Esercizi Svolti sulle Disequazioni Irrazionali Elementari

In questo articolo svolgiamo gli Esercizi Svolti sulle Disequazioni Irrazionali Elementari, analizzando i casi $\sqrt[n]{x} > k$ e $\sqrt[n]{x} < k$. Questi esercizi sono fondamentali per superare il quiz dedicato

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Ripasso: Come Risolvere le Disequazioni Irrazionali Elementari

Le disequazioni irrazionali elementari hanno la forma $\sqrt[n]{x} > k$ oppure $\sqrt[n]{x} < k$ (o con $\ge, \le$).

La strategia dipende dall’indice $n$ della radice e dal segno di $k$.

1. Caso Indice $n$ DISPARI

È il caso più semplice. Non servono Condizioni di Esistenza (C.E.) né controlli particolari.

• Si elevano entrambi i membri alla potenza $n$.
• Esempio: $\sqrt[3]{x} > -2 \rightarrow x > (-2)^3 \rightarrow x > -8$.

2. Caso Indice $n$ PARI (es. Radice Quadrata)

Qui bisogna fare attenzione alla Condizione di Esistenza ($x \ge 0$) e al segno di $k$.

A) Caso $\sqrt{x} < k$ (Minore)

Affinché una radice sia minore di un numero $k$:

• Se $k < 0$ (es. $\sqrt{x} < -3$): Impossibile. Una radice non è mai negativa.
• Se $k \ge 0$ (es. $\sqrt{x} < 3$): Bisogna imporre che la radice esista ($x \ge 0$) E che sia minore del quadrato di $k$.
  • Sistema: $\begin{cases} x \ge 0 \\ x < k^2 \end{cases} \rightarrow 0 \le x < k^2$.

B) Caso $\sqrt{x} > k$ (Maggiore)

Affinché una radice sia maggiore di un numero $k$:

• Se $k < 0$ (es. $\sqrt{x} > -3$): La radice (positiva) è sempre maggiore di un numero negativo, purché esista.
  • Soluzione: Basta la C.E. $\rightarrow x \ge 0$.
• Se $k \ge 0$ (es. $\sqrt{x} > 3$): Bisogna elevare al quadrato. La C.E. ($x \ge 0$) è automaticamente soddisfatta se $x > k^2$.
  • Soluzione: $x > k^2$.

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Esercizi Svolti sulle Disequazioni Irrazionali Elementari

Vengono presentati 10 esercizi di difficoltà crescente.

Livello Semplice (Indice Pari, $k > 0$)

Esercizio 1: Radice Minore di un Positivo

Domanda: Risolvi $\sqrt{x} < 5$.

Risposta Corretta: $0 \le x < 25$

Svolgimento (ID CSS: domanda-1):

• Analisi: Indice pari, verso $<$, $k=5$ (positivo).
• Logica: La radice deve esistere ($x \ge 0$) ed essere minore di 5.
• Sistema: $\begin{cases} x \ge 0 \\ x < 5^2 \end{cases} \rightarrow \begin{cases} x \ge 0 \\ x < 25 \end{cases}$.
• Soluzione: $0 \le x < 25$.

Esercizio 2: Radice Maggiore di un Positivo

Domanda: Risolvi $\sqrt{x} > 6$.

Risposta Corretta: $x > 36$

Svolgimento (ID CSS: domanda-2):

• Analisi: Indice pari, verso $>$, $k=6$ (positivo).
• Logica: Eleviamo al quadrato. La condizione $x > 36$ implica automaticamente $x \ge 0$.
• Calcolo: $x > 6^2 \rightarrow x > 36$.

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Livello Intermedio (Indice Pari, $k < 0$) – Esercizi Svolti sulle Disequazioni Irrazionali Elementari

Esercizio 3: Radice Minore di un Negativo (Impossibile)

Domanda: Risolvi $\sqrt{x} < -4$.

