L’Equilibrio di Nash Misto estende l’equilibrio di Nash standard (strategia pura) ai giochi in cui i giocatori scelgono la loro azione in modo probabilistico per mantenere l’avversario nell’incertezza.
INDICE
Introduzione e Definizione
Una Strategia Mista è un’assegnazione di probabilità alle strategie pure.
Un Equilibrio di Nash Misto è un profilo di strategie miste (probabilità $x$ e $y$) tale che, data la strategia mista dell’avversario, il giocatore in questione è indifferente tra le sue strategie pure.
Il calcolo si basa sull’eguaglianza delle utilità attese:
$$E[u_A(S)] = E[u_A(T)] \quad (\text{Per trovare la probabilità } y \text{ di B})\\
E[u_B(S)] = E[u_B(T)] \quad (\text{Per trovare la probabilità } x \text{ di A})$$
Esempio 1: Equilibrio di Nash Misto Pareto Inefficiente
Si consideri il gioco con la seguente matrice dei payoff $(u_A, u_B)$:
| B gioca S ($y$) | B gioca T ($1-y$) | |
|---|---|---|
| A gioca S ($x$) | (4, 2) | (1, 4) |
| A gioca T ($1-x$) | (2, 3) | (3, 1) |
Calcolo dell’Equilibrio
- Trovare $y$ (B) che rende A indifferente:
$$4y + 1(1-y) = 2y + 3(1-y)\\
3y + 1 = 3 – y\\
4y = 2 \implies \mathbf{y = 1/2}$$ - Trovare $x$ (A) che rende B indifferente:
$$2x + 3(1-x) = 4x + 1(1-x)\\
3 – x = 3x + 1\\
2 = 4x \implies \mathbf{x = 1/2}$$
Equilibrio di Nash Misto: $(\mathbf{x=1/2}, \mathbf{y=1/2})$
Analisi dell’Efficienza Paretiana
Il payoff atteso è:
$$E[u_A] = 4(1/2) + 1(1/2) = 2.5\\
E[u_B] = 2(1/2) + 4(1/2) = 3$$
Il risultato atteso $(\mathbf{2.5, 3})$ è Pareto Inefficiente poiché è migliorabile da almeno un risultato in strategia pura.
Esempio 2: Equilibrio di Nash Misto con Risultato Finale Inefficiente (Simile a 2B)
Si consideri il gioco con la seguente matrice dei payoff:
| B gioca S ($y$) | B gioca T ($1-y$) | |
|---|---|---|
| A gioca S ($x$) | (3, 2) | (0, 0) |
| A gioca T ($1-x$) | (1, 1) | (2, 3) |
Calcolo dell’Equilibrio
- Trovare $y$ (B) che rende A indifferente:
$$3y + 0(1-y) = 1y + 2(1-y)\\
3y = y + 2 – 2y\\
4y = 2 \implies \mathbf{y = 1/2}$$ - Trovare $x$ (A) che rende B indifferente:
$$2x + 1(1-x) = 0x + 3(1-x)\\
x + 1 = 3 – 3x\\
4x = 2 \implies \mathbf{x = 1/2}$$
Equilibrio di Nash Misto: $(\mathbf{x=1/2}, \mathbf{y=1/2})$
Analisi dell’Efficienza Paretiana
Il payoff atteso è:
$$E[u_A] = 3(1/2) + 0(1/2) = 1.5\\
E[u_B] = 2(1/2) + 0(1/2) = 1$$
Il risultato atteso $(\mathbf{1.5, 1})$ è Pareto Inefficiente perché il risultato in strategia pura $(\text{T, T}) = (2, 3)$ migliora entrambi i giocatori.
Utilizzo e Rilevanza del Misto Nash
L’Equilibrio di Nash Misto è cruciale per l’analisi dei giochi in cui l’elemento di randomizzazione è essenziale, come nel calcio (calci di rigore), nei conflitti militari e nelle strategie di prezzo in oligopolio.
IMPARA LA MACROECONOMIA
Comincia un viaggio che tratta il modello keynesiano del PIL, il mercato monetario, il modello IS-LM, il mondo del lavoro con l’offerta aggregata, fino all’equilibrio di medio periodo.