Esercizi Svolti: Ricerca degli Asintoti (Verticali, Orizzontali, Obliqui)

Siamo arrivati al culmine dello studio dei limiti: la Ricerca degli Asintoti.

Un asintoto è una retta alla quale la funzione si avvicina indefinitamente senza mai toccarla (o toccandola all’infinito).

Esistono tre tipi di asintoti, legati al calcolo di specifici limiti:

1. Asintoto Verticale (A.V.): Si cerca nei punti $x_0$ esclusi dal dominio. Se $\lim_{x \to x_0} f(x) = \infty$, allora $x = x_0$ è A.V.
2. Asintoto Orizzontale (A.O.): Si cerca a $\pm \infty$. Se $\lim_{x \to \infty} f(x) = l$ (numero finito), allora $y = l$ è A.O.
3. Asintoto Obliquo (A.Obl.): Se non c’è l’orizzontale ($f(x) \to \infty$ di ordine 1), cerchiamo una retta $y = mx + q$.
   • $m = \lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x}$
   • $q = \lim_{x \to \infty} [f(x) – mx]$

Questi esercizi sono presenti nel quiz correlato

---

Asintoti Verticali (I “Buchi” infiniti)

Esercizio 1: Funzione Razionale Fratta

Domanda: Trova gli asintoti verticali di $f(x) = \frac{x}{x^2 – 4}$.

Risposta Corretta: $x = 2$ e $x = -2$

Svolgimento (ID CSS: domanda-1):

• Dominio: $x^2 – 4 \ne 0 \rightarrow x \ne \pm 2$. I candidati sono $2$ e $-2$.
• Limite $x \to 2$: $\frac{2}{4-4} = \frac{2}{0} = \infty$. $\implies x=2$ è A.V.
• Limite $x \to -2$: $\frac{-2}{0} = \infty$. $\implies x=-2$ è A.V.

Esercizio 2: Funzione Logaritmica

Domanda: Determina gli asintoti verticali di $f(x) = \ln(x^2 – 5x + 6)$.

Risposta Corretta: $x = 2$ e $x = 3$

Svolgimento (ID CSS: domanda-2):

• Dominio: $x^2 – 5x + 6 > 0 \rightarrow x < 2 \lor x > 3$.
• Analisi agli estremi: Dobbiamo controllare $2^-$ e $3^+$.
• Limite $x \to 2^-$: L’argomento tende a $0^+$. $\ln(0^+) = -\infty$. $\implies x=2$ è A.V.
• Limite $x \to 3^+$: L’argomento tende a $0^+$. $\ln(0^+) = -\infty$. $\implies x=3$ è A.V.

Esercizio 3: Esponenziale Fratto (Punto Singolare)

Domanda: Cerca l’asintoto verticale per $f(x) = e^{\frac{1}{x}}$.

Risposta Corretta: $x = 0$ (Solo destro, $y \to +\infty$)

Svolgimento (ID CSS: domanda-3):

• Dominio: $x \ne 0$. Candidato $x=0$.
• Limite Destro ($0^+$): $1/0^+ = +\infty \rightarrow e^{+\infty} = +\infty$. C’è asintoto verticale destro.
• Limite Sinistro ($0^-$): $1/0^- = -\infty \rightarrow e^{-\infty} = 0$. Non c’è asintoto verticale sinistro (discontinuità eliminabile o salto).
• Conclusione: La retta $x=0$ è asintoto verticale (unilaterale).

---

Asintoti Orizzontali (Il comportamento all’infinito)

Esercizio 4: Radice e Asimmetria

Domanda: Trova gli asintoti orizzontali di $f(x) = \frac{3x – 2}{\sqrt{4x^2 + 1}}$.

Risposta Corretta: $y = 3/2$ (a $+\infty$) e $y = -3/2$ (a $-\infty$)

Svolgimento (ID CSS: domanda-4):

• A $+\infty$: $\sqrt{4x^2} \sim 2x$.$\lim \frac{3x}{2x} = \frac{3}{2}$. Asintoto $y = 3/2$.
• A $-\infty$: $\sqrt{4x^2} = |2x| = -2x$ (perché $x$ è negativo).$\lim \frac{3x}{-2x} = -\frac{3}{2}$. Asintoto $y = -3/2$.

Esercizio 5: Esponenziale (Sigmoide/Tanh)

Domanda: Determina gli asintoti orizzontali di $f(x) = \frac{e^x – e^{-x}}{e^x + e^{-x}}$.

Risposta Corretta: $y = 1$ e $y = -1$

Svolgimento (ID CSS: domanda-5):

• A $+\infty$: $e^{-x} \to 0$. Domina $e^x$.$\frac{e^x}{e^x} = 1$. Asintoto $y=1$.
• A $-\infty$: $e^x \to 0$. Domina $e^{-x}$ (che va a infinito).$\frac{-e^{-x}}{e^{-x}} = -1$. Asintoto $y=-1$.

