In questo articolo andiamo a rispondere alle domande dei quiz sul regime composto dividendoli in:
- livello 1
- livello2
- livello 3
INDICE
LIVELLO 1 – QUIZ SUL REGIME COMPOSTO
DOMANDA 1 – montante
Applichiamo la formula del montante nel regime composto:
$$ M = C (1+i)^t $$
I nostri dati sono:
$$ C = 200 \quad i = 3\%= 0,03 \quad t= 2\ \text{ anni} $$
Applichiamo la formula con i dati:
$$ M = C (1+i)^t = 200 \cdot (1+0,03)^2 = 212,18 $$
DOMANDA 2 – montante
Applichiamo la formula del montante nel regime composto:
$$ M = C (1+i)^t $$
I nostri dati sono:
$$ C = 200 \quad i = 5\%= 0,05 \quad t= 2 + \frac{3}{12}\ \text{ anni} $$
Applichiamo la formula con i dati:
$$ M = C (1+i)^t = 200 \cdot (1+0,05)^{2 + \frac{3}{12}} = 223,21 $$
Quindi la risposta corretta è: 223,21.
DOMANDA 3 – montante con tasso di sconto
Applichiamo la formula del montante nel regime composto:
$$ M = C (1+i)^t $$
I nostri dati sono:
$$ C = 200 \quad i = 5\%= 0,05 \quad t= 2 + \frac{3}{12}\ \text{ anni} $$
In questo caso non abbiamo il tasso di interesse ma il tasso di sconto.
Dunque applichiamo la formula che trasforma il tasso di sconto nel relativo tasso di interesse:
$$ i = \frac{d}{1-d}$$
Inseriamo quindi il tasso di sconto fornito dal testo:
$$ d = 0,0291262 \to i = \frac{d}{1-d} = \frac{0,0291262}{1-0,0291262} = 0,03 $$
Riportiamo adesso i dati da inserire nella formula del montante:
$$ C = 200 \quad i = 3\%= 0,03 \quad t= 3 \ \text{ anni} $$
Applichiamo la formula con i dati:
$$ M = C (1+i)^t = 200 \cdot (1+0,03)^{3} = 218,5454$$
Nello spazio inseriamo 218,54.
DOMANDA 4 – CALCOLO DEL TEMPO
Dalla formula del montante nel regime composto possiamo ricavare la formula inversa per il calcolo del tempo:
$$ M = C(1+i)^t \to t = \frac{\ln \left( \frac{M}{C} \right) }{\ln(1+i)} $$
I dati che possediamo sono:
$$ C= 100 \quad M = 113,67 \quad i = 4\% = 0,04 $$
Il tempo in anni risulta dunque:
$$ t = \frac{\ln \left( \frac{M}{C} \right) }{\ln(1+i)} = t = \frac{\ln \left( \frac{113,67}{100} \right) }{\ln(1,04)} = 3,2668 $$
Per ricavare il numero di mesi moltiplichiamo per 12 la parte frazionaria del tempo:
$$ \text{mesi} = 0,2668 \cdot 12 = 3,20 $$
Quindi la risposta è: circa 3 anni e 3 mesi.
Dalla formula del montante nel regime composto possiamo calcolare il tasso di interesse applicando la formula inversa:
$$ M = C(1+i)^t \to i = \left( \frac{M}{C} \right) ^{\frac{1}{t}} – 1 $$
I dati che possediamo sono:
$$ C = 100 \quad M = 124 \quad t= 2 + \frac{4}{12} $$
Inseriamo quindi i dati nella formula del tasso:
$$ i = \left( \frac{M}{C} \right) ^{\frac{1}{t}} – 1 = i = \left( \frac{124}{100} \right) ^{\frac{1}{2 + \frac{4}{12}}} – 1 = 0,09657 $$
L’opzione corretta è dunque : 9,657%.
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LIVELLO 2 – QUIZ SUL REGIME COMPOSTO
DOMANDA 1 – calcolo montante due tassi
La formula per il calcolo del montante nel regime composto quando cambia il tasso è:
$$ M = C \cdot \prod (1+i_k)^{t_k} $$
Nel nostro caso abbiamo due tassi e due tempi, quindi possiamo scrivere:
$$ M = C (1+i_1)^{t_1} (1+i_2)^{t_2} $$
I dati che ci fornisce il testo sono:
$$ C = 130 \quad i_1 = 3\% \quad i_2 = 4\% \quad t_1 = 2 \quad t_2 = 3 $$
Inseriamo i dati nella formula del montante:
$$ M = 130 \cdot (1+0,03)^2 \cdot (1+0,04)^3 = 155,13 $$
L’opzione corretta è dunque 155,13 .
