INDICE
RETTA TANGENTE AD UNA CIRCONFERENZA
In questo blog vediamo come calcolare l’equazione di una retta tangente ad una circonferenza condotta da un punto esterno nel sistema cartesiano.
Consideriamo una circonferenza gamma di equazione:
$$ \gamma : \ x^2 +y^2 +ax+by+c =0 $$
E un punto P di coordinate:
$$ P(x_0, y_0 ) \ \ \text{esterno a } \ \gamma $$
Se vogliamo che il punto P sia esterno alla circonferenza la sua distanza dal centro della circonferenza deve essere maggiore del raggio.
$$ \text{dist} (P,C)> R $$
Inserendo le coordinate del punto nell’equazione della circonferenza avremo che:
$$ x_0^2 +y_0^2 +a \cdot x + b \cdot y +c >0 $$
Si può immediatamente intuire che tra tutte le rette passanti per il punto esterno P solamente due di esse risultano tangenti alla circonferenza.
Come facciamo dunque a trovare le loro equazioni?
Esistono principalmente due metodi per arrivare all’equazione di queste rette.
Il primo è il “metodo del delta“, mentre il secondo è “il metodo della distanza dal centro”.
Oggi parliamo del metodo della distanza dal centro.
METODO DELLA DISTANZA DAL CENTRO
Per prima cosa andiamo a scrivere l’equazione del fascio proprio di rette passanti per il punto P:
$$ y= y_0 + m \cdot (x-x_0) $$
Se conosciamo le coordinate del punto P l’unico parametro che dobbiamo determinare è il coefficiente angolare m (ovvero la pendenza) che rende la retta tangente la retta alla circonferenza.
Fatto ciò, mettiamo a sistema il fascio con l’equazione della circonferenza:
Se vogliamo scrivere in forma implicita questo fascio potremo sviluppare i calcoli in questo modo:
$$ y= y_0 + m \cdot x – m \cdot x_0 $$
Spostando tutto a destra e leggendo verso sinistra otteniamo:
$$ mx -y +( y_0 -m x_0) =0 $$
Per quel che ci interessa l’abbiamo riscritto secondo una formula generica del tipo:
$$ ax+by+c=0$$
Siccome i parametri dipendono dalla lettera m possiamo anche scriverla come:
$$ a(m) \cdot x + b(m) \cdot y + c(m) = 0 $$
CONDIZIONE DI TANGENZA: DISTANZA CENTRO-RETTA UGUALE A RAGGIO
Ricordiamo che il centro C di una circonferenza :
$$ \gamma : \ x^2 +y^2 +ax+by+c =0 $$
Si calcola come segue:
$$ C(x_C , y_C) = \left( – \ \frac{a}{2} , – \ \frac{b}{2} \right) $$
Mentre il suo raggio r è dato da:
$$ r = \sqrt{x_C^2 + y_C^2 -c} $$
Noto il fascio di rette in forma parametrica ricavato prima:
$$ mx -y +( y_0 -m x_0) =0 $$
che scritto in maniera più generale risulta del tipo:
$$ a(m) \cdot x + b(m) \cdot y + c(m) = 0 $$
Andiamo ad imporre la condizione di tangenza, ovvero che la distanza tra il centro e la retta deve eguagliare la lunghezza del raggio:
$$ \text{dist} (C, \text{fascio}) = r $$
Tradotto in termini matematici scriviamo una equazione con lato sinistro una frazione e a destra il raggio.
Al numeratore della frazione scriviamo il polinomio del fascio in cui al posto della x e della y scriviamo le coordinate del centro.
Al denominatore la radice quadrata della somma dei quadrati dei termini associati alla x e alla y.$$ \frac{| a(m) \cdot x + b(m) \cdot y + c(m) |}{ \sqrt{ \left( a(m) \right)^2 + \left( b(m) \right)^2 }} = r $$
Dalla quale elevando alla seconda entrambi i membri ne verrà fuori un’equazione di secondo grado in m del tipo:
$$ A m^2 + Bm +C = 0 $$
Risolvendo tale equazione ricaviamo i due coefficienti angolari che inseriti nel fascio di rette ci restituiscono le rette tangenti alla circonferenza.
