Il Tasso Interno di Rendimento (TIR), acronimo spesso utilizzato anche in inglese come IRR (Internal Rate of Return), è un indicatore finanziario cruciale per valutare la convenienza economica di un investimento.
In sostanza, il TIR rappresenta quel tasso di interesse che, applicato ai flussi di cassa generati da un investimento, ne azzera il Valore Attuale Netto (VAN).
In altre parole, è il tasso di rendimento “interno” all’investimento stesso, il punto in cui il valore attuale degli incassi futuri eguaglia esattamente l’investimento iniziale.
INDICE
Calcolare il TIR di un’operazione finanziaria di investimento
Consideriamo un’operazione di investimento caratterizzata dai seguenti flussi di cassa distribuiti nel tempo:
- Tempi: T = (0, 1, 2)
- Flussi di cassa: X = (-100, +50, +60)
Il flusso negativo di -100 al tempo t=0 rappresenta l’esborso iniziale per l’investimento, mentre i flussi positivi di +50 e +60 ai tempi t=1 e t=2 sono gli incassi futuri attesi.
L’obiettivo è trovare il tasso di interesse i che rende nullo il VAN dell’operazione, secondo la formula:
$$VAN = \sum_{t=0}^{n} X_t (1+i)^{-t} = 0$$
Inseriamo i nostri dati:
$$-100+ 50(1+i)^{-1} + 60(1+i)^{-2} = 0$$
Introduciamo il fattore di attualizzazione unitario $$v = (1+i)^{-1}$$. Sostituendo nell’equazione:
$$-100 + 50v + 60v^2 = 0$$
Riorganizziamo il testo in nella forma classica di equazione di secondo grado:
$$60v^2 + 50v – 100 = 0$$
Dividendo per 10 per semplificare:
$$6v^2 + 5v – 10 = 0$$
Risolviamo l’equazione utilizzando la formula risolutiva:
$$v = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 – 4ac}}{2a}$$
Con a = 6, b = 5, c = -10:
$$v = \frac{-5 \pm \sqrt{5^2 – 4(6)(-10)}}{2(6)} = \frac{-5 \pm \sqrt{25 + 240}}{12} = \frac{-5 \pm \sqrt{265}}{12}$$
Otteniamo due soluzioni per v:
$$v_1 \approx \frac{-5 + 16.28}{12} \approx 0.94$$
$$v_2 \approx \frac{-5 – 16.28}{12} \approx -1.77$$
Ricordiamo che il fattore di attualizzazione v = (1+i)^{-1} deve essere positivo per un tasso di interesse finanziariamente significativo, quindi consideriamo solo v_1 che vale all’incirca 0.94$.
Ricaviamo ora il tasso interno di rendimento (i) dal fattore attualizzante v:
$$i = \frac{1}{v} – 1 \approx \frac{1}{0.94} – 1 \approx 1.0638 – 1 \approx 0.0638$$
Pertanto, il TIR di questa operazione finanziaria è approssimativamente del 6.38%.
Il TIR con l’interpolazione lineare
Quando ci troviamo di fronte a operazioni finanziarie con più periodi di flussi di cassa successivi all’investimento iniziale, l’equazione del VAN può diventare di grado superiore al secondo, rendendo difficile o impossibile la risoluzione analitica.
In questi casi, si utilizzano metodi numerici come l’interpolazione lineare per stimare il TIR.
Consideriamo un esempio con quattro tempi e quattro flussi:
- Tempi: T = (0, 1, 2, 3)
- Flussi di cassa: X = (-150, +60, +70, +50)
L’equazione del VAN è:
$$-150 + \frac{60}{1+i} + \frac{70}{(1+i)^2} + \frac{50}{(1+i)^3} = 0$$
Questa è un’equazione di terzo grado in (1+i)^{-1}. Per stimare il TIR con l’interpolazione lineare, calcoliamo il VAN per due tassi di sconto diversi e di segno opposto. Supponiamo di aver calcolato:
- il VAN(9%) che vale circa 2.42$
- VAN(10%) con un valore di -0.03$
Utilizziamo la formula dell’interpolazione lineare:
$$TIR \approx i_1 + (i_2 – i_1) \frac{VAN(i_1)}{VAN(i_1) – VAN(i_2)}$$
Dove
$$i_1 = 0.09, \quad VAN(i_1) = 2.42,\quad i_2 = 0.10,\quad VAN(i_2) = -0.03$$
$$TIR \approx 0.09 + (0.10 – 0.09) \frac{2.42}{2.42 – (-0.03)} \approx 0.09 + 0.01 \frac{2.42}{2.45} \approx 0.099878$$
Il TIR stimato con l’interpolazione lineare è circa il 9.99%.
Calcolare il TIR di un’obbligazione (Zero Coupon Bond)
Un’obbligazione zero-coupon è un titolo che non paga cedole periodiche, ma rimborsa il valore nominale alla scadenza. Consideriamo un’obbligazione con:
- Valore Nominale (VN): 100
- Prezzo di acquisto (P): 95
- Scadenza (n): 3 anni
Al tempo 0 abbiamo una uscita monetaria di 95, mentre al tempo 3 abbiamo un’entrata di 100.L’equazione del VAN è:
$$-95 + \frac{100}{(1+i)^3} = 0$$
$$\frac{100}{(1+i)^3} = 95 \Rightarrow (1+i)^3 = \frac{100}{95} \approx 1.05263$$
$$1+i = \sqrt[3]{1.05263} \approx 1.0173 \Rightarrow \approx 0.0173$$
Il TIR dell’obbligazione zero-coupon è approssimativamente del 1.73% annuo.
Utilità del tasso interno di rendimento
Il TIR si rivela uno strumento fondamentale nell’analisi finanziaria, offrendo un’immediata comparazione della potenziale redditività tra diverse opportunità di investimento.
Un TIR elevato funge da indicatore di un maggiore ritorno atteso sul capitale investito, agendo come un “termometro” della salute finanziaria di un progetto.
Nella scelta tra più iniziative, il TIR fornisce un ranking basato sul rendimento promesso, sebbene debba essere integrato con la valutazione del rischio e delle caratteristiche specifiche dei flussi di cassa.
Nelle decisioni di budgeting del capitale, il TIR agisce come un “semaforo”: progetti con un TIR superiore al costo del capitale sono considerati redditizi e capaci di generare valore. La sua utilità si estende alla valutazione di strumenti finanziari come le obbligazioni, fornendo una misura del rendimento effettivo atteso.
Infine, la sua intuitività e facilità di comunicazione lo rendono un valido strumento per presentare il potenziale di un investimento a diversi stakeholder.
Limiti del suo utilizzo
Nonostante la sua importanza, l’utilizzo del TIR presenta delle limitazioni significative.
In presenza di flussi di cassa non convenzionali, caratterizzati da più di un cambio di segno, il calcolo del TIR potrebbe generare risultati multipli, rendendo l’interpretazione ambigua e potenzialmente fuorviante.
Inoltre, il TIR da solo non è sufficiente per confrontare progetti con dimensioni o durate notevolmente differenti.
Progetti di dimensioni ridotte con un TIR elevato potrebbero non contribuire significativamente al valore aziendale rispetto a progetti più grandi con un TIR leggermente inferiore.
Per una valutazione più completa e affidabile, è cruciale affiancare all’analisi del TIR quella del Valore Attuale Netto (VAN), che considera la dimensione assoluta dei flussi di cassa e il costo opportunità del capitale.
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