In questo articolo vediamo come si studia una conica al variare di un parametro k.
Vediamo un po’ questa equazione:
$$ \frac{x^2}{4k^2 – 1} – \frac{y^2}{k – 3} = 1 $$
Vogliamo capire che forma ha questa figura al variare di $k$.
Ricordiamoci le forme base:
Ellisse: $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ (con $a^2 > 0$ e $b^2 > 0$)}$$
$$\text{Circonferenza: $\frac{x^2}{r^2} + \frac{y^2}{r^2} = 1$ (che è un’ellisse con $a^2 = b^2 = r^2 > 0$)}$$
$$\text{Iperbole con fuochi sull’asse x: $\frac{x^2}{a^2} – \frac{y^2}{b^2} = 1$ (con $a^2 > 0$ e $b^2 > 0$)}$$
$$\text{Iperbole con fuochi sull’asse y: $\frac{y^2}{b^2} – \frac{x^2}{a^2} = 1$ (con $a^2 > 0$ e $b^2 > 0$)}$$
La nostra equazione ha già un meno tra i termini, quindi assomiglia più all’iperbole. Però possiamo anche scriverla come:
$$ \frac{x^2}{4k^2 – 1} + \frac{y^2}{-(k – 3)} = 1 \Rightarrow \frac{x^2}{4k^2 – 1} + \frac{y^2}{3 – k} = 1 $$
INDICE
1) il caso dell’ellisse
Per fare in modo che la nostra conica sia un’ellisse, i denominatori di $x^2$ e $y^2$ devono essere positivi. Quindi:
- $4k^2 – 1 > 0 \Rightarrow k < -\frac{1}{2}$ oppure $k > \frac{1}{2}$
- $3 – k > 0 \Rightarrow k < 3$
Mettendo insieme, abbiamo un’ellisse se $k$ è in questi intervalli:
$$ k \in \left(-\infty, -\frac{1}{2}\right) \cup \left(\frac{1}{2}, 3\right) $$
2) Il caso della circonferenza:
Oltre a essere un’ellisse, per essere un cerchio i due denominatori devono essere uguali:
$$ 4k^2 – 1 = 3 – k $$
Risolvendo l’equazione:
$$ 4k^2 + k – 4 = 0 $$
Le soluzioni sono:
$$ k = \frac{-1 \pm \sqrt{65}}{8} $$
Questi valori di $k$ rientrano negli intervalli per l’ellisse, quindi per questi $k$ abbiamo una circonferenza.
3) il caso dell’iperbole con fuochi sull’asse x:
Vopgliamo ora che la conica scritta in forma parametrica diventi una iperbole con i fuochi sull’asse delle x.
La nostra equazione di partenza è già in questa forma se i denominatori hanno segni opposti. Questo succede quando:
$$ (4k^2 – 1) \cdot (k – 3) < 0 $$
Questo si verifica per:
$$ k \in \left(-\infty, -\frac{1}{2}\right) \cup \left(\frac{1}{2}, 3\right) $$
4)il caso dell’iperbole con fuochi sull’asse y:
Quando invece l’equazione della conica rappresenta una iperbole sull’asse delle y?
Vogliamo la forma $\frac{y^2}{b^2} – \frac{x^2}{a^2} = 1$. Dalla nostra equazione, possiamo pensarla come:
$$ \frac{x^2}{4k^2 – 1} + \frac{y^2}{3 – k} = 1 $$
Per avere l’iperbole con fuochi sull’asse y, il termine con $y^2$ deve essere positivo e quello con $x^2$ negativo. Quindi:
- $3 – k > 0 \Rightarrow k < 3$
- $4k^2 – 1 < 0 \Rightarrow -\frac{1}{2} < k < \frac{1}{2}$
L’intersezione di questi intervalli è:
$$ -\frac{1}{2} < k < \frac{1}{2} $$
In questo caso, abbiamo un’iperbole con i fuochi sull’asse y.
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