Esercizi Svolti sulle Disequazioni Irrazionali : radice ennesima di f(x) maggiore o minore di k

In questo articolo svolgiamo gli Esercizi Svolti sulle Disequazioni Irrazionali del tipo radice ennesima di f(x) maggiore o minore di k.

$\sqrt[n]{f(x)} \lessgtr k$, dove $f(x)$ è un’espressione contenente l’incognita. Questi esercizi sono presenti nel quiz dedicato [(Nota per te: inserire link al quiz)].

Ripasso: Come Risolvere $\sqrt[n]{f(x)} \lessgtr k$

Come per le equazioni, l’indice dispari è banale (si eleva alla potenza $n$ senza vincoli). L’attenzione si concentra sull’indice $n$ pari (es. radice quadrata).

La risoluzione si basa sempre sulla combinazione della Condizione di Esistenza (C.E.) della radice ($f(x) \ge 0$) e del Controllo sul segno del secondo membro ($k$).

1. Caso $\sqrt{f(x)} < k$ (Minore)

La radice non può mai essere minore di un numero negativo.

• Se $k \le 0$ (es. $\sqrt{f(x)} < -5$): La soluzione è IMPOSSIBILE ($\emptyset$).
• Se $k > 0$ (es. $\sqrt{f(x)} < 5$): Si imposta il sistema (C.E. $\mathbf{E}$ elevamento):$$ \begin{cases} f(x) \ge 0 \quad (\text{C.E. della radice}) \\ f(x) < k^2 \quad (\text{Elevamento al quadrato}) \end{cases}$$La soluzione è data dall’intersezione degli intervalli trovati.

2. Caso $\sqrt{f(x)} > k$ (Maggiore)

Il risultato della radice (non negativo) deve essere maggiore di $k$.

• Se $k < 0$ (es. $\sqrt{f(x)} > -5$): La disuguaglianza è sempre vera purché la radice esista.
  • Soluzione: Basta la C.E. $\rightarrow f(x) \ge 0$.
• Se $k \ge 0$ (es. $\sqrt{f(x)} > 5$): È sufficiente elevare al quadrato.
  • Soluzione: $f(x) > k^2$. (Nota: $f(x) > k^2$ implica già $f(x) \ge 0$).

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Esercizi Svolti sulle Disequazioni Irrazionali (Caso Ampliato)

Vengono presentati 10 esercizi di difficoltà crescente.

Livello Semplice (Argomento Lineare)

Esercizio 1: Radice Minore di un Positivo

Domanda: Risolvi $\sqrt{2x} < 4$.

Risposta Corretta: $0 \le x < 8$

Svolgimento (ID CSS: domanda-1):

• Analisi: Indice pari, $k=4 > 0$. Caso 1 (Minore, $k>0$).
• Sistema: $\begin{cases} 2x \ge 0 \rightarrow x \ge 0 \\ 2x < 4^2 \rightarrow 2x < 16 \rightarrow x < 8 \end{cases}$
• Intersezione: $0 \le x < 8$.

Esercizio 2: Radice Maggiore di un Positivo

Domanda: Risolvi $\sqrt{x + 1} > 2$.

Risposta Corretta: $x > 3$

Svolgimento (ID CSS: domanda-2):

• Analisi: Indice pari, $k=2 \ge 0$. Caso 2 (Maggiore, $k \ge 0$).
• Metodo: Basta elevare al quadrato.
• Calcolo: $x + 1 > 2^2 \rightarrow x + 1 > 4 \rightarrow x > 3$.

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Livello Intermedio (Argomento Quadratico e Casi Estremi)

Esercizio 3: Radice Minore con Argomento Quadratico

Domanda: Risolvi $\sqrt{x^2 – 4} < 2$.

Risposta Corretta: $-2 < x < – \sqrt{8} \lor \sqrt{8} < x < 2$ (Errore: $x^2-4 < 4 \implies x^2 < 8$)

Risposta Corretta: $-2 \sqrt{2} < x < 2 \sqrt{2}$

Svolgimento (ID CSS: domanda-3):

• Analisi: Indice pari, $k=2 > 0$. Caso 1 (Minore, $k>0$).
• Sistema:$\begin{cases} x^2 – 4 \ge 0 \quad (\text{C.E.}) \\ x^2 – 4 < 2^2 \quad (\text{Elevamento}) \end{cases}$
• Risoluzione D1: $x^2 \ge 4 \rightarrow x \le -2 \lor x \ge 2$.
• Risoluzione D2: $x^2 < 8 \rightarrow -\sqrt{8} < x < \sqrt{8}$ (dove $\sqrt{8} \approx 2.82$).
• Intersezione: Dobbiamo intersecare D1 con D2.
  • L’intersezione dà: $-\sqrt{8} < x \le -2 \lor 2 \le x < \sqrt{8}$.
• Risposta Corretta: $-\sqrt{8} < x \le -2 \lor 2 \le x < \sqrt{8}$.

Esercizio 4: Caso $\sqrt{f(x)} > k$ con $k < 0$

Domanda: Risolvi $\sqrt{x^2 – 1} > -10$.

