Crescenza, Decrescenza, Massimi e Minimi: Esercizi e Quiz

Dopo aver scovato i punti stazionari, è il momento di scoprire la vera “forma” del grafico della funzione. Per farlo, dobbiamo studiare il segno della derivata prima, un passaggio chiave noto come Test della Derivata Prima.

Le regole del gioco sono facilissime da memorizzare:

1. Se $f'(x) > 0$, la funzione di partenza cresce (va verso l’alto).
2. Se $f'(x) < 0$, la funzione di partenza decresce (va verso il basso).
3. I punti in cui la funzione passa da crescente a decrescente sono Massimi Relativi.
4. I punti in cui passa da decrescente a crescente sono Minimi Relativi.

Mettiti alla prova con questi 15 quiz. Calcola la derivata prima, impostala maggiore di zero ($y’ > 0$), fai lo studio del segno e scopri dove si nascondono i massimi e minimi!

I 15 Quiz: Crescenza, Decrescenza, Massimi e Minimi

Livello Base: Polinomi semplici

1. Studia la crescenza e i massimi/minimi di $y = x^2 – 4x$

• A) Minimo in $x = 2$
• B) Massimo in $x = 2$
• C) Minimo in $x = -2$
• D) Funzione sempre crescente

2. Studia la crescenza e i massimi/minimi di $y = -x^2 + 6x$

• A) Minimo in $x = 3$
• B) Massimo in $x = 3$
• C) Massimo in $x = -3$
• D) Funzione sempre decrescente

3. Quali sono i massimi e minimi di $y = x^3 – 3x$?

• A) Massimo in $x = 1$, Minimo in $x = -1$
• B) Massimo in $x = -1$, Minimo in $x = 1$
• C) Minimo in $x = -3$, Massimo in $x = 3$
• D) Nessun massimo e nessun minimo

4. Individua massimi e minimi di $y = 2x^3 + 3x^2 – 12x$

• A) Massimo in $x = 1$, Minimo in $x = -2$
• B) Massimo in $x = -2$, Minimo in $x = 1$
• C) Solo un Minimo in $x = 1$
• D) Solo un Massimo in $x = -2$

5. Cosa possiamo dire della funzione $y = x^3$?

• A) Ha un minimo in $x = 0$
• B) Ha un massimo in $x = 0$
• C) È sempre crescente nel suo dominio
• D) È sempre decrescente nel suo dominio

Livello Intermedio: Frazioni e Prime Trascendenti

6. Studia la crescenza di $y = \frac{x^2-1}{x}$

• A) È sempre decrescente nel suo dominio
• B) Ha un massimo in 1 e un minimo in -1
• C) Ha un minimo in 1
• D) È sempre crescente nel suo dominio (per $x \neq 0$)

7. Individua i massimi e minimi di $y = \frac{x}{x^2+1}$

• A) Massimo in $x = 1$, Minimo in $x = -1$
• B) Massimo in $x = -1$, Minimo in $x = 1$
• C) Solo minimo in $x = 0$
• D) Nessun massimo e nessun minimo

8. Trova i massimi e minimi di $y = x e^x$

• A) Massimo in $x = -1$
• B) Massimo in $x = 1$
• C) Minimo in $x = -1$
• D) Minimo in $x = 1$

9. Trova i massimi e minimi di $y = x^2 e^{-x}$

• A) Massimo in $x = 0$, Minimo in $x = 2$
• B) Minimo in $x = 0$, Massimo in $x = 2$
• C) Minimo in $x = -2$, Massimo in $x = 0$
• D) Solo Minimo in $x = 0$

10. Studia la funzione $y = \ln x – x$ (per $x > 0$)

• A) Minimo in $x = 1$
• B) Massimo in $x = 1$
• C) È sempre crescente
• D) È sempre decrescente

Livello Avanzato: Funzioni Miste e Goniometriche

11. Trova i massimi e minimi di $y = x \ln x$ (per $x > 0$)

• A) Massimo in $x = e$
• B) Massimo in $x = \frac{1}{e}$
• C) Minimo in $x = \frac{1}{e}$
• D) Minimo in $x = e$

