Derivate Elementari: Esercizi Svolti e Quiz su Somma e Differenza

Dopo aver capito il concetto di limite del rapporto incrementale, è il momento di imparare la “tecnica”. Il calcolo delle derivate elementari è come imparare le tabelline: una volta memorizzate le regole base, puoi derivare qualsiasi funzione complessa che sia somma o differenza di funzioni più semplici.

In questo articolo ci concentreremo sulla linearità della derivata:

$$D[f(x) \pm g(x)] = f'(x) \pm g'(x)$$

e sulle regole di derivazione delle potenze, radici, esponenziali e logaritmi.

Attenzione ai tranelli! Molti esercizi qui sotto (tratti da verifiche reali) contengono costanti mascherate da funzioni.

Mettiti alla prova con i seguenti 10 Quiz. (accedi al quiz)

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I 10 Quiz: Calcola la Derivata

Prova a risolvere le derivate sul tuo quaderno, poi controlla la soluzione commentata subito sotto.

1. Polinomio Classico

Calcola la derivata di: $f(x) = 3x^3 – 2x^2 + 4x – 3$

(Tratto dalla foto, es. 1)

• A) $9x^2 – 4x + 4$
• B) $3x^2 – 2x + 4$
• C) $x^4 – x^3 + 2x^2 – 3x$
• D) $9x^2 – 4x$

✅ Risposta e Svolgimento: A

Deriviamo termine per termine usando la regola $D[x^n] = nx^{n-1}$:

• $D[3x^3] = 3 \cdot 3x^2 = 9x^2$
• $D[-2x^2] = -2 \cdot 2x = -4x$
• $D[4x] = 4$
• $D[-3] = 0$ (la derivata di una costante è zero).

Risultato: $9x^2 – 4x + 4$.

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2. Potenze al Denominatore

Calcola la derivata di: $f(x) = 3x^2 + \frac{1}{x^3} – \frac{2}{x}$

(Tratto dalla foto, es. 3)

• A) $6x + \frac{1}{3x^2} – 2$
• B) $6x – 3x^{-4} + 2x^{-2}$
• C) $6x + \ln(x^3) – 2\ln x$
• D) $6x + 3x^4 – 2x^2$

✅ Risposta e Svolgimento: B

Prima di derivare, riscriviamo le frazioni come potenze negative:

$f(x) = 3x^2 + x^{-3} – 2x^{-1}$.

Ora deriviamo:

• $D[3x^2] = 6x$
• $D[x^{-3}] = -3x^{-4} = -\frac{3}{x^4}$
• $D[-2x^{-1}] = -2(-1)x^{-2} = +2x^{-2} = \frac{2}{x^2}$

La risposta B è scritta nella forma con esponenti negativi ($6x – 3x^{-4} + 2x^{-2}$), che è corretta.

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3. Radici e Potenze Frazionarie

Calcola la derivata di: $f(x) = 3\sqrt{x} – 7\sqrt[3]{x^4}$

(Tratto dalla foto, es. 4)

• A) $\frac{3}{2\sqrt{x}} – \frac{28}{3}\sqrt[3]{x}$
• B) $\frac{3}{2}\sqrt{x} – 7x^{3/4}$
• C) $3x – 28x^3$
• D) $\frac{1}{2\sqrt{x}} – \frac{4}{3\sqrt[3]{x}}$

✅ Risposta e Svolgimento: A

Trasformiamo le radici in potenze: $f(x) = 3x^{1/2} – 7x^{4/3}$.

Deriviamo:

• $D[3x^{1/2}] = 3 \cdot \frac{1}{2}x^{-1/2} = \frac{3}{2\sqrt{x}}$.
• $D[-7x^{4/3}] = -7 \cdot \frac{4}{3}x^{4/3 – 1} = -\frac{28}{3}x^{1/3} = -\frac{28}{3}\sqrt[3]{x}$.

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4. Il Tranello delle Costanti (1)

Calcola la derivata di: $f(x) = 5\pi \cos(3) – 4$

(Tratto dalla foto, es. 8)

• A) $-5\pi \sin(3)$
• B) $5\pi \cos(3)$
• C) $0$
• D) $1$

✅ Risposta e Svolgimento: C

Attenzione! In questa funzione non c’è la $x$.

$\pi$ è un numero, $\cos(3)$ è un numero (il coseno di 3 radianti), $4$ è un numero.

Tutta la funzione è una costante.

La derivata di una costante è sempre $0$.

