QUIZ SUL REGIME SEMPLICE

In questo articolo diamo le risposte ai quiz sul regime ad interesse semplice di matematica finanziaria

LIVELLO 1 – QUIZ REGIME SEMPLICE

DOMANDA 1

La formula per il calcolo del montante nel regime semplice è:

$$ M= C \cdot (1+i \cdot t) $$

I dati di cui disponiamo sono:

$$ C= 200 \quad i= 0,03 \quad t= 2 $$

Inserendo i dati otteniamo:

$$ M = 200 \cdot (1+ 0,03 \cdot 2) = 212 $$

DOMANDA 2

La formula per il calcolo del montante nel regime semplice è:

$$ M= C \cdot (1+i \cdot t) $$

I dati di cui disponiamo sono:

$$ C= 200 \quad i= 0,05 \quad t= 2 + \frac{3}{12}\ \text{ anni} $$

Inserendo i dati otteniamo:

$$ M = 200 \cdot \left(1+ 0,03 \cdot \left(2+\frac{3}{12} \right) \right) = 222,50 $$

DOMANDA 3

La formula per il calcolo del montante nel regime semplice è:

$$ M= C \cdot (1+i \cdot t) $$

I dati di cui disponiamo sono:

$$ C= 200 \quad d= 0,0291262 \quad t= 3 $$

Per prima cosa trasformiamo il tasso di sconto d nel tasso di interesse i con la relazione:

$$ i = \frac{d}{1-d}= \frac{0,0291262}{1-0,0291262}= 0,03 $$

Quindi inseriamo i calcoli nella formula:

$$ M= 200 \cdot (1+0,03 \cdot 2) = 212$$

Chiaramente avremmo potuto anche usare direttamente la formula:

$$ M= C \cdot (1+i \cdot t) \overset{i = \frac{d}{1-d}}{\longrightarrow} M= C \cdot \left(1+ \frac{d}{1-d} \cdot t \right) $$

DOMANDA 4

Dalla formula per il calcolo dell’interesse semplice possiamo ricavare il tempo:

$$ I = C \cdot i \cdot t \to t = \frac{I}{C \cdot i} $$

Ricordando che l’interesse è la differenza tra il montante e il capitale possiamo proseguire scrivendo:

$$ I = C \cdot i \cdot t \to t = \frac{I}{C \cdot i} \to t = \frac{M-C}{C \cdot i} $$

I dati a nostra disposizione sono:

$$ C= 100 \quad M = 113,67 \quad i = 4\% = 0,04 $$

Dunque possiamo inserire tutti i dati nella formula:

$$ t = \frac{M-C}{C \cdot i} = t = \frac{113,67-100}{100 \cdot 0,04} = 3,4175 $$

Per ricavare il numero dei mesi prendiamo la parte frazionaria del risultato e la moltiplichiamo per 12

$$ \text{n. mesi}= 0,4175 \cdot 12 = 5,01 $$

Dunque il tempo è 3 anni e 5 mesi.

DOMANDA 5

Dalla formula per il calcolo dell’interesse semplice possiamo ricavare il tasso di interesse:

$$ I = C \cdot i \cdot t \to i = \frac{I}{C \cdot t} $$

Ricordando che l’interesse è la differenza tra il montante e il capitale possiamo proseguire scrivendo:

$$ I = C \cdot i \cdot t \to i = \frac{I}{C \cdot t} \to i = \frac{M-C}{C \cdot t} $$

I dati a nostra disposizione sono:

$$ C= 100 \quad M = 124 \quad t = 2 + \frac{4}{12}\ \text{ anni}$$

Inseriamo tutto nella formula:

$$ i = \frac{M-C}{C \cdot t} = \frac{124-100}{100 \cdot \left( 2 + \frac{4}{12} \right)} = 0,10286 = 10,286\%$$

LIVELLO 2 – QUIZ REGIME SEMPLICE

DOMANDA 1

Per calcolare il montante nel regime ad interesse semplice quando varia il tassi di interesse usiamo la formula:

$$ M = C \cdot (1+ \sum i_k \cdot t_k ) $$

I dati a nostra disposizione sono:

$$ C = 130 \quad i’ = 3\% \quad i”= 4\% \quad t’= 2 \quad t”= 3 $$

Inseriamo quindi nella formula:

$$ M = 130 \cdot ( 1+ 0,03 \cdot 2 + 0,04 \cdot 3) = 153,40 $$

DOMANDA 2

In questo caso possiamo usare la formula generale dell’interesse semplice:

$$ I = C \dot \sum i_k \cdot t_k $$

Nel caso specifico possiamo scrivere:

$$ I = C \cdot ( i_1 \cdot t_1 + i_2 \cdot t_2 ) $$

Dalla formula inversa ricaviamo il capitale C:

$$ C = \frac{I}{i_1 \cdot t_1 + i_2 \cdot t_2 } $$

I dati a nostra disposizione sono:

$$ I = 209,10 \quad i_1 =0,07 \quad t_1= 3+\frac{4}{12} \quad i_2=0,05 \quad t_2 = 2 + \frac{8}{12} $$

