Strategia Dominante, Equilibrio di Nash e Ottimo Paretiano

Strategia Dominante, Equilibrio di Nash e Ottimo Paretiano sono i tre pilastri concettuali che definiscono il campo della Teoria dei Giochi, offrendo un potente framework per analizzare le interazioni strategiche, sia in economia che nelle scienze sociali.

Questi concetti, nati da menti geniali come Vilfredo Pareto e John Nash, permettono di prevedere i risultati di una competizione, di valutare l’efficienza di un accordo e di distinguere tra l’interesse individuale e quello collettivo.

Fondamenti Teorici: Definizioni

1. Strategia Dominante (SD)

Una strategia dominante è la migliore strategia che un giocatore può adottare, indipendentemente da ciò che fanno gli altri giocatori.

• Definizione: Se, confrontando i pay-off derivanti dall’adozione di una strategia con i pay-off derivanti da qualsiasi altra strategia a sua disposizione, il giocatore ottiene un risultato migliore in tutti i casi possibili (cioè, per ogni mossa dell’avversario), allora quella è una strategia dominante.

2. Equilibrio di Nash (EN)

L’equilibrio di Nash è il concetto centrale della teoria dei giochi non cooperativi.

• Definizione: È una combinazione di strategie in cui nessun giocatore ha un incentivo unilaterale a deviare dalla strategia scelta, data la strategia scelta dall’altro (o dagli altri) giocatore. In un equilibrio di Nash, ogni giocatore sta facendo il meglio che può, considerando le azioni degli altri.

3. Ottimo Paretiano (OP)

L’Ottimo Paretiano è un concetto di efficienza economica introdotto da Vilfredo Pareto.

• Definizione: È una situazione di allocazione delle risorse in cui non è possibile migliorare la condizione (il pay-off) di un individuo senza peggiorare, contemporaneamente, la condizione di almeno un altro individuo. Le situazioni che non sono ottimali secondo Pareto sono dette inferiori e ammettono la possibilità di migliorare la posizione di qualcuno senza danneggiare nessun altro.

Cinque Esempi Contestualizzati (Matrici di Pay-off)

Gli esempi che seguono utilizzano matrici di pay-off dove la coppia (a,b) indica i guadagni (o le perdite) dei giocatori. Il pay-off a si riferisce al Giocatore 1 (Righe/Sinistra), mentre il pay-off b si riferisce al Giocatore 2 (Colonne/Alto).

Esempio 1: Strategia Dominante per Entrambi & Nash = Ottimo Paretiano

Contesto: Competizione tra Honda (Giocatore 1, Righe) e Toyota (Giocatore 2, Colonne) che devono decidere se costruire un nuovo impianto di produzione Grande o Piccolo. I pay-off rappresentano i profitti attesi (in milioni di euro).

	Toyota: Grande	Toyota: Piccolo
Honda: Grande	(a=10, b=10)	(a=15, b=5)
Honda: Piccolo	(a=5, b=15)	(a=7, b=7)

1. Strategia Dominante (SD):
   • Honda (Giocatore 1): Se Toyota sceglie “Grande”, Honda preferisce “Grande” (10 > 5). Se Toyota sceglie “Piccolo”, Honda preferisce “Grande” (15 > 7). Honda ha SD: Grande.
     In particolare per analizzare la scelta di Honda (giociatore 1) leggiamo la matrice per colonne (che sono le scelte di Toyota) focalizzando l’attenzione solo sul primo pay-off $a$ (quello di Honda)
   • Toyota (Giocatore 2): Se Honda sceglie “Grande”, Toyota preferisce “Grande” (10 > 5). Se Honda sceglie “Piccolo”, Toyota preferisce “Grande” (15 > 7). Toyota ha SD: Grande.
     In questo caso per analizzare le scelte di Toyota (giocatore 2) leggiamo la matrice per tighe (che sono le scelte di Honda), ma focalizzando l’attenzione sul secondo pay-off $b$ (quello di Toyota)
2. Equilibrio di Nash (EN): L’unica combinazione di strategie dominanti è (Grande, Grande) = (10, 10).
3. Ottimo Paretiano (OP): Non è possibile muoversi da (10,10) a qualsiasi altro esito senza peggiorare il pay-off di almeno uno dei due. Per esempio, da (10,10) a (15,5), il pay-off di Honda (a) aumenta, ma quello di Toyota (b) diminuisce. L’Ottimo Paretiano è (Grande, Grande), e coincide con l’Equilibrio di Nash.

Esempio 2: Strategia Dominante per Uno & Nash ≠ Ottimo Paretiano

Contesto: Due aziende, Alpha (Giocatore 1) e Beta (Giocatore 2), devono decidere se Investire o Non Investire in una nuova tecnologia. Alpha ha una SD, Beta no.