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5. Mix Trascendente

Calcola la derivata di: $f(x) = 5\sqrt{x} + 7e^x – 5\ln x$

(Tratto dalla foto, es. 6)

• A) $\frac{5}{2\sqrt{x}} + 7xe^{x-1} – \frac{5}{x}$
• B) $\frac{5}{2\sqrt{x}} + 7e^x – \frac{5}{x}$
• C) $5 + 7e^x – 5$
• D) $\frac{1}{2\sqrt{x}} + e^x – \ln x$

✅ Risposta e Svolgimento: B

• $D[5\sqrt{x}] = 5 \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} = \frac{5}{2\sqrt{x}}$.
• $D[7e^x] = 7e^x$ (la derivata di $e^x$ è se stessa).
• $D[-5\ln x] = -5 \cdot \frac{1}{x} = -\frac{5}{x}$.

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6. Trigonometria e Inverse

Calcola la derivata di: $f(x) = \frac{5}{x} + 4\sin x – \arctan x$

(Tratto dalla foto, es. 7)

• A) $-\frac{5}{x^2} + 4\cos x – \frac{1}{1+x^2}$
• B) $5\ln x – 4\cos x – \tan x$
• C) $-\frac{5}{x} + 4\cos x – \frac{1}{\sin^2 x}$
• D) $-\frac{5}{x^2} – 4\cos x – 1$

✅ Risposta e Svolgimento: A

• $D[5x^{-1}] = -5x^{-2} = -\frac{5}{x^2}$.
• $D[4\sin x] = 4\cos x$.
• $D[-\arctan x] = -\frac{1}{1+x^2}$.

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7. Esponenziali con base diversa da “e”

Calcola la derivata di: $f(x) = 5e^x + \pi \cdot 7^x$

(Tratto dalla foto, es. 10)

• A) $5e^x + \pi \cdot 7^x$
• B) $5e^x + \pi \cdot x \cdot 7^{x-1}$
• C) $5e^x + \pi \cdot 7^x \cdot \ln 7$
• D) $5xe^{x-1} + 7\pi$

✅ Risposta e Svolgimento: C

• $D[5e^x] = 5e^x$.
• $D[\pi \cdot 7^x]$: qui $\pi$ è una costante moltiplicativa che resta lì. La derivata di $a^x$ è $a^x \ln a$. Quindi diventa $\pi \cdot 7^x \cdot \ln 7$.

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8. Il Tranello delle Costanti (2)

Calcola la derivata di: $f(x) = 5\pi \cos x – \frac{4x}{\sin \pi}$

(Tratto dalla foto, es. 9 modificato)

• A) $-5\pi \sin x – \frac{4}{\sin \pi}$
• B) $-5\pi \sin x – 4\cos \pi$
• C) $5\pi \sin x – 4$
• D) $-5\pi \sin x$

✅ Risposta e Svolgimento: A

• $D[5\pi \cos x]$: $5\pi$ è coefficiente costante. La derivata di $\cos x$ è $-\sin x$. Quindi: $-5\pi \sin x$.
• $D[-\frac{4x}{\sin \pi}]$: Attenzione! $\sin \pi$ è un numero (tra l’altro è 0, quindi la funzione non esisterebbe, ma assumiamo sia un parametro costante generico $k$). Essendo un coefficiente di $x$ di primo grado, la derivata è solo il coefficiente: $-\frac{4}{\sin \pi}$.

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9. Radici al denominatore

Calcola la derivata di: $f(x) = 4\sqrt[3]{x} – \frac{7}{\sqrt{x}}$

(Tratto dalla foto, es. 5)

• A) $\frac{4}{3\sqrt[3]{x^2}} + \frac{7}{2x\sqrt{x}}$
• B) $\frac{4}{3}\sqrt{x} – \frac{7}{2}x$
• C) $4x^{-2/3} + 7x^{-3/2}$
• D) $\frac{12}{\sqrt{x}} – \frac{14}{x}$

✅ Risposta e Svolgimento: A

Riscriviamo con potenze frazionarie: $f(x) = 4x^{1/3} – 7x^{-1/2}$.

Deriviamo:

• $D[4x^{1/3}] = 4 \cdot \frac{1}{3}x^{-2/3} = \frac{4}{3\sqrt[3]{x^2}}$.
• $D[-7x^{-1/2}] = -7 \cdot (-\frac{1}{2})x^{-3/2} = +\frac{7}{2\sqrt{x^3}} = +\frac{7}{2x\sqrt{x}}$.

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10. Somma complessa

Calcola la derivata di: $f(x) = 7x^6 + \frac{3}{4}x^4 – 4x^2 + 3x – \pi$

(Tratto dalla foto, es. 2)

• A) $42x^5 + 3x^3 – 8x + 3 – 1$
• B) $42x^5 + 3x^3 – 8x + 3$
• C) $42x^5 + 4x^3 – 8x$
• D) $13x^5 + 3x^3 – 8x + 3$

✅ Risposta e Svolgimento: B

• $D[7x^6] = 42x^5$.
• $D[\frac{3}{4}x^4] = \frac{3}{4} \cdot 4x^3 = 3x^3$.
• $D[-4x^2] = -8x$.
• $D[3x] = 3$.
• $D[-\pi] = 0$ (costante).

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