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ESEMPIO DI CALCOLO DELLA RETTA TANGENTE CONDOTTA DA UN PUNTO ESTERNO ALLA CIRCONFERENZA
Determina le equazioni delle rette tangenti alla circonferenza di equazione:
$$ \gamma: \ x^2 +y^2 -6x -4y -3 =0 $$
Condotte dal punto P di coordinate:
$$ P(-1, 0) $$
RAPPRESENTAZIONE GRAFICA
Cominciamo a rappresentare graficamente la situazione.
Il centro della circonferenza:
$$ \gamma: \ x^2 +y^2 -6x -4y -3 =0 $$
è il punto C di coordinate:
$$ C \left( – \ \frac{-6}{2} , – \ \frac{-4}{2} \right) = (3,2) $$
Mentre il raggio di tale circonferenza è:
$$ R = \sqrt{3^2 +2^2 +3} = \sqrt{16} = 4 $$
Rappresentiamo poi il punto esterno P di coordinate:
$$ P (-3, -2) $$
FASCIO DI RETTE PASSANTI PER P
I più attenti di voi si renderanno certamente conto che una delle rette tangenti è sicuramente la retta orizzontale:
$$ y=-2 $$
Se questo non vi è subito evidente non vi preoccupare perché seguiamo passo a passo questa procedura.
Per prima cosa troviamo il fascio proprio di rette che passano per il punto esterno P:
$$ y = -2 +m \cdot (x+3) $$
Che possiamo scrivere meglio nel seguente modo:
$$ y = -2 + mx +3m $$
Scritta nella sua forma esplicita otteniamo:
$$ mx -y +3m -2 = 0 $$
DISTANZA CENTRO-FASCIO UGUALE A RAGGIO
Passiamo ora alla condizione di tangenza tra retta e circonferenza.
Imponiamo che la distanza tra il centro e la retta del fascio sia uguale al raggio.
$$ \text{dist} (C, \text{fascio} ) = r $$
Ricordiamo i dati che abbiamo a disposizione:
La circonferenza è:
$$ \gamma : \ x^2 +y^2 -6x -4y -3 =0 $$
Con centro e raggio rispettivamente:
$$ C(3,2) \quad R=4 $$
Il fascio di rette passanti per il punto esterno P è dato da:
$$ mx -y +3m -2 = 0 $$
La condizione di tangenza è:
$$ \frac{| a(m) \cdot x + b(m) \cdot y + c(m) |}{ \sqrt{ \left( a(m) \right)^2 + \left( b(m) \right)^2 }} = r $$
Inserendo i dati noti scriviamo:
$$ \frac{3m-2+3m-2}{ \sqrt{m^2 +1}} = 4 $$
Sistemiamo il numeratore e spostiamo a destra la radice:
$$ |6m-4| = 4 \cdot \sqrt{m^2 +1} $$
Dividiamo per 2
$$ |3m-2| = 2 \cdot \sqrt{m^2 +1} $$
Eleviamo al quadrato entrambi i membri:
$$ (3m-2)^2 = 4 \cdot (m^2+1) $$
Sviluppiamo il quadrato di binomio:
$$ 9m^2 -12m +4 = 4m^2 +4 $$
Scriviamo meglio:
$$ 5m^2 -12m = 0$$
Raccogliamo la m a fattor comune:
$$ m \cdot (5m-12)=0 $$
Da cui troviamo le due soluzioni con la legge di annullamento del prodotto:
$$ m=0 \lor m= \frac{12}{5} $$
RETTE TANGENTI
Adesso inseriamo i valori dei coefficienti angolari trovati nel fascio di rette:
$$ y = -2 +mx+3m $$
Il primo valore di m ci fa ottenere la retta:
$$ m=0 \to \ y=-2 $$
Mentre inserendo il secondo valore otteniamo:
$$ m= \frac{12}{5} \to \ y= \frac{12}{5} x – \ \frac{26}{5} $$
Che sono le due rette cercate.
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