Il calcolo della Duration di un portafoglio con le matrici sfrutta i principi dell’algebra lineare per determinare in modo efficiente la Duration aggregata di portafogli complessi ($m$ strumenti, $n$ scadenze), ottenendo il Valore Attuale Totale ($P$) e il Numeratore ($N$) direttamente tramite prodotti matriciali.
1. La Duration Aggregata e i Vettori Fondamentali
La Duration di un portafoglio ($\text{Dur}_P$) è la media ponderata delle Duration dei singoli strumenti. L’approccio matriciale definisce i seguenti elementi:
- Matrice dei Flussi ($R$): Matrice $m \times n$ contenente tutti i flussi di cassa $R_{j,k}$. Ogni riga è uno strumento.
$$R_{m \times n} = \begin{pmatrix} R_{1,1} & \dots & R_{1,n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ R_{m,1} & \dots & R_{m,n} \end{pmatrix}$$ - Vettore Sconto ($V_{fact}$): Vettore riga $1 \times n$ dei fattori di attualizzazione $(1+i)^{-t_k}$.
- Vettore Tempi ($T$): Vettore riga $1 \times n$ delle scadenze $t_k$.
- Vettore Unità ($\mathbf{1}$): Vettore colonna $m \times 1$ con elementi pari a 1, usato per sommare le righe della matrice $R$.
2. Calcolo del Valore Attuale Totale ($P$)
Il Valore Attuale Totale ($P$) del portafoglio si ottiene sommando i Valori Attuali ($P_j$) di tutti gli strumenti, espressi come prodotti matriciali.
A. Vettore dei Prezzi ($P_{vec}$)
Si calcola il vettore colonna dei Valori Attuali ($m \times 1$) per ciascuno strumento:
$$P_{vec} = R_{m \times n} \cdot V_{fact}^{\top} = \begin{pmatrix} P_1 \\ \vdots \\ P_m \end{pmatrix}$$
B. Valore Attuale Totale ($P$)
Il valore $P$ si ottiene moltiplicando la trasposta del Vettore Unità per il Vettore dei Prezzi:
$$P = \mathbf{1}^{\top} \cdot P_{vec} = \mathbf{1}^{\top} \cdot (R \cdot V_{fact}^{\top})$$
3. Calcolo del Numeratore Totale ($N$)
Il Numeratore Totale ($N$) è la somma di tutti i prodotti $t_k \cdot V_{j,k}$ su tutti i flussi. Si utilizza la Matrice Diagonale dei Tempi ($T_{diag}$) per incorporare le scadenze nel calcolo.
A. Matrice Diagonale dei Tempi ($T_{diag}$)
Matrice quadrata $n \times n$ che pone gli elementi del Vettore dei Tempi sulla sua diagonale:
$$T_{diag} = \begin{pmatrix} t_1 & 0 & \dots & 0 \\ 0 & t_2 & \dots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \dots & t_n \end{pmatrix}$$
B. Numeratore Totale ($N$)
Il Numeratore $N$ è calcolato come un unico prodotto matriciale:
$$N = \mathbf{1}^{\top} \cdot (R_{m \times n} \cdot T_{diag} \cdot V_{fact}^{\top})$$
4. Formula Finale della Duration di Portafoglio
Una volta ottenuti $N$ e $P$ con l’approccio matriciale, la Duration aggregata del portafoglio è:
$$\mathbf{Dur}_P = \frac{N}{P}$$
Questo approccio garantisce scalabilità ed efficienza nell’analisi del rischio. Il calcolo della Duration di un portafoglio con le matrici rappresenta lo standard per la finanza quantitativa moderna.