Esercizio 6: Forma $\infty – \infty$ che converge

Domanda: Trova l’asintoto orizzontale di $f(x) = x \left( \sqrt{x^2+1} – x \right)$ per $x \to +\infty$.

Risposta Corretta: $y = 1/2$

Svolgimento (ID CSS: domanda-6):

• Razionalizzazione: Moltiplico per $\frac{\sqrt{x^2+1}+x}{\sqrt{x^2+1}+x}$.$f(x) = x \cdot \frac{(x^2+1)-x^2}{\sqrt{x^2+1}+x} = \frac{x}{\sqrt{x^2+1}+x}$.
• Gerarchia: Denominatore $\sim x + x = 2x$.
• Limite: $\frac{x}{2x} = \frac{1}{2}$. Asintoto orizzontale $y=1/2$.

---

Asintoti Obliqui (Crescita Lineare)

Esercizio 7: Funzione Razionale (Grado +1)

Domanda: Trova l’asintoto obliquo di $f(x) = \frac{2x^2 – x + 1}{x – 2}$.

Risposta Corretta: $y = 2x + 3$

Svolgimento (ID CSS: domanda-7):

• Calcolo $m$: $\lim \frac{f(x)}{x} = \lim \frac{2x^2}{x^2} = 2$.
• Calcolo $q$: $\lim [f(x) – 2x] = \lim \left( \frac{2x^2-x+1}{x-2} – \frac{2x(x-2)}{x-2} \right)$.$= \lim \frac{2x^2 – x + 1 – 2x^2 + 4x}{x-2} = \lim \frac{3x + 1}{x – 2} = 3$.
• Equazione: $y = 2x + 3$.

Esercizio 8: Funzione Irrazionale

Domanda: Trova l’asintoto obliquo a $+\infty$ per $f(x) = \sqrt{x^2 + 2x}$.

Risposta Corretta: $y = x + 1$

Svolgimento (ID CSS: domanda-8):

• Calcolo $m$: $\frac{\sqrt{x^2}}{x} = \frac{x}{x} = 1$.
• Calcolo $q$: $\lim (\sqrt{x^2+2x} – x)$. (Forma $\infty – \infty$).Razionalizzo: $\frac{x^2+2x-x^2}{\sqrt{x^2+2x}+x} = \frac{2x}{x+x} = \frac{2x}{2x} = 1$.
• Equazione: $y = x + 1$.

Esercizio 9: Funzione Trascendente

Domanda: Trova l’asintoto obliquo a $+\infty$ per $f(x) = x \cdot e^{1/x}$.

Risposta Corretta: $y = x + 1$

Svolgimento (ID CSS: domanda-9):

• Calcolo $m$: $\frac{x e^{1/x}}{x} = e^{1/x} \to e^0 = 1$.
• Calcolo $q$: $\lim (x e^{1/x} – x) = \lim x(e^{1/x} – 1)$.Sostituzione $t = 1/x$ (con $t \to 0$).$\lim_{t \to 0} \frac{e^t – 1}{t} = 1$ (Limite Notevole).
• Equazione: $y = x + 1$.

---

Esercizio 10: Il “Misto” (Funzione Completa)

Esercizio 10: Analisi Completa Asintoti

Domanda: Determina tutti gli asintoti (V, O, Obl) della funzione $f(x) = \frac{x e^x + 1}{e^x – 1}$.

Risposta Corretta: A.V. $x=0$; A.O. $y=-1$ (sinistro); A.Obl. $y=x$ (destro)

Svolgimento (ID CSS: domanda-10):

1. A. Verticale ($x=0$):
   • $x \to 0^+$: $\frac{1}{0^+} = +\infty$.
   • $x \to 0^-$: $\frac{1}{0^-} = -\infty$.
   • $x=0$ è A.V.
2. A. Orizzontale ($x \to -\infty$):
   • $e^x \to 0$.
   • $\lim \frac{0 + 1}{0 – 1} = -1$.
   • $y=-1$ è A.O. sinistro.
3. A. Obliquo ($x \to +\infty$):
   • Poiché il limite è $\infty/\infty$, cerchiamo l’obliquo.
   • $m = \lim \frac{x e^x}{x(e^x)} = 1$.
   • $q = \lim \left( \frac{x e^x + 1}{e^x – 1} – x \right) = \lim \frac{x e^x + 1 – x e^x + x}{e^x – 1} = \lim \frac{1+x}{e^x – 1}$.
   • Applico Gerarchia o Hopital: $x/e^x \to 0$. Quindi $q=0$.
   • $y=x$ è A.Obl. destro.

💡 Approfondisci le Basi Matematiche

Inizia oggi a scoprire i corsi di matematica! Accetta la sfida e intraprendi un viaggio affascinante che riparte dai numeri, attraversa monomi e polinomi, padroneggia lo studio di funzione e l’algebra lineare, fino a immergerti nel rigore profondo dell’Analisi I e delle funzioni a due variabili. Il futuro ti aspetta, e parla in formule.