Inseriamo dunque i dati nella formula:

$$ C = \frac{209,10}{0,07 \cdot \left( 3+\frac{4}{12} \right) + 0,05 \cdot \left(2 + \frac{8}{12} \right)} = 570$$

DOMANDA 3

In questo caso possiamo usare la formula generale dell’interesse semplice:

$$ I = C \dot \sum i_k \cdot t_k $$

Possiamo subito determinare l’interesse come la differenza tra il montante ed il capitale:

$$ I = M-C= 135-100 = 35 $$

Sviluppando la prima formula con due tempi otteniamo:

$$ I = C \cdot ( i_1 \cdot t_1 + i_2 \cdot t_2 ) $$

Ricordiamo che:

$$ t_1 = 2+ \frac{4}{12} \quad t_2 = 5- t_1 = 5- \left( 2+ \frac{4}{12} \right) $$

Sempre dalla formula sopra possiamo determinare il secondo tasso i₂

$$ I = C \cdot ( i_1 \cdot t_1 + i_2 \cdot t_2 ) \to i_2 \cdot t_2 = \frac{I}{C} – i_1 \cdot t_1 \to i_2 = \frac{ \frac{I}{C} – i_1 \cdot t_1 }{t_2} $$

Possiamo quindi inserire i dati del testo:

$$ i_2 = \frac{\frac{35}{100} – 0,06 \cdot \left( 2+ \frac{4}{12} \right) }{5- \left( 2+ \frac{4}{12} \right) } = 0,07875 = 7,875\%$$

DOMANDA 4

La procedura è simile a prima.

Dalla formula:

$$ I = C \dot \sum i_k \cdot t_k $$

Nel caso in questione inseriamo due tempi con i relativi tassi:

$$ I = C \cdot ( i_1 \cdot t_1 + i_2 \cdot t_2 ) $$

Chiamiamo il tempo 1 semplicemente t ed il tempo t2 sarà la differenza tra 10 e t (tempi espressi in anni)

$$ t_1 = t \to t_2 = 10-t $$

Dunque sostituiamo nella formula:

$$ I = C \cdot ( i_1 \cdot t + i_2 \cdot (10-t) ) $$

Dividiamo tutto per C , leggiamo il testo da destra a sinistra e sviluppiamo i calcoli dentro la parentesi:

$$ i_1 \cdot t + 10 i_2 – i_2 \cdot t = \frac{I}{C} $$

A sinistra dell’uguale raccogliamo la t a fattor comune e spostiamo il resto a destra, po i risolviamo l’equazione di primo grado:

$$ t \cdot (i_1 – i_2) = \frac{I}{C} – 10 i_2 \to t = \frac{\frac{I}{C} – 10 i_2 }{i_1 – i_2} $$

Ricordiamo ora i dati a nostra disposizione che sono:

$$ C= 100 \quad I = 33,416 \quad i_1 = 3\% \quad i_2 = 4\% $$

Inseriamoli quindi nella formula:

$$ t = \frac{\frac{I}{C} – 10 i_2 }{i_1 – i_2} = \frac{\frac{33,416}{100} – 10 \cdot 0,04 }{0,03-0,04} = 6,584 $$

La parte intera sono dunque 6 anni (già utili per determinare l’azione corretta).

Se vogliamo calcolare anche il numero di mesi moltiplichiamo per 12 la parte frazionaria del numero:

$$ \text{n. mesi}= 0,584 \cdot 12 = 7 $$

Dunque 6 anni e 7 mesi.

DOMANDA 5

Applichiamo direttamente la formula del tasso medio di interesse del regime semplice:

$$ \bar i = \frac{\sum i_k \cdot t_k}{\sum t_k} $$

Con i tempi espressi in anni:

$$ \bar i = \frac{0,06 \cdot 5 + 0,05 \cdot 3 + 0,04 \cdot 1}{5+3+1} = 0,054444… $$

Come risposta scriviamo dunque: 5,44%.

