In questo blog vediamo come calcolare l’equazione di una retta tangente ad una circonferenza condotta da un punto esterno nel sistema cartesiano.
INDICE
RETTA TANGENTE AD UNA CIRCONFERENZA
Consideriamo una circonferenza gamma di equazione:
$$ \gamma: \ x^2 +y^2 +ax +by +c =0 $$
E un punto P di coordinate:
$$ P(x_0, y_0 ) \ \ \text{esterno a } \ \gamma $$
Se vogliamo che il punto P sia esterno alla circonferenza la sua distanza dal centro della circonferenza deve essere maggiore del raggio.
$$ \text{dist} (P,C)> R $$
Inserendo le coordinate del punto nell’equazione della circonferenza avremo che:
$$ x_0^2 +y_0^2 +a \cdot x + b \cdot y +c >0 $$
Si può immediatamente intuire che tra tutte le rette passanti per il punto esterno P solamente due di esse risultano tangenti alla circonferenza.
Come facciamo dunque a trovare le loro equazioni?
Esistono principalmente due metodi per arrivare all’equazione di queste rette.
Il primo è il “metodo del delta”, mentre il secondo è “il metodo della distanza dal centro”.
Oggi parliamo del metodo del delta.
METODO DEL DELTA
Per prima cosa andiamo a scrivere l’equazione del fascio proprio di rette passanti per il punto P:
$$ y= y_0 + m \cdot x – m \cdot x_0 $$
Se conosciamo le coordinate del punto P l’unico parametro che dobbiamo determinare è il coefficiente angolare m (ovvero la pendenza) che rende la retta tangente la retta alla circonferenza.
Fatto ciò, mettiamo a sistema il fascio con l’equazione della circonferenza:
$$ \begin{cases} x^2 +y^2 +ax +by +c =0 \\ y= y_0 + m \cdot x – m \cdot x_0 \end{cases}$$
Ora senza entrare in troppi tecnicismi (che vedremo in sede pratica) andiamo a sostituire la y della retta nell’equazione della circonferenza.
In tal modo otteniamo un’equazione di secondo grado in x del tipo generico:
$$ Ax^2 +Bx+C=0 $$
Sarebbe più opportuno scrivere:
$$ A(m) x^2 +B(m) x+C(m) =0 $$
Dal momento che i tre parametri A, B e C dell’equazione dipendono dal parametro mcoefficiente della retta.
Dal momento che vogliamo la retta sia tangente alla circonferenza significa che avrà un solo punto di intersezione con essa.
Questo significa che il delta dell’equazione di secondo grado deve valere zero.
$$ \Delta =0 $$
Imponendo dunque
$$ (B(m))^2 -4 \cdot A(m) \cdot C(m) =0 $$
Troviamo un’equazione di secondo grado in m.
Risolvendo questa equazione troviamo anche i due coefficienti angolari che stiamo cercando.
$$ m=m_1 \ \lor \ m=m_2 $$
Ovviamente una volta che abbiamo questi ultimi li sostituiamo nell’equazione del fascio per trovare l’equazione delle rette che stiamo cercando.
$$ m = m_1 \to \ y=y_0 +m_1 \cdot (x-x_0) $$
$$ m = m_2 \to \ y=y_0 +m_2 \cdot (x-x_0) $$
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ESEMPIO DI RETTA TANGENTE ALLA CIRCONFERENZA CON IL DELTA
Determina le equazioni delle rette tangenti alla circonferenza di equazione:
$$ \gamma : \ x^2 + y^2 -6x -4y -3 =0 $$
Condotte dal punto P di coordinate:
$$ P(-1, 0) $$
RAPPRESENTAZIONE GRAFICA
Cominciamo a rappresentare graficamente la situazione.
