Il calcolo della convexity di un Portafoglio con le matrici è un metodo avanzato basato sull’algebra lineare per misurare la sensibilità non lineare del prezzo di un portafoglio ($m$ strumenti, $n$ scadenze) alle variazioni del tasso di interesse.
INDICE
1. Definizione Analitica e Formulazione Matriciale
La Convexity ($C$) è proporzionale alla derivata seconda del prezzo ($P$) rispetto al tasso di interesse ($i$), e la sua formula discreta per una serie di flussi di cassa è:
$$C = \frac{1}{P} \sum_{k=1}^{n} \left[ R_k \cdot t_k \cdot (t_k + 1) \cdot (1+i)^{-(t_k+2)} \right]$$
Il metodo matriciale calcola l’intera sommatoria (il Numeratore $N_C$) e il Valore Attuale Totale ($P$) tramite prodotti compatti.
2. Elementi Matriciali Fondamentali
Definiamo i seguenti elementi per eseguire il calcolo della convexity con le matrici:
A. Matrici dei Dati
- Matrice dei Flussi ($R$): Matrice $m \times n$ che contiene i flussi di cassa ($R_{j,k}$) di tutti gli $m$ strumenti.
$$R_{m \times n} = \begin{pmatrix} R_{1,1} & \dots & R_{1,n} \ \vdots & \ddots & \vdots \ R_{m,1} & \dots & R_{m,n} \end{pmatrix}$$ - Vettore Unità ($\mathbf{1}$): Vettore colonna $m \times 1$ di elementi pari a 1, usato per sommare i contributi di tutti gli strumenti.
$$\mathbf{1}_{m \times 1} = \begin{pmatrix} 1 \ 1 \ \vdots \ 1 \end{pmatrix}$$
B. Matrici di Ponderazione e Sconto
- Vettore Sconto ($V_{fact}$): Vettore riga $1 \times n$ contenente i fattori di attualizzazione $(1+i)^{-t_k}$.
$$V_{fact} = \begin{bmatrix} (1+i)^{-t_1} & \dots & (1+i)^{-t_n} \end{bmatrix}$$ - Matrice Diagonale dei Tempi ($T_{diag}$): Matrice $n \times n$ con le scadenze $t_k$ sulla diagonale.
$$T_{diag} = \begin{pmatrix} t_1 & 0 & \dots & 0 \ 0 & t_2 & \dots & 0 \ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \ 0 & 0 & \dots & t_n \end{pmatrix}$$ - Matrice Diagonale ($T_{plus1}$): Matrice $n \times n$ con gli elementi $(t_k + 1)$ sulla diagonale.
$$T_{plus1} = \begin{pmatrix} t_1+1 & 0 & \dots & 0 \ 0 & t_2+1 & \dots & 0 \ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \ 0 & 0 & \dots & t_n+1 \end{pmatrix}$$
3. Calcolo di $P$ e del Numeratore ($N_C$)
A. Valore Attuale Totale ($P$)
- Vettore dei Prezzi ($P_{vec}$): Si calcola il Valore Attuale per ciascuno strumento ($m \times 1$):
$$P_{vec} = R_{m \times n} \cdot V_{fact}^{\top}$$ - Valore Totale ($P$): Si sommano i prezzi pre-moltiplicando per la trasposta del Vettore Unità ($\mathbf{1}^{\top}$):
$$P = \mathbf{1}^{\top} \cdot P_{vec} = \mathbf{1}^{\top} \cdot (R \cdot V_{fact}^{\top})$$
B. Numeratore della Convexity ($N_C$)
Il Numeratore $N_C$ della Convexity aggregata si ottiene in un unico prodotto matriciale:
$$N_C = \mathbf{1}^{\top} \cdot (R_{m \times n} \cdot T_{diag} \cdot T_{plus1} \cdot V_{fact}^{\top} \cdot (1+i)^{-2})$$
4. Formula Finale della Convexity di Portafoglio
La Convexity aggregata del portafoglio è data dal rapporto tra il Numeratore ($N_C$) e il Valore Attuale Totale ($P$):
$$\mathbf{C} = \frac{N_C}{P}$$
La capacità di esprimere $N_C$ e $P$ in prodotti matriciali rende il calcolo della convexity di un Portafoglio con le matrici estremamente efficiente per l’analisi di rischio e la gestione di portafoglio.