Abbiamo visto come calcolare le radici $n$-esime di un numero complesso generico. Ma c’è un caso particolare che è così importante da meritare un nome proprio: le Radici dell’Unità.
Si tratta delle soluzioni dell’equazione:
$$z^n = 1$$
Perché sono speciali? Perché sono i “mattoni” con cui si costruisce la Teoria dei Gruppi e la trasformata di Fourier veloce (FFT), algoritmo che fa funzionare tutto il mondo digitale moderno.
La Formula e il Poligono
Poiché il numero 1 ha modulo $\rho=1$ e argomento $\theta=0$, la formula generale delle radici si semplifica drasticamente. Le $n$ radici dell’unità, indicate spesso con $\zeta_k$ (zeta), sono:
$$\zeta_k = \cos\left(\frac{2k\pi}{n}\right) + i \sin\left(\frac{2k\pi}{n}\right) = e^{i \frac{2k\pi}{n}}$$
con $k = 0, 1, \dots, n-1$.
Geometricamente, queste radici si dispongono sulla circonferenza unitaria (raggio 1) e formano i vertici di un poligono regolare di $n$ lati, con il primo vertice sempre fisso nel punto $(1, 0)$.
Proprietà Magica: La Somma è Zero
Una proprietà fondamentale, spesso usata negli esercizi di somma di serie trigonometriche, è che la somma di tutte le radici $n$-esime dell’unità è sempre zero (per $n > 1$).
$$\sum_{k=0}^{n-1} \zeta_k = 0$$
Esempio per $n=3$ (Radici cubiche):
Le radici sono $1$, $-\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}$, $-\frac{1}{2} – i\frac{\sqrt{3}}{2}$.
Sommandole: $1 – \frac{1}{2} – \frac{1}{2} + i(\dots – \dots) = 0$.
Geometricamente, questo significa che il baricentro del poligono regolare coincide con l’origine.
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