	Beta: Investire	Beta: Non Investire
Alpha: Investire	(8, 4)	(10, 2)
Alpha: Non Investire	(5, 5)	(7, 6)

1. Strategia Dominante (SD):
   • Alpha (Giocatore 1): Preferisce Investire (8 > 5; 10 > 7). SD di Alpha: Investire.
   • Beta (Giocatore 2): Se Alpha Investe, Beta preferisce Investire (4 > 2). Se Alpha Non Investe, Beta preferisce Non Investire (6 > 5). Beta non ha SD.
2. Equilibrio di Nash (EN): Dato che Alpha sceglierà Investire (la sua SD), Beta risponderà scegliendo la sua migliore risposta a questa strategia, che è Investire (4 > 2). L’Equilibrio di Nash è (Investire, Investire) = (8, 4).
3. Ottimo Paretiano (OP): L’esito (Non Investire, Non Investire) = (7, 6) è Pareto superiore a (8,4) per Beta (6 > 4) e lo è anche l’esito (Non Investire, Investire) = (5, 5) per Beta (5 > 4). Non è possibile migliorare sia Alpha che Beta da (7, 6) o (5, 5). Gli Ottimi Paretiani sono (5, 5) e (7, 6). L’Equilibrio di Nash (8, 4) non è Ottimo Paretiano.

Esempio 3: L’Equilibrio di Nash non Coincide con l’Ottimo Paretiano (Dilemma del Prigioniero)

Contesto: Due criminali, A (Giocatore 1) e B (Giocatore 2), devono decidere se Confessare o Non Confessare (i pay-off sono anni di carcere, valori negativi).

	B: Confessa	B: Non Confessa
A: Confessa	(-5, -5)	(0, -10)
A: Non Confessa	(-10, 0)	(-1, -1)

1. Strategia Dominante (SD): Entrambi hanno SD: Confessa.
2. Equilibrio di Nash (EN): (Confessa, Confessa) = (-5, -5).
3. Ottimo Paretiano (OP): L’esito (Non Confessa, Non Confessa) = (-1, -1) è l’Ottimo Paretiano. Non è possibile raggiungere questo esito attraverso l’azione individuale, ma è l’esito con la massima utilità collettiva. Il Nash è Pareto Inferiore all’OP.

Esempio 4: Non Esiste Strategia Dominante, Non Esiste Equilibrio di Nash (Puro), Esiste l’Ottimo Paretiano

Contesto: Sasso-Carta-Forbici semplificato, dove due aziende, A e B, competono sulla scelta di una tecnologia (I, II, III). Si tratta di un gioco di rivalità ciclica senza equilibrio stabile in strategie pure.

	B: I	B: II	B: III
A: I	(2, 2)	(1, 3)	(3, 1)
A: II	(3, 1)	(2, 2)	(1, 3)
A: III	(1, 3)	(3, 1)	(2, 2)

1. Strategia Dominante (SD): Non esiste.
2. Equilibrio di Nash (EN): Non esiste un EN in strategie pure, poiché il miglior risultato per ogni giocatore dipende sempre dalla mossa dell’altro (es. la migliore risposta a I è III, la migliore risposta a III è II, ecc.).
3. Ottimo Paretiano (OP): Non è possibile passare da (3,1) a (1,3) senza danneggiare il Giocatore 1. Similmente per gli altri esiti che non sono (2,2). In questo scenario, gli esiti che massimizzano il guadagno di almeno uno sono gli Ottimi Paretiani: (1, 3), (3, 1), (2, 2). Tutte le caselle che non sono Pareto dominate (come in questo caso) sono Ottimi Paretiani.

Esempio 5: Più Ottimi Paretiani

Contesto: Il gioco della “Battaglia dei Sessi”, dove una coppia (Marito/A e Moglie/B) deve decidere dove andare a cena: Ristorante o Stadio. Entrambi preferiscono uscire insieme, ma hanno preferenze sul luogo.

	Moglie: Ristorante	Moglie: Stadio
Marito: Ristorante	(5, 3)	(1, 1)
Marito: Stadio	(0, 0)	(3, 5)

1. Strategia Dominante (SD): Non esiste.
2. Equilibrio di Nash (EN): Ci sono due EN in strategie pure: (Ristorante, Ristorante) = (5, 3) e (Stadio, Stadio) = (3, 5).
3. Ottimo Paretiano (OP): Non è possibile muoversi da (5,3) o da (3,5) a qualsiasi altro esito senza peggiorare il pay-off di almeno un componente della coppia. Esistono due Ottimi Paretiani: (5, 3) e (3, 5).