DOMANDA 6

Dopo il primo investimento il montante M₁ risulta:

$$ M_1 = C \cdot (1+ i_1 \cdot t_1) $$

Il montante finale al termine del secondo investimento è:

$$ M = M_1 \cdot (1+ i_2 \cdot t_2) \to M = C \cdot (1+ i_1 \cdot t_1) \cdot (1+ i_2 \cdot t_2)$$

Applicando la formula inversa abbiamo che il capitale C risulta:

$$ C = \frac{M}{(1+ i_1 \cdot t_1) \cdot (1+ i_2 \cdot t_2)} $$

I dati di cui disponiamo sono:

$$ i_1 = 0,05 \quad t_1 = 2 \quad i_2 = 0,06 \quad t_1 = 3 \quad M = 500 $$

Dunque il capitale C è pari a:

$$ C = \frac{500}{(1+ 0,05 \cdot 2) \cdot (1+ 0,06 \cdot 3)} = 385,21$$

ERRORE DA NON FARE !!!

Il testo dice chiaramente che la cifra viene disinvestito dal primo fondo per essere immessa in un secondo fondo.

Gli interessi sul secondo fondo dunque si capitalizzazione sul montante che viene prelevato nel primo fondo.

Se diversamente avessimo lasciato il capitale sul primo fondo a seguito del cambiamento del tasso gli interessi si sarebbero capitalizzati ancora sul capitale di partenza C.

In questo secondo caso avremmo utilizzato la formula classica per il calcolo del montante quando varia il tasso di interesse:

$$ M = C \cdot \sum i_k \cdot t_k $$

Ovvero il capitale sarebbe stato calcolato come segue:

$$ C = \frac{M}{i_k \cdot t_k} = \frac{500}{1+ 0,05 \cdot 2 + 0,06 \cdot 3} = 390,62$$

LIVELLO 3 – QUIZ REGIME SEMPLICE

DOMANDA 1

Possiamo costruire il seguente sistema dei due montanti in regime ad interesse semplice:

$$ \begin{cases} M_1 = C_1 \cdot (1+ i_1 t_1) \\ M_2 = C_2 \cdot (1+ i_1 t_2) \end{cases} $$

Sapendo che i montanti (M) sono equivalenti e che vengono raggiunti nello stesso tempo possiamo riscrivere il sistema in questo modo:

$$ \begin{cases} M_1 = C_1 \cdot (1+ i_1 t_1) \\ M_2 = C_2 \cdot (1+ i_1 t_2) \end{cases} \overset{ \begin{array}{c} M_1= M_2 = M \\ t_1 = t_2 = t \end{array}}{\longrightarrow} \begin{cases} M = C_1 \cdot (1+ i_1 t) \\ M = C_2 \cdot (1+ i_2 t) \end{cases}$$

Imponiamo a questo punto l’uguaglianza tra i due montanti:

$$ C_1 \cdot (1+ i_1 t) = C_2 \cdot (1+ i_2 t) $$

Sviluppiamo i conti e ricaviamo l’incognita t

$$ C_1 + C_1 i_1 t = C_2 + C_2 i_2 t \to t ( C_1 i_1 – C_2 i_2) = C_2 – C_1 \to t = \frac{C_2 – C_1}{C_1 i_1 – C_2 i_2} $$

A questo punto ricordiamo quali sono i dati in nostro possesso:

$$C_1 = 120 \quad C_2 = 100 \quad i_1 = 3\% \quad i_2 = 6\% $$

Andiamo quindi a sostituire i dati per ricavare il tempo di pareggio:

$$t = \frac{C_2 – C_1}{C_1 i_1 – C_2 i_2} = \frac{100 – 120}{120 \cdot 0,03 – 100 \cdot 0,06} = 8,3333 $$

Dunque sono 8 anni e 4 mesi.

Se volessimo inoltre calcolare l’importo del montante, basta che inseriamo questo tempo nel primo o secondo montante:

$$ M = 120 \cdot ( 1+ 0,03 \cdot 8,3333) = 100 \cdot ( 1+ 0,06 \cdot 8,3333) = 150 $$

DOMANDA 2

Ci muoviamo come nel precedente esercizio: impostiamo il seguente sistema dei due montanti in regime ad interesse semplice:

$$ \begin{cases} M_1 = C_1 \cdot (1+ i_1 t_1) \\ M_2 = C_2 \cdot (1+ i_1 t_2) \end{cases} $$

Sapendo che i montanti (M) sono equivalenti e che vengono raggiunti nello stesso tempo possiamo riscrivere il sistema in questo modo:

$$ \begin{cases} M_1 = C_1 \cdot (1+ i_1 t_1) \\ M_2 = C_2 \cdot (1+ i_1 t_2) \end{cases} \overset{ \begin{array}{c} M_1= M_2 = M \\ t_1 = t_2 = t \end{array}}{\longrightarrow} \begin{cases} M = C_1 \cdot (1+ i_1 t) \\ M = C_2 \cdot (1+ i_2 t) \end{cases}$$

