Risolvere un sistema di equazioni complesse è l’esame finale di tutto ciò che abbiamo studiato finora. Qui non basta saper fare i calcoli: serve occhio clinico.
Spesso lo studente si lancia a testa bassa con la sostituzione $z = x+iy$, trasformando un sistema di 2 equazioni in un mostro di 4 equazioni reali (spesso di grado elevato). Questo metodo, che chiameremo “brutale”, funziona sempre ma è lungo e rischioso.
Esiste quasi sempre una via “elegante”: ragionare sulle proprietà geometriche, sui moduli o sui coniugati per semplificare il problema prima di fare i conti.
In questo articolo analizzeremo 4 casi studio tratti da esami reali, mostrando come scegliere la strategia vincente.
INDICE
Esercizio 1: Il Metodo Geometrico vs Algebrico
Risolvere il sistema:
$$\begin{cases} |z| = |w| = 2 \\ z + w = 1 + i\sqrt{3} \end{cases}$$
Metodo A: Algebrico (“Brutale”)
Poniamo $z = a+ib$ e $w = c+id$.
Dalla prima equazione sappiamo che $a^2+b^2 = 4$ e $c^2+d^2=4$.
Dalla seconda equazione eguagliamo parti reali e immaginarie:
$\begin{cases} a+c = 1 \implies c = 1-a \\ b+d = \sqrt{3} \implies d = \sqrt{3}-b \end{cases}$
Sostituiamo $c$ e $d$ nella condizione del modulo di $w$:
$(1-a)^2 + (\sqrt{3}-b)^2 = 4$
Svolgendo i quadrati e mettendo a sistema con $a^2+b^2=4$, otteniamo (dopo molti calcoli) l’equazione risolutiva $b(b-\sqrt{3})=0$.
Questo ci porta alle due coppie di soluzioni:
- $b=0 \implies z_1 = 2, \quad w_1 = -1+i\sqrt{3}$
- $b=\sqrt{3} \implies z_2 = -1+i\sqrt{3}, \quad w_2 = 2$
Metodo B: Geometrico (Elegante)
Ragioniamo sui vettori.
- Sappiamo che $|z|=|w|=2$. I due vettori hanno la stessa lunghezza.
- La loro somma $z+w$ è la diagonale del parallelogramma formato dai due vettori. Poiché i lati sono uguali, il parallelogramma è un Rombo.
- In un rombo, le diagonali sono perpendicolari.
- Diagonale maggiore: $D = z+w = 1+i\sqrt{3}$. Il suo modulo è $\sqrt{1+3}=2$.
- Diagonale minore: $d = z-w$.
Usiamo il Teorema di Pitagora su uno dei 4 triangoli rettangoli interni al rombo:
$$(\text{lato})^2 = (\text{metà Diag. Maggiore})^2 + (\text{metà Diag. Minore})^2$$
$$2^2 = \left( \frac{2}{2} \right)^2 + \left( \frac{|z-w|}{2} \right)^2 \implies 4 = 1 + \frac{|z-w|^2}{4}$$
Da cui ricaviamo $|z-w|^2 = 12 \implies |z-w| = 2\sqrt{3}$.
Ora abbiamo un nuovo sistema lineare molto più semplice basato su somma e differenza:
$\begin{cases} z+w = 1+i\sqrt{3} \\ z-w = \pm i 2\sqrt{3} \cdot (\text{rotazione}) \end{cases}$
Esercizio 2: Ragionare su Reale e Immaginario
Risolvere il sistema:
$$\begin{cases} iwz = 3i\bar{z} – 1 – w \\ iwz = \bar{w} – 1 – 3iz \end{cases}$$
Strategia: Non sostituire subito $x+iy$! Confrontiamo le due equazioni.
Poiché il termine $iwz$ è identico a sinistra, i membri di destra devono essere uguali:
$$3i\bar{z} – 1 – w = \bar{w} – 1 – 3iz$$
Semplifichiamo il $-1$ e raggruppiamo:
$$3i(\bar{z} + z) = \bar{w} + w$$
Analizziamo i termini:
- $(\bar{z} + z) = 2\text{Re}(z)$ è un numero Reale. Moltiplicato per $3i$, diventa Immaginario Puro.