Contesti Pratici di Utilizzo

Concetto	Contesto Pratico	Applicazione
Strategia Dominante	Pubblicità e Marketing	Un’azienda può avere una strategia dominante nell’investire in pubblicità, indipendentemente da ciò che fa il concorrente, se i benefici superano sempre i costi.
	Politica	Un candidato in una corsa elettorale può adottare una strategia dominante (es. focalizzarsi su temi economici) se sa che essa garantisce il maggior numero di voti, a prescindere dalle mosse dell’avversario.
Equilibrio di Nash	Economia degli Oligopoli	Il modello di Cournot (quantità prodotta) e Bertrand (prezzi) utilizzano l’EN per prevedere le decisioni di produzione e prezzo delle aziende in mercati con pochi concorrenti.
	Aste	L’Asta di Vickrey è un meccanismo che rende la dichiarazione della propria vera valutazione (strategia onesta) un Equilibrio di Nash.
	Negoziati Internazionali	Usato per modellare le decisioni degli stati in materia di accordi sul clima o sulla sicurezza, dove ogni stato agisce nel proprio interesse.
Ottimo Paretiano	Politica Economica e Redistribuzione	Nelle politiche pubbliche, un intervento è considerato un miglioramento paretiano se aumenta il benessere di alcune persone (es. sussidi) senza ridurne quello di altre (es. senza aumentare le tasse).
	Commercio Internazionale	Il libero scambio è spesso visto come un Ottimo Paretiano, in quanto, in teoria, aumenta l’efficienza globale, anche se la redistribuzione interna dei benefici richiede attenzione.
	Allocazione di Risorse	Usato per determinare l’efficienza degli scambi in mercati di concorrenza perfetta.

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I Protagonisti: John Nash e l’Equilibrio Non Cooperativo

John Forbes Nash Jr. (1928-2015) è stato un matematico statunitense la cui teoria ha trasformato l’economia e la comprensione delle interazioni umane.

Contesto e Teoria

Il suo lavoro più influente, sviluppato nella tesi di dottorato del 1950, formalizzò il concetto di Equilibrio per i Giochi non Cooperativi, oggi noto come Equilibrio di Nash. L’epoca era quella del dopoguerra e della Guerra Fredda, in cui la teoria dei giochi era vista come uno strumento cruciale per la strategia militare e l’analisi economica.

Ispirazioni e Superamenti

1. Ispirazione: Nash fu ispirato dal lavoro fondamentale di John von Neumann e Oskar Morgenstern nel loro libro del 1944, Theory of Games and Economic Behavior.
2. Superamento: La teoria di Von Neumann si concentrava principalmente sui giochi a somma zero (dove il guadagno di un giocatore è esattamente bilanciato dalla perdita dell’altro). Nash estese l’analisi a tutti i giochi non cooperativi a somma non zero, dimostrando che un equilibrio esiste per qualsiasi gioco finito con un numero finito di giocatori e strategie. Questa generalizzazione ha reso la teoria dei giochi applicabile a un campo infinitamente più vasto.
3. Eredità: Il concetto di Equilibrio di Nash è diventato la pietra angolare per l’analisi dei mercati oligopolistici, delle strategie militari, delle politiche ambientali e persino della biologia evolutiva (con l’Evolutively Stable Strategy di John Maynard Smith).

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I Protagonisti: Vilfredo Pareto e l’Efficienza

Vilfredo Federico Damaso Pareto (1848-1923) è stato un economista, sociologo e ingegnere civile italiano, ricordato per il suo contributo all’economia del benessere.

Nascita del Concetto di Ottimo

Il concetto di Ottimo Paretiano (o efficienza paretiana) si sviluppa nel contesto della sua opera Cours d’économie politique (1896-97) e riflette il suo interesse per la distribuzione della ricchezza e l’efficienza dei sistemi economici.

• Scopo: L’obiettivo di Pareto era trovare un modo oggettivo per giudicare l’efficienza economica di una situazione o di un cambiamento senza dover ricorrere a complessi e spesso arbitrari giudizi interpersonali di utilità. L’ottimo paretiano fornisce un criterio debole ma universale di efficienza: se si può migliorare la vita di qualcuno senza che qualcun altro stia peggio, l’allocazione attuale non è efficiente.

Collegamento con la Cooperazione

Il concetto di Ottimo Paretiano è intrinsecamente legato alla teoria della cooperazione e al Dilemma del Prigioniero.

• Nel Dilemma del Prigioniero (Esempio 3), l’esito non cooperativo (l’Equilibrio di Nash) è inferiore all’Ottimo Paretiano (l’accordo cooperativo).
• Questa discrepanza è la prova più lampante che l’interesse individuale (Nash) non porta sempre al miglior risultato collettivo (Pareto). L’Ottimo Paretiano rappresenta la potenziale ricompensa di un accordo cooperativo, mentre l’Equilibrio di Nash mostra il risultato che si ottiene quando ogni individuo agisce razionalmente per massimizzare il proprio interesse personale, evidenziando la necessità di regole, istituzioni o contratti per raggiungere risultati socialmente migliori.

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