DOMANDA 2 – capitale con cambio tasso
La formula del regime composto quando cambia il tasso è:
$$ M = C \cdot \prod (1+i_k)^{t_k} $$
Sappiamo inoltre che l’interesse è la differenza tra il montante e il capitale
$$ I = M-C = C \cdot \prod (1+i_k)^{t_k} -C = C \left(\prod (1+i_k)^{t_k} -1 \right) $$
Invertendola possiamo calcolare il capitale in funzione dell’interesse, dei tempi e dei tassi:
$$ C = \frac{I}{\prod (1+i_k)^{t_k} -1 } $$
I dati di cui disponiamo sono:
$$ I = 219,10 \quad t_1 = 3 + \frac{4}{12} \quad t_2 = 2+ \frac{8}{12} \quad i_1 = 7\% i_2 = 5\% $$
Inseriamo quindi i dati nella formula:
$$ C = \frac{I}{\prod (1+i_k)^{t_k} -1 } = \frac{219,10}{1,07^{3 + \frac{4}{12}} \cdot 1,05^{2+ \frac{8}{12}}-1} = 513,01 $$
L’opzione corretta è 513,01.
DOMANDA 3 -calcolo tasso, con cambio tasso
La formula per il calcolo del montante nel regime composto quando cambia il tasso è:
$$ M = C \cdot \prod (1+i_k)^{t_k} $$
Nel nostro caso abbiamo due tassi e due tempi, quindi possiamo scrivere:
$$ M = C (1+i_1)^{t_1} (1+i_2)^{t_2} $$
Applicando la formula inversa per il calcolo del secondo tasso i2 otteniamo
$$ i_2 = \left( \frac{M}{C (1+i_1)^{t_1} } \right)^{\frac{1}{t_2}} – 1 $$
I dati che possediamo sono:
$$ C = 100 \quad M = 124 i_1= 4\% \quad t_1 = 2 \quad t_2= 3 $$
Calcoliamo quindi il secondo tasso_
$$ i_2 = \left( \frac{1214}{100 (1+0,03)^{2} } \right)^{\frac{1}{3}} – 1 = 0,04661$$
Dunque la risposta corretta è: 4,661%.
DOMANDA 4 – calcolo tempo, con cambio tasso
La formula per il calcolo del montante nel regime composto quando cambia il tasso è:
$$ M = C \cdot \prod (1+i_k)^{t_k} $$
Nel nostro caso abbiamo due tassi e due tempi, quindi possiamo scrivere:
$$ M = C (1+i_1)^{t_1} (1+i_2)^{t_2} $$
Se chiamiamo il primo tempo incognito t, allora possiamo dire che il secondo tempo è (10-t)
$$ t_1= t \to t_2 = 10-t $$
Gli altri dati disponibili sono:
$$ C = 100 \quad I = 33,416 \quad i_1= 3\% \quad i_2= 4\% $$
Possiamo anche ricavare il montante come la somma tra il capitale e gli interesse
$$ M = C+I = 100+33,416 = 133,416 $$
Sostituiamo questi dati nell’ultima formula in verde:
$$ 100 \cdot 1,03^t \cdot 1,04^{10-t} = 133,416 $$
Si tratta chiaramente di un’equazione esponenziale, che possiamo ricondurre nella forma base:
$$ \left( \frac{1,03}{1,04} \right)^t = \frac{133,416}{100 \cdot 1,04^{10}} $$
Da cui possiamo ricavare t mediante i logaritmi:
$$ t = \frac{\ln \left( \frac{133,416}{100 \cdot 1,04^{10}} \right) }{ \ln \left( \frac{1,03}{1,04} \right)} = 0,092988 $$
Il tempo in anni risulta 0,092988. Se vogliamo calcolare i mesi moltiplichiamo questo numero per 12.
$$ \text{mesi} = 0,092988 \cdot 12 = 1,11 $$
Quindi il tasso è cambiato dopo circa 1 mese.
DOMANDA 5 – tasso medio
Applichiamo la formula del tasso medio del regime composto
$$ \bar i = \left( \prod (1+i_k)^{t_k} \right)^\frac{1}{t}-1 \quad \text{con }\ t= \sum t_k $$
I nostro dati sono:
$$ \begin{array}{ccc} i_1 = 6\% & i_2= 5\% & i_3= 4\% \\ t_1 = 5 & t_2= 3 & t_3=1 \end{array} $$
Calcoliamo quindi il tasso medio
$$ \bar i = \left( 1,06^5 \cdot 1,05^3 \cdot 1,04^1 \right)^\frac{1}{5+3+1} -1 )= 0,5442211 $$
Dunque nello spazio scriviamo 5,44%.
