Il Regime a Interesse Composto è il modello finanziario fondamentale e più utilizzato per la valutazione di operazioni a medio e lungo termine come mutui, obbligazioni e investimenti bancari.
Il suo principio cardine è la capitalizzazione degli interessi: gli interessi maturati in un periodo vengono aggiunti al capitale iniziale (o montante accumulato) e, a loro volta, producono interessi nei periodi successivi.
In sostanza, l’interesse produce altro interesse, generando una crescita esponenziale.
INDICE
Le Formule Fondamentali del Regime Composto
Sia $C$ il capitale iniziale, $M$ il montante, $i$ il tasso annuo di interesse e $t$ il tempo in anni.
Montante ($M$)
$$M = C(1 + i)^t$$
Fattore di Montante ($m(t)$)
È il moltiplicatore che esprime il valore accumulato di un’unità di capitale al tempo $t$:
$$m(t) = (1 + i)^t$$
Capitale Iniziale ($C$)
Il capitale iniziale è il montante attualizzato tramite il fattore di sconto:
$$C = M(1 + i)^{-t}$$
Fattore di Sconto ($v(t)$)
È il reciproco del fattore di montante:
$$v(t) = (1 + i)^{-t}$$
Interesse Totale ($I$)
È la differenza tra il montante finale e il capitale iniziale:
$$I = C \left[ (1 + i)^t – 1 \right]$$
Tasso di Interesse Periodale ($i$)
Risolvendo l’equazione del montante per $i$:
$$i = \left( \frac{M}{C} \right)^{1/t} – 1$$
Tempo ($t$)
Risolvendo l’equazione del montante per $t$ (utilizzando i logaritmi):
$$t = \frac{\ln(M/C)}{\ln(1 + i)}$$
Intensità Istantanea di Interesse ($\delta$)
Nel regime composto, l’intensità istantanea è costante ed è il tasso di interesse continuo equivalente al tasso discreto $i$:
$$\delta = \ln(1 + i)$$
Formula del Montante con l’Intensità Istantanea
Utilizzando la relazione fondamentale della capitalizzazione continua $m(t) = e^{\int_{0}^{t} \delta(u) du}$, si può scrivere il montante come:
$$M = C \cdot e^{\delta t}$$
Esempi di Calcolo
Assumiamo un Capitale Iniziale $C = 1.000,00€$ e un Tasso Annuo $i = 0,05$ (5%).
1. Calcolo Montante
(dopo $t=4$ anni)
$$M = 1.000(1 + 0,05)^4 = 1.000(1,215506) \approx 1.215,51€$$
2. Calcolo Capitale
(Montante obiettivo $M=1.500€$, $t=5$ anni)
$$C = 1.500(1 + 0,05)^{-5} \approx 1.175,29€$$
3. Calcolo Tasso
(se $C=1.000€$ diventa $M=1.250€$ in $t=4$ anni)
$$i = \left( \frac{1.250}{1.000} \right)^{1/4} – 1 \approx 0,05737$$
Il tasso annuo è circa $5,737\%$.
4. Calcolo Tempo
(per raddoppiare $C=1.000€$ a $M=2.000€$ con $i=0,05$)
$$t = \frac{\ln(2)}{\ln(1,05)} \approx 14,21 \text{ anni}$$
5. Calcolo Intensità Istantanea ($\delta$)
(con $i=0,05$)
$$\delta = \ln(1 + 0,05) \approx 0,04879$$
L’intensità è circa $4,879\%$.
6. Calcolare il Fattore di Montante dall’Intensità
(con $\delta \approx 0,04879$, $t=4$)
Il fattore di montante $m(4)$ si ottiene:
$$m(4) = e^{0,04879 \times 4} \approx 1,215506$$
Questo è coerente con $(1,05)^4$.
La Scindibilità del Regime Composto
Il Regime a Interesse Composto è l’unico regime di capitalizzazione (insieme alla capitalizzazione continua) ad essere scindibile (o associativo).
La scindibilità è la proprietà per cui il montante accumulato al termine di un periodo totale è indipendente dalla suddivisione temporale intermedia in cui l’operazione è stata condotta.