Il centro della circonferenza:
$$ C \left( – \ \frac{-6}{2} , – \ \frac{-4}{2} \right) = (3,2) $$
è il punto C di coordinate:
$$ C(3,2) $$
Mentre il raggio di tale circonferenza è:
$$ R = \sqrt{3^2 +2^2 +3} = \sqrt{16} = 4 $$
Rappresentiamo poi il punto esterno P di coordinate:
$$ P (-3, -2) $$
FASCIO DI RETTE PASSANTI PER P
I più attenti di voi si renderanno certamente conto che una delle rette tangenti è sicuramente la retta orizzontale:
$$ y=-2 $$
Se questo non vi è subito evidente non vi preoccupare perché seguiamo passo a passo questa procedura.
Per prima cosa troviamo il fascio proprio di rette che passano per il punto esterno P:
$$ y = -2 +m \cdot (x+3) $$
Che possiamo scrivere meglio nel seguente modo:
$$ y = -2 + mx +3m $$
SISTEMA E CONDIZIONE DI TANGENZA
Fatto ciò impostiamo il sistema tra la circonferenza e il fascio:
$$ \begin{cases} x^2 + y^2 -6x -4y -3 =0 \\ y = -2 + mx +3m \end{cases}$$
A questo punto sostituiamo nell’equazione della circonferenza il valore della y ricavata dal fascio di rette:
$$ x^2 + (-2 + mx +3m) ^2 -6x -4 \cdot (-2 + mx +3m) -3 =0 $$
Svolgiamo il quadrato di binomio e svolgiamo gli altri conti
$$ x^2 +4 +m^2 x^2 +9m^2 -4mx -12m+6m^2 x -6x +8 -4mx -12m -3=0$$
Raccogliamo in ordine prima le x di grado due, poi le x di grado 1 ed infine i termini che non hanno la x.
$$ (m^2 +1) x^2 +2 \cdot (3m^2 -4m-3) x +(9m^2 -24m+9) =0
Ora imponiamo la condizione di tangenza ovvero la nullità del delta dell’equazione di secondo grado in x.
In questo caso possiamo utilizzare anche il delta quarti dal momento che il termine B dell’equazione è pari:
Si tratta di un’equazione in x di secondo grado del tipo:
$$ Ax^2 +Bx +C =0 $$
Con
$$ A = m^2 +1 \quad B = 2 \cdot (3m^2 -4m-3) \quad C = 9m^2 -24m+9 $$
Siccome B è pari possiamo anche imporre il ∆/4 uguale a zero per sporre la condizione di tangenza:
$$ \frac{\Delta}{4} =0 \to \ \left( \frac{B}{2} \right)^2 – A \cdot C =0 $$
Sostituiamo i valori che dipendono dal parametro m.
$$ (3m^2 -4m-3)^2 – (m^2 +1) \cdot (9m^2 -24m+9) =0 $$
Sviluppiamo il quadrato di binomio e la moltiplicazione tra i polinomi:
$$ 9m^4 +16m^2 +9 -24m^3 -18m^2 +24m – (9m^4 -24m^3 +9m^2 +9m^2 -24m +9)=0$$
Riorganizziamo secondo il grado le due parti di testo
$$ 9m^4 -24m^3-2^2 +24m +9- (9m^4 -24m^3 +18m^2 -24m +9)=0$$
Da notare che l’equazione diventa di secondo grado in quanto le quarte potenze e le terze potenze di m si semplificano
$$ \color{blue}{9m^4} -\color{green}{24m^3}-2^2 +24m +9- (\color{blue}{9m^4} -\color{green}{24m^3} +18m^2 -24m +9)=0$$
Riorganizziamo i termini dell’equazione di secondo grado:
$$ -20 m^2 +48m =0 $4
Dividiamo per –4:
$$ 5m^2 -12m=0 $$
Raccogliamo la m in comune:
$$ m \cdot (5m-12)=0 $$
Troviamo le soluzioni applicando
$$ m=0 \lor m= \frac{12}{5} $$
Adesso inseriamo i valori dei coefficienti angolari trovati nel fascio di rette:
$$ y = -2 +mx+3m $$
Otteniamo le seguenti rette tangenti alla circonferenza passanti per P.
$$ m = 0 \to \ y=-2$$
$$ m= \frac{12}{5} \to \ y= \frac{12}{5} x – \ \frac{26}{5} $$
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