DOMANDA 6 – calcolo capitale con cambio tasso
La formula del montante nel regime composto sin caso di reinvestimento del montante è:
$$ M = C \cdot \prod (1+i_k)^{t_k} $$
Da questa ci ricaviamo il capitale con la formula inversa:
$$ C = \frac{M}{\prod (1+i_k)^{t_k}} $$
I dati che emergono dal testo sono:
$$ t_1= 2 \quad t_2= 3 \quad i_1= 5\% \quad i_2= 6\% \quad M = 500$$
Inseriamo dunque i dati nella formula:
$$ C = \frac{500}{1,05^2 \cdot 1,06^3} = 380,7797 $$
Dunque la risposta corretta è: 380,78.
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LIVELLO 3 – QUIZ SUL REGIME COMPOSTO
DOMANDA 1 – 2 investimenti , tasso di equivalenza montanti
Costruiamo un sistema che rappresenti gli investimento di Giorgio (1) e di Mario (2)
$$ \begin{cases} M_1 = C_1 (1+i_1)^{t_1} \\ M_2 = C_2 (1+i_2)^{t_2} \end{cases} $$
Sappiamo che i montanti devono essere uguali e allo stesso tempo, perciò:
$$ M_1= M_2 = M \quad t_1= t_2= t $$
Quindi il sistema diventa:
$$ \begin{cases} M = C_1 (1+i_1)^{t} \\ M = C_2 (1+i_2)^{t} \end{cases} $$
Siccome vogliamo trovare il tempo di pareggio eguagliamo i valori dei due montanti, ottenendo la seguente equazione esponenziale:
$$ C_1 (1+i_1)^{t} = C_2 (1+i_2)^{t} $$
Possiamo rileggere tale equazione nei seguenti termini, come una equazione esponenziale basica:
$$ \left( \frac{1+i_1}{1+i_2} \right)^t = \frac{C_2}{C_1} $$
Risolvendo l’equazione con i logaritmi otteniamo il tempo che ci serve:
$$ t = \frac{\ln \left( \frac{C_2}{C_1} \right)}{\ln \left( \frac{1+i_1}{1+i_2} \right) } $$
I darti in nostro possesso sono:
$$ C_1 = 120 \quad C_2= 100 \quad i_1= 3\% \quad i_2= 6\% $$
Non ci resta che inserire tutto nell’ultima formula ricavata:
$$ t = \frac{\ln \left( \frac{C_2}{C_1} \right)}{\ln \left( \frac{1+i_1}{1+i_2} \right) } = \frac{\ln \left( \frac{100}{120} \right)}{\ln \left( \frac{1,03}{1,06} \right) } = 6,35 $$
Dunque sono 6,35 anni.
Possiamo calcolare i mesi moltiplicando per 12 la parte decimale del numero:
$$ \text{mesi} = 12 \cdot 0,35 = 4,20 $$
La risposta corretta è dunque: circa 6 anni e 4 mesi.
DOMANDA 2 – 2 investimenti, tasso di equivalenza montanti
Costruiamo un sistema che rappresenti gli investimento di Giorgio (1) e di Mario (2)
$$ \begin{cases} M_1 = C_1 (1+i_1)^{t_1} \\ M_2 = C_2 (1+i_2)^{t_2} \end{cases} $$
Sappiamo che i montanti devono essere uguali e allo stesso tempo, perciò:
$$ M_1= M_2 = M \quad t_1= t_2= t (= 2 + \frac{3}{12}) $$
Eguagliamo i due montanti:
$$ C_1 (1+i_1)^{t} = C_2 (1+i_2)^{t} $$
Con la formula inversa ricaviamo il tasso 2 (mostro un passaggio)
$$ (1+i_2)^{t} = \frac{C_1}{C_2} (1+i_1)^{t} \to i_2 = \left( \frac{C_1}{C_2} (1+i_1)^{t} \right)^\frac{1}{t} -1$$
I nostri dati sono:
$$ C_1= 120 \quad C_2= 100 \quad i_1= 3\% \quad t_1= t_2= 2 + \frac{3}{12} $$
Inseriamo quindi tali dati nella formula per trovare il secondo tasso:
$$ i_2 = \left( \frac{100}{120} (1+0,03)^{2 + \frac{3}{12}} \right)^\frac{1}{2 + \frac{3}{12}} -1 = 0,1169367 $$
L’opzione corretta è pertanto: 11,694%.
