INDICE
Introduzione: Cos’è l’Attualizzazione
L’attualizzazione è l’operazione finanziaria inversa alla capitalizzazione. Consente di determinare il Valore Attuale ($C$) (o capitale) di un Montante ($M$) esigibile a una certa data futura ($t$), in base a un determinato tasso di sconto o interesse. È il processo di riportare un valore futuro nel presente, sottraendo l’interesse che quel capitale avrebbe generato nel tempo.
L’attualizzazione è fondamentale nella valutazione finanziaria e nell’analisi degli investimenti, ad esempio nella determinazione del Valore Attuale Netto (VAN).
Attualizzazione con la Situazione Finanziaria Elementare (SFE)
La Situazione Finanziaria Elementare (SFE) coinvolge un Montante $M$ esigibile all’istante $t$ che ha un Valore Attuale $C$ all’istante $t=0$.
Sconto ($D$)
Lo sconto è l’interesse sottratto per riportare il valore nel presente:
$$D = M – C$$
Tasso di Sconto ($d$)
Il tasso di sconto (unitario) misura la frazione di sconto calcolata sul Montante:
$$d = \frac{D}{M}$$
Intensità di Sconto ($\eta$)
L’intensità di sconto è il rapporto tra il tasso di sconto e il tempo trascorso. Misura il tasso di sconto medio applicato per unità di tempo:
$$\eta = \frac{d}{t}$$
Fattore di Sconto ($v$)
È il rapporto tra il Valore Attuale e il Montante. È il moltiplicatore che trasforma il montante nel valore attuale:
$$v = \frac{C}{M}$$
Si noti che $v = 1-d$.
Esempio di Calcolo dei Concetti SFE
Dato un Montante $M=5.600€$ esigibile tra $t=2$ anni, che ha un Valore Attuale $C=5.000€$:
- Sconto ($D$):
$$D = 5.600 – 5.000 = 600€$$ - Tasso di Sconto ($d$):
$$d = \frac{600}{5.600} \approx 0,10714$$ - Intensità di Sconto ($\eta$):
$$\eta = \frac{0,10714}{2 \text{ anni}} \approx 0,05357 \quad (5,357\%/\text{anno})$$ - Fattore di Sconto ($v$):
$$v = \frac{5.000}{5.600} \approx 0,89286$$
Il Fattore di Sconto ($v(t)$)
Il Fattore di Sconto, $v(t)$, è il moltiplicatore che lega il Montante $M$ al Valore Attuale $C$ in qualsiasi regime finanziario: $C = M \cdot v(t)$. Esso rappresenta il valore attuale di un capitale unitario ($1€$) esigibile al tempo $t$.
I Fattori di Sconto nei Tre Regimi
| Regime Finanziario | Fattore di Sconto $v(t)$ | Esempio ($i=0,05$, $t=2$ anni) |
|---|---|---|
| Interesse Semplice | $v(t) = \frac{1}{1 + i \cdot t}$ | $\frac{1}{1 + 0,05 \cdot 2} \approx 0,90909$ |
| Interesse Composto | $v(t) = (1 + i)^{-t}$ | $(1 + 0,05)^{-2} \approx 0,90703$ |
| Sconto Commerciale (Anticipato) | $v(t) = 1 – d \cdot t$ | $d \approx 0,0476$; $v(2) \approx 0,9048$ |
L’Intensità Istantanea di Sconto
L’Intensità Istantanea di Sconto ($\delta^*(t)$ o $\delta(t)$) misura il tasso di diminuzione istantaneo del valore attuale.
Matematicamente:
$$\delta^*(t) = -\frac{v'(t)}{v(t)} = -\frac{d}{dt} [\ln(v(t))]$$
Esempio di Calcolo dell’Intensità Istantanea di Sconto
Consideriamo un fattore di sconto generico dato da $v(t) = \frac{1}{1 + 0,02t}$.
- Derivata del fattore di sconto $v'(t)$:
$$v'(t) = -0,02(1 + 0,02t)^{-2}$$ - Funzione dell’Intensità Istantanea di Sconto $\delta^(t)$:
$$\delta^(t) = -\frac{-0,02(1 + 0,02t)^{-2}}{(1 + 0,02t)^{-1}} = \frac{0,02}{1 + 0,02t}$$
L’Intensità Istantanea di Sconto nei Tre Regimi
| Regime Finanziario | Intensità Istantanea di Sconto $\delta^*(t)$ | Caratteristica |
|---|---|---|
| Interesse Semplice | $\delta^*(t) = \frac{i}{1 + i \cdot t}$ | Decrescente |
| Interesse Composto | $\delta^*(t) = \ln(1 + i)$ | Costante |
| Sconto Commerciale | $\delta^*(t) = \frac{d}{1 – d \cdot t}$ | Crescente |
L’Attualizzazione nelle Rendite
Per attualizzare una sequenza di flussi di cassa (rendita), si calcola il valore attuale di ciascun flusso fino alla data odierna ($T=0$) e si sommano i risultati.
Esempio di Attualizzazione con Flussi Multipli
Dato un tasso annuo di interesse $i=0,05$. Calcoliamo il Valore Attuale totale $C_{tot}$ all’istante $T=0$ per i flussi: $R_1 = 100€$ ($t=1$), $R_2 = 200€$ ($t=2$), $R_3 = 300€$ ($t=3$). $C_t = R_t \cdot v(t)$.
1. Regime a Interesse Semplice ($i=0,05$)
$$C_{tot} = \sum_{t=1}^{3} R_t \cdot \frac{1}{1 + i \cdot t}$$
- $R_1$: $100 \cdot \frac{1}{1,05} \approx 95,24€$
- $R_2$: $200 \cdot \frac{1}{1,10} \approx 181,82€$
- $R_3$: $300 \cdot \frac{1}{1,15} \approx 260,87€$
$$\mathbf{C_{tot}} \approx 95,24 + 181,82 + 260,87 \approx \mathbf{537,93€}$$
2. Regime a Interesse Composto ($i=0,05$)
$$C_{tot} = \sum_{t=1}^{3} R_t \cdot (1 + i)^{-t}$$
- $R_1$: $100 \cdot (1,05)^{-1} \approx 95,24€$
- $R_2$: $200 \cdot (1,05)^{-2} \approx 181,41€$
- $R_3$: $300 \cdot (1,05)^{-3} \approx 259,15€$
$$\mathbf{C_{tot}} \approx 95,24 + 181,41 + 259,15 \approx \mathbf{535,80€}$$
3. Regime a Sconto Commerciale (Anticipato)
Convertiamo $i=0,05$ nel tasso di sconto equivalente $d$:
$$d = \frac{i}{1+i} = \frac{0,05}{1,05} \approx 0,047619$$
Il valore attuale di ciascun flusso è $C_t = R_t \cdot (1 – d \cdot t)$.
$$C_{tot} = \sum_{t=1}^{3} R_t \cdot (1 – d \cdot t)$$
- $R_1$: $100 \cdot (1 – 0,047619 \cdot 1) \approx 95,24€$
- $R_2$: $200 \cdot (1 – 0,047619 \cdot 2) \approx 180,95€$
- $R_3$: $300 \cdot (1 – 0,047619 \cdot 3) \approx 257,14€$
$$\mathbf{C_{tot}} \approx 95,24 + 180,95 + 257,14 \approx \mathbf{533,33€}$$
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Un percorso che parte dall’attualizzazione e la capitalizzazione nei regimi finanziari. Passando per le le rendite, le operazioni finanziarie, i piani di ammortamento e i criteri di scelta dei progetti. Per fine nella matematica attuariale delle assicurazioni.