- $(\bar{w} + w) = 2\text{Re}(w)$ è un numero Reale Puro.
L’unico numero che è contemporaneamente Reale e Immaginario Puro è lo Zero.
Quindi deve essere:
$$3i(2\text{Re}(z)) = 0 \implies \text{Re}(z) = 0$$
$$2\text{Re}(w) = 0 \implies \text{Re}(w) = 0$$
Abbiamo scoperto che $z$ e $w$ sono immaginari puri! ($z=iy, w=ib$).
Sostituendo questa informazione nella prima equazione, il sistema si risolve in pochi passaggi:
Soluzione: $z = \frac{1}{3}i, \quad w = 0$.
Esercizio 3: Moduli e Equazioni di Secondo Grado
Risolvere il sistema:
$$\begin{cases} z^2 = -|w|^4 \\ w^2 – (2i+1)w = \frac{z+\bar{z}}{3} + 1 – i \end{cases}$$
Analisi Prima Equazione:
$z^2 = -(\text{numero reale positivo})$.
Se il quadrato di un numero è negativo, quel numero deve essere immaginario puro.
Se $z$ è immaginario puro, allora la sua parte reale è 0, quindi:
$$z + \bar{z} = 2\text{Re}(z) = 0$$
Sostituzione nella Seconda Equazione:
Il termine fratto $\frac{z+\bar{z}}{3}$ sparisce! Resta un’equazione di secondo grado nella sola variabile $w$:
$$w^2 – (2i+1)w – (1-i) = 0$$
Risolviamo con la formula ridotta o classica. Il discriminante è $\Delta = (2i+1)^2 + 4(1-i) = 1$.
Le soluzioni per $w$ sono $w_1 = 1+i$ e $w_2 = i$.
Ritorno a z:
Ora usiamo i moduli trovati per risolvere la prima equazione ($z^2 = -|w|^4$).
- Se $w=1+i$, allora $|w|=\sqrt{2}$. L’equazione diventa $z^2 = -4 \implies z = \pm 2i$.
- Se $w=i$, allora $|w|=1$. L’equazione diventa $z^2 = -1 \implies z = \pm i$.
Soluzioni: 4 coppie totali $(z,w)$.
Esercizio 4: Interpretazione come Luoghi Geometrici
Risolvere il sistema interpretandolo geometricamente:
$$\begin{cases} |z – 3 + 4i| = |4 – 3i| \\ |z – 3 + 4i| = |z – 1| \end{cases}$$
Equazione 1: La Circonferenza
$|z – (3 – 4i)| = \sqrt{4^2 + (-3)^2} = 5$.
Questa equazione dice: “La distanza di $z$ dal punto $C(3, -4)$ è costante e vale 5”.
È una Circonferenza con centro $C(3, -4)$ e raggio $R=5$.
Equazione cartesiana: $(x-3)^2 + (y+4)^2 = 25$.
Equazione 2: L’Asse del Segmento
$|z – (3 – 4i)| = |z – 1|$.
Questa equazione dice: “La distanza di $z$ da $C(3, -4)$ è uguale alla distanza di $z$ da $A(1, 0)$”.
Il luogo geometrico dei punti equidistanti da due punti è l’Asse del segmento che li unisce.
È una retta. Svolgendo i moduli otteniamo l’equazione lineare: $x = 2y+6$.
Risoluzione:
Mettiamo a sistema la retta e la circonferenza. Sostituendo $x$ nella prima:
$$(2y+6-3)^2 + (y+4)^2 = 25$$
Risolvendo l’equazione di secondo grado otteniamo due valori per $y$ ($y=0$ e $y=-4$) e di conseguenza per $x$.
Soluzioni: $z_1 = 6$ e $z_2 = -2 – 4i$.
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