DOMANDA 3 – intensità istantanea di interesse
La formula dell’intensità istantanea di interesse nel regime composto è:
$$ \sigma (t) = \ln (1+i) $$
Perciò l’intensità istantanea composta non dipende dal tempo t:
l’unico dato che ci serve è quindi il tasso di interesse:
$$ i = 0,07 $$
Inserendo il dato otteniamo:
$$ \ln (1,07) = 0,06765 $$
L’unica opzione che possiamo mettere è : sempre 0,07 (con dato arrotondato per eccesso)
DOMANDA 4 – calcolo tempo con cambio tasso
La formula per calcolare il montante quando cambia il tasso è:
$$ M = C \cdot \prod (1+i_k)^{t_k} $$
Nel nostro caso abbiamo tre tassi e tre tempi:
$$ M = C (1+i_1)^{t_1} (1+i_2)^{t_2} (1+i_3)^{t_3} $$
Per il tassi di interesse possiamo dire che:
$$ i_1= 10\% \quad i_2 = \frac{1}{2} i_1= 5\% \quad i_3 = \frac{1}{2} i_2 = 2,5\% $$
Per i tempi chiamiamo t1= t, dunque determiniamo gli altri tempi:
$$ t_1= t \quad t_2 = 2 t_1= 2 t \quad t_3 = 2t_2 = 4 t $$
Inseriamo quindi nella formula per calcolare il montante:
$$ M = C (1,10)^{t} (1,05)^{2t} (1,025)^{4t} $$
Possiamo ricavare la seguente equazione esponenziale (con le proprietà delle potenze)
$$ \left(1,10 \cdot 1,05^2 \cdot 1,025^4 \right)^t = \frac{M}{C} $$
Da cui con i logaritmi ricaviamo la t:
$$ t = \frac{\ln \left( \frac{M}{C} \right)}{\ln \left( 1,10 \cdot 1,05^2 \cdot 1,025^4 \right)} $$
Inseriamo ora i valori di capitale e montante, pari rispettivamente a:
$$ C= 100 \quad M = 200 $$
quindi t è uguale a:
$$ t = \frac{\ln \left( \frac{200}{100} \right)}{\ln \left( 1,10 \cdot 1,05^2 \cdot 1,025^4 \right)} = 2,3765$$
Quindi inseriamo il valore: 2,37.
DOMANDA 5 – calcolo capitale con cambio tasso
La formula classica per la convenzione lineare è:
$$ M = C (1+i)^n (i+if) $$
Da questa formula possiamo ricavare quella inversa per il capitale:
$$ C = \frac{M}{(1+i)^n (i+if) } $$
dove n è la parte intera del tempo, mentre f è quella frazionaria
La cosa si complica un po’ con i cambiamenti del tasso, in cui possiamo scrivere questa formula in questo modo:
$$ C = \frac{M}{ \prod (1+i_k)^{n_k} \cdot (1+i_h f_h) } $$
che in questo caso sono:
$$ i_1= 8\% \quad i_2 = \frac{1}{2} i_1= 4\% \quad i_3 = \frac{1}{2} i_2 = 2\% $$
Nel primo anno non ci sono problemi poiché il tempo è certamente intero, quindi usiamo l’8%.
Nei successivi 2 anni e 5 mesi usiamo il 4%.
In particolare sui 2 anni applichiamo la legge esponenziale mentre usiamo quella lineare per 5/12 di anno (5 mesi).
Adesso mancano 3 anni e 9 mesi dove il tasso vigente è del 2%.
Sui primi 7 mesi usiamo la legge lineare, poiché concludono il periodo intero, rispetto al periodo precedente (5 mesi).
Per 3 anni usiamo la legge esponenziale.
Mentre negli ultimi 2 mesi (che completano i 3 anni e 9 mesi) usiamo ancora quella lineare.
Dunque il calcolo risulta:
$$ C = \frac{200}{1,08^1 \cdot 1,04^2 \cdot \left(1+0,04 \cdot \frac{5}{12} \right) \cdot \left(1+0,02 \cdot \frac{7}{12} \right)\cdot 1,02^3 \cdot \left(1+0,02 \cdot \frac{2}{12} \right) } = 156,34 $$
Quindi l’opzione che scegliamo è 156,34.
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