Risposta Corretta: Impossibile (Nessuna soluzione reale)

Svolgimento (ID CSS: domanda-3):

• Analisi: Una radice quadrata restituisce sempre un valore non negativo ($\ge 0$).
• Logica: Un numero positivo non può mai essere minore di un numero negativo ($-4$).
• Soluzione: $\emptyset$.

Esercizio 4: Radice Maggiore di un Negativo (Sempre Vera C.E.)

Domanda: Risolvi $\sqrt{x} > -2$.

Risposta Corretta: $x \ge 0$

Svolgimento (ID CSS: domanda-4):

• Analisi: Una radice quadrata ($\ge 0$) è sempre maggiore di un numero negativo ($-2$).
• Condizione: L’unica condizione è che la radice esista.
• Soluzione: C.E. $\rightarrow x \ge 0$.

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Livello Avanzato (Indice Dispari e Disuguaglianze Deboli)

Esercizio 5: Indice Dispari (Minore)

Domanda: Risolvi $\sqrt[3]{x} < -3$.

Risposta Corretta: $x < -27$

Svolgimento (ID CSS: domanda-5):

• Analisi: Indice dispari ($n=3$). Nessun vincolo.
• Metodo: Eleviamo al cubo.
• Calcolo: $x < (-3)^3 \rightarrow x < -27$.

Esercizio 6: Disuguaglianza Debole ($\le$)

Domanda: Risolvi $\sqrt{x} \le 4$.

Risposta Corretta: $0 \le x \le 16$

Svolgimento (ID CSS: domanda-6):

• Analisi: Indice pari, verso $\le$, $k=4$ (positivo).
• Sistema: $\begin{cases} x \ge 0 \\ x \le 4^2 \end{cases}$.
• Soluzione: $0 \le x \le 16$.

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Livello Molto Avanzato (Frazioni e Zero) – Esercizi Svolti sulle Disequazioni Irrazionali Elementari

Esercizio 7: Frazione Semplice

Domanda: Risolvi $\sqrt{x} > \frac{3}{2}$.

Risposta Corretta: $x > 9/4$

Svolgimento (ID CSS: domanda-7):

• Analisi: Indice pari, $k=1.5$ (positivo).
• Metodo: Eleviamo al quadrato.
• Calcolo: $x > (\frac{3}{2})^2 \rightarrow x > \frac{9}{4}$.

Esercizio 8: Confronto con Zero

Domanda: Risolvi $\sqrt{x} \ge 0$.

Risposta Corretta: $x \ge 0$

Svolgimento (ID CSS: domanda-8):

• Analisi: Una radice pari è definita come non negativa.
• Logica: La richiesta “$\ge 0$” coincide esattamente con la Condizione di Esistenza.
• Soluzione: $x \ge 0$.

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Livello Molto Molto Avanzato (Isolamento e Indici Superiori)

Esercizio 9: Da Isolare

Domanda: Risolvi $3\sqrt{x} – 2 < 10$.

Risposta Corretta: $0 \le x < 16$

Svolgimento (ID CSS: domanda-9):

• Isolamento:$3\sqrt{x} < 12$$\sqrt{x} < 4$.
• Riconduzione: Siamo nel caso $\sqrt{x} < k$ con $k=4$ (positivo).
• Sistema: $\begin{cases} x \ge 0 \\ x < 4^2 \end{cases}$.
• Soluzione: $0 \le x < 16$.

Esercizio 10: Indice 4 (Pari Superiore)

Domanda: Risolvi $\sqrt[4]{x} > 2$.

Risposta Corretta: $x > 16$

Svolgimento (ID CSS: domanda-10):

• Analisi: Indice pari ($n=4$), $k=2$ (positivo).
• Metodo: Eleviamo alla quarta potenza.
• Calcolo: $x > 2^4 \rightarrow x > 16$.
• (La condizione $x \ge 0$ è inclusa in $x > 16$).

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