Matematicamente, per due intervalli di tempo consecutivi $t_1$ e $t_2$:
$$m(t_1 + t_2) = m(t_1) \cdot m(t_2)$$
Nel Regime Composto:
$$(1 + i)^{t_1 + t_2} = (1 + i)^{t_1} \cdot (1 + i)^{t_2}$$
Questa proprietà garantisce la coerenza temporale del regime, rendendolo l’unico regime discreto che non permette arbitraggi temporali.
Motivazione
Il regime composto è scindibile perché la sua intensità istantanea di interesse ($\delta$) è costante nel tempo:
$$\delta = \ln(1 + i)$$
Essendo $\delta$ costante, il tasso di crescita istantaneo è lo stesso in qualsiasi momento. Il capitale accumulato al tempo $t_1$ cresce allo stesso identico tasso nel periodo $t_2$, garantendo la coerenza temporale.
Montante con Tasso Variabile
Quando il tasso d’interesse cambia in intervalli successivi, il montante ($M$) si ottiene capitalizzando successivamente ciascun periodo al rispettivo tasso $i_k$.
$$M = C(1+i_1)^{t_1}(1+i_2)^{t_2}\dots(1+i_n)^{t_n}$$
Esempio: Un capitale $C=5.000€$ investito per 5 anni. Tasso $i_1=0,04$ per i primi $t_1=2$ anni, e $i_2=0,06$ per i successivi $t_2=3$ anni.
$$M = 5.000(1+0,04)^2(1+0,06)^3 \approx 6.442,12€$$
Calcolo del Tasso Medio
Il tasso medio ($\overline{i}$) è il tasso costante che, applicato per il tempo totale $T = \sum t_k$, produce lo stesso montante $M$ ottenuto con i tassi variabili.
$$\overline{i} = \left(\frac{M}{C}\right)^{1/T} – 1$$
Sostituendo l’espressione di $M$:
$$\overline{i} = \left( (1+i_1)^{t_1}(1+i_2)^{t_2}\dots(1+i_n)^{t_n} \right)^{1/T} – 1$$
Esempio (continuazione): Usando $M \approx 6.442,12€$, $C=5.000€$ e $T=5$ anni:
$$\overline{i} = \left(\frac{6.442,12}{5.000}\right)^{1/5} – 1 \approx 0,05187$$
Il tasso medio è circa del 5,187%.
Capitalizzazione e Attualizzazione con Tasso di Sconto
Nel regime composto, il tasso di sconto composto ($d$) è legato al tasso d’interesse $i$ dalla formula di equivalenza.
Formula per passare da $i$ a $d$
$$d = \frac{i}{1+i}$$
Attualizzazione con $d$
Per l’attualizzazione (calcolo del Valore Attuale $C$ da Montante $M$), si usa il fattore di sconto composto $v = 1-d$.
$$C = M(1-d)^t$$
Esempio: Calcoliamo $C$ di $M=1.000€$ esigibili tra $t=3$ anni, con tasso d’interesse $i=0,05$.
- Calcolo del Tasso di Sconto Equivalente $d$:
$$d = \frac{0,05}{1+0,05} \approx 0,047619$$ - Calcolo del Valore Attuale ($C$):
$$C = 1.000(1 – 0,047619)^3 \approx 863,84€$$
Tasso Annuo Nominale Convertibile ($j_k$)
Il Tasso Annuo Nominale convertibile $k$ volte l’anno ($j_k$) è un tasso annuo dichiarato che serve unicamente a determinare il tasso effettivo periodale $i_k$.
Per ciascun periodo il tasso di interesse effettivo di conversione è:
$$i_k = \frac{j_k}{k}$$
Il tasso effettivo annuo ($i$) equivalente è:
$$1 + i = \left(1 + \frac{j_k}{k}\right)^k$$
Esempio: Un tasso annuo nominale $j_4 = 0,08$ (8%) convertibile trimestralmente ($k=4$).
- Tasso Effettivo Trimestrale ($i_4$):
$$i_4 = \frac{0,08}{4} = 0,02 \quad (2\% \text{ trimestrale})$$ - Tasso Effettivo Annuo ($i$):
$$i = (1+0,02)^4 – 1 \approx 0,082432$$
Il tasso effettivo annuo è del 8,2432%.
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