Imponiamo a questo punto l’uguaglianza tra i due montanti:

$$ C_1 \cdot (1+ i_1 t) = C_2 \cdot (1+ i_2 t) $$

Con le formule investe ricaviamo il tasso i2:

$$ i_2 =\frac{ \frac{C_1}{C_2} \cdot (1+ i_1 t) -1}{t} $$

I nostri dati sono:

$$C_1 = 120 \quad C_2 = 100 \quad i_1 = 3\% \quad t = 5 + \frac{3}{12} $$

Quindi abbiamo:

$$ i_2 =\frac{ \frac{C_1}{C_2} \cdot (1+ i_1 t) -1}{t} = \frac{ \frac{120}{100} \cdot \left(1+ 0,03 \left(5 + \frac{3}{12} \right) \right) -1}{5 + \frac{3}{12}} = 0,07409 $$

Dunque il tasso applicato a Giorgio è del 7,41%

DOMANDA 3

Ricordiamo la formula generale per calcolare l’intensità istantanea di interesse che è data dal rapporto tra la derivata prima del fattore di montante e il fattore di montante.

$$ \sigma (t) = \frac{m'(t)}{m(t)}$$

Nel caso del regime ad interesse semplice risulta:

$$ \delta (t) = \frac{i}{1+it} $$

Nel nostro caso specifico i dati sono:

$$ i = 7\% = 0,07 \quad t= 6 + \frac{2}{12} $$

Dunque sostituendo abbiamo:

$$ \delta \left( 6 + \frac{2}{12} \right) = \frac{0,07}{1+0,07 \cdot \left( 6 + \frac{2}{12} \right)} = 0,048894 $$

DOMANDA 4

Partiamo in questo caso dalla formula dell’interesse nel regime semplice quando cambia il tasso di interesse:

$$ I = C \sum i_k \cdot t_k $$

Sappiamo che il montante è il doppio del capitale, dunque possiamo dire che l’interesse (differenza tra montante e capitale) è pari al capitale:

$$ M = 2C \to I = M-C = 2C-C = C $$

Inserendo nella formula otteniamo:

$$ I = C \sum i_k \cdot t_k \overset{I= C}{\longrightarrow} C = C \sum i_k \cdot t_k $$

Semplifichiamo l’espressione per C ed otteniamo la seguente relazione:

$$ \sum i_k \cdot t_k = 1 $$

Espandiamo quindi la formula inserendo tre tempi e tre tassi:

$$ i_1 \cdot t_1 + i_2 \cdot t_2 + i_3 \cdot t_3 = 1 $$

Dai dati a disposizione sappiamo che il primo tasso è il 10% e si dimezza ad ogni cambiamento:

$$ i_1 = 10\% \to i_2 = \frac{1}{2} i_1 = 5\% \to i_3 = \frac{1}{2} i_2 = 2,5\% $$

I tempi sappiamo invece che si raddoppiamo ogni volta:

$$ t_1 = t \to t_2 = 2t \quad t_3 = 4t $$

Inseriamo ora questi dati nella formula ricavata sopra:

$$ 0,10 \cdot t + 0,05 \cdot 2t + 0,025 \cdot 4t = 1 $$

Risolviamo quindi l’equazione di primo grado per ricavare il valore del primo tempo:

$$ 0,3 t = 1 \to t = \frac{1}{0,3} = 3,\bar 3 $$

Nello spazio scriviamo dunque: 3,33.

DOMANDA 5

La formula del montante nell’interesse semplice quando varia il tasso di interesse è:

$$ M = C ( 1+ \sum i_k t_k ) $$

Dunque con la formula inversa il capitale risulta:

$$ C = \frac{M}{1+ \sum i_k t_k } $$

Nel nostro caso abbiamo tre tassi e tre tempi:

$$ C = \frac{M}{1+ i_1 t_1 + i_2 t_2 + i_3 t_3} $$

Dai dati sappiamo che il montante M è uguale a 200, mentre i tassi annui che si dimezzano ogni volta sono:

$$ i_1 = 8\% \quad i_2 = 4\% \quad i_3 = 2\% $$

Mentre i tempi espressi in anni sono:

$$ t_1 = 1 \quad t_2 = 2 \quad t_3 = 3 $$

Inseriamo quindi tutti questi dati nella formula per calcolare il capitale investito C:

$$ C = \frac{M}{1+ 0,08 \cdot 1 + 0,04 \cdot 2 + 0,02 \cdot 3} = 163,93$$

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