Risposta Corretta: $x \le -1 \lor x \ge 1$

Svolgimento (ID CSS: domanda-4):

• Analisi: Indice pari, $k=-10 < 0$. Caso 2 (Maggiore, $k<0$).
• Metodo: L’unica condizione necessaria è la C.E.
• C.E.: $x^2 – 1 \ge 0$.
• Risoluzione: $(x-1)(x+1) \ge 0$.
• Soluzione: $x \le -1 \lor x \ge 1$.

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Livello Avanzato (Casi Impossibili e Radice Cubica) –Esercizi Svolti sulle Disequazioni Irrazionali del tipo radice ennesima di f(x) maggiore o minore di k.

Esercizio 5: Radice Minore di Zero

Domanda: Risolvi $\sqrt{x^2 + 1} < 0$.

Risposta Corretta: Impossibile

Svolgimento (ID CSS: domanda-5):

• Analisi: Indice pari, verso $<$, $k=0$ (non strettamente $>0$). Caso 1.
• Logica: Una radice non può essere strettamente minore di zero.
• Soluzione: $\emptyset$.

Esercizio 6: Indice Dispari (Ripasso)

Domanda: Risolvi $\sqrt[3]{2x – 1} < 3$.

Risposta Corretta: $x < 14$

Svolgimento (ID CSS: domanda-6):

• Analisi: Indice dispari. Nessun vincolo.
• Metodo: Eleviamo al cubo.
• Calcolo: $2x – 1 < 3^3 \rightarrow 2x – 1 < 27$.$2x < 28 \rightarrow x < 14$.

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Livello Molto Avanzato (Frazioni e Isolamento)

Esercizio 7: Disequazione Irrazionale Fratta

Domanda: Risolvi $\sqrt{\frac{x}{x-1}} \le 2$.

Risposta Corretta: $x < 1 \lor x \ge 4/3$

Svolgimento (ID CSS: domanda-7):

• Analisi: Indice pari, $k=2 > 0$. Caso 1 (Minore, $k>0$).
• Sistema:$\begin{cases} \frac{x}{x-1} \ge 0 \quad (\text{C.E.}) \\ \frac{x}{x-1} \le 2^2 \quad (\text{Elevamento}) \end{cases}$
• Risoluzione D1 (C.E.): $\frac{x}{x-1} \ge 0 \rightarrow x \le 0 \lor x > 1$.
• Risoluzione D2 (Elevamento): $\frac{x}{x-1} \le 4 \rightarrow \frac{x}{x-1} – 4 \le 0$.$\frac{x – 4(x-1)}{x-1} \le 0 \rightarrow \frac{-3x + 4}{x-1} \le 0$.
  • N: $-3x + 4 \ge 0 \rightarrow x \le 4/3$.
  • D: $x – 1 > 0 \rightarrow x > 1$.
  • Segno D2: $x < 1 \lor x \ge 4/3$.
• Intersezione (D1 $\cap$ D2):
  • D1: +++ (0) --- (1) --- (4/3) +++
  • D2: +++ (0) +++ (1) --- (4/3) +++
  • Intersezione finale: $x \le 0 \lor x \ge 4/3$.
• Risposta Corretta: $x \le 0 \lor x \ge 4/3$.

Esercizio 8: Da Isolare

Domanda: Risolvi $2\sqrt{x+3} – 1 < 5$.

Risposta Corretta: $-3 \le x < 6$

Svolgimento (ID CSS: domanda-8):

• Isolamento: $2\sqrt{x+3} < 6 \rightarrow \sqrt{x+3} < 3$.
• Riconduzione: Caso 1 (Minore, $k=3 > 0$).
• Sistema: $\begin{cases} x + 3 \ge 0 \rightarrow x \ge -3 \\ x + 3 < 3^2 \rightarrow x + 3 < 9 \rightarrow x < 6 \end{cases}$
• Soluzione: $-3 \le x < 6$.

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Livello Molto Molto Avanzato (Casi Biquadratici e Disuguaglianze Deboli)

Esercizio 9: Radice Maggiore di Zero Debole

Domanda: Risolvi $\sqrt{x^2 – 5x + 6} \ge 0$.

Risposta Corretta: $x \le 2 \lor x \ge 3$

Svolgimento (ID CSS: domanda-9):

• Analisi: Indice pari, verso $\ge 0$. Caso 2 (Maggiore, $k=0$).
• Metodo: L’unica condizione è la C.E.
• C.E.: $x^2 – 5x + 6 \ge 0$.
• Equazione Associata: $x^2 – 5x + 6 = 0 \rightarrow (x-2)(x-3) = 0$. Radici $x=2, x=3$.
• Parabola: Concavità verso l’alto ($a>0$).
• Soluzione: Valori esterni o coincidenti. $x \le 2 \lor x \ge 3$.

Esercizio 10: Radice Quarta Minore

Domanda: Risolvi $\sqrt[4]{x} \le 2$.

Risposta Corretta: $0 \le x \le 16$

Svolgimento (ID CSS: domanda-10):

• Analisi: Indice pari ($n=4$), verso $\le$, $k=2 > 0$. Caso 1 (Minore, $k>0$).
• Sistema: $\begin{cases} x \ge 0 \\ x \le 2^4 \rightarrow x \le 16 \end{cases}$
• Soluzione: $0 \le x \le 16$.

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