo all’asse $y$.
4. Risposta C ($7$)
I punti hanno la stessa $x$ (allineati verticalmente). La distanza è la differenza delle ordinate: $|6 – (-1)| = |6 + 1| = 7$.
5. Risposta A (Vertice $A$)
Il lato $AB$ si trova sull’asse $x$ (hanno $y=0$). Il lato $AC$ si trova sull’asse $y$ (hanno $x=0$). Gli assi sono perpendicolari nell’origine $(0;0)$, che corrisponde proprio al vertice $A$.
6. Risposta B ($24$)
La base $AB$ misura $|6-0| = 6$. L’altezza $AC$ misura $|8-0| = 8$. L’area del triangolo rettangolo è $(6 \times 8) / 2 = 48 / 2 = 24$.
7. Risposta C ($10$)
Usiamo il teorema di Pitagora sui due cateti che misurano 6 e 8. Ipotenusa = $\sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10$.
8. Risposta B (È parallelo all’asse $y$ e misura 3)
Entrambi i punti hanno ascissa $x=2$, quindi il segmento è verticale (parallelo all’asse $y$). La sua lunghezza è la differenza delle ordinate: $5 – 2 = 3$.
9. Risposta C ($(5; 4)$)
Il punto deve condividere l’ascissa con il vertice in basso a destra ($x=5$) e l’ordinata con il vertice in alto a sinistra ($y=4$). Quindi il quarto vertice è $(5; 4)$.
10. Risposta B ($(3; 1)$)
Spostare un punto verso destra significa aumentare la sua ascissa (la $x$) lasciando inalterata la sua ordinata (la $y$). Se $A$ parte da $(1; 1)$ e aggiungiamo 2 alla $x$, la nuova posizione sarà $(1+2; 1)$, ovvero $(3; 1)$.
💡 Sfrutta la geometria a tuo vantaggio
Visualizzare segmenti orizzontali e verticali senza dover applicare formule complesse è un trucco “salva-tempo” fondamentale durante i compiti in classe. Non lanciarti subito in calcoli chilometrici: osserva prima le coordinate. Se noti numeri uguali tra le $x$ o le $y$, la soluzione è spesso immediata. Per padroneggiare questi “colpi d’occhio” e imparare a calcolare qualsiasi distanza o area in pochi secondi, accedi ai miei corsi completi.