12. Trova i massimi e minimi di $y = \frac{e^x}{x}$ (per $x \neq 0$)

• A) Massimo in $x = 1$
• B) Minimo in $x = 1$
• C) Minimo in $x = 0$
• D) È sempre crescente

13. Studia la crescenza di $y = x – \sin x$ nell’intervallo $[0, 2\pi]$

• A) Sempre decrescente
• B) Massimo in $x = \pi$
• C) Minimo in $x = \pi$
• D) Sempre crescente

14. Trova massimi e minimi di $y = \sin x \cos x$ nell’intervallo $[0, \pi]$

• A) Massimo in $x = \frac{\pi}{4}$, Minimo in $x = \frac{3\pi}{4}$
• B) Massimo in $x = \frac{\pi}{2}$, Minimo in $x = \pi$
• C) Minimo in $x = \frac{\pi}{4}$, Massimo in $x = \frac{3\pi}{4}$
• D) Massimo in $x = \frac{\pi}{4}$, Minimo in $x = \frac{\pi}{2}$

15. [SFIDA] Trova massimi e minimi di $y = \sqrt{x} – x$ (per $x > 0$)

• A) Minimo in $x = \frac{1}{4}$
• B) Massimo in $x = \frac{1}{4}$
• C) Massimo in $x = \frac{1}{2}$
• D) Minimo in $x = \frac{1}{2}$

Soluzioni e Svolgimenti Passo Passo

1. Risposta A (Minimo in $x = 2$)

Derivata: $y’ = 2x – 4$.

Studio del segno: $2x – 4 > 0 \Rightarrow x > 2$.

La funzione scende fino a 2 e poi sale. Quindi in $x=2$ c’è un minimo.

2. Risposta B (Massimo in $x = 3$)

Derivata: $y’ = -2x + 6$.

Studio del segno: $-2x + 6 > 0 \Rightarrow 2x < 6 \Rightarrow x < 3$.

Cresce prima di 3, decresce dopo. In $x=3$ c’è un massimo.

3. Risposta B (Massimo in -1, Minimo in 1)

Derivata: $y’ = 3x^2 – 3$.

Segno: $3(x^2 – 1) > 0 \Rightarrow x < -1 \vee x > 1$.

Cresce prima di -1 (Massimo), scende tra -1 e 1 (Minimo), e poi sale dopo 1.

4. Risposta B (Massimo in -2, Minimo in 1)

Derivata: $y’ = 6x^2 + 6x – 12$.

Dividendo per 6 e studiando il segno: $x^2 + x – 2 > 0$. Le radici sono -2 e 1.

Essendo una parabola rivolta verso l’alto, è positiva per $x < -2 \vee x > 1$.

Cresce $\to$ Massimo in -2 $\to$ Decresce $\to$ Minimo in 1 $\to$ Cresce.

5. Risposta C (È sempre crescente)

Derivata: $y’ = 3x^2$.

Essendo un quadrato, è sempre $\ge 0$. Si annulla solo in 0 (flesso a tangente orizzontale), ma non cambia mai segno, quindi cresce sempre.

6. Risposta D (È sempre crescente nel suo dominio)

Regola del quoziente: $y’ = \frac{2x(x) – (x^2-1)(1)}{x^2} = \frac{2x^2 – x^2 + 1}{x^2} = \frac{x^2+1}{x^2}$.

Numeratore sempre positivo, denominatore sempre positivo. Derivata sempre $>0$.

7. Risposta A (Massimo in 1, Minimo in -1)

Derivata: $y’ = \frac{1(x^2+1) – x(2x)}{(x^2+1)^2} = \frac{1-x^2}{(x^2+1)^2}$.

Segno numeratore: $1-x^2 > 0 \Rightarrow -1 < x < 1$.

Scende prima di -1 (Minimo), sale tra -1 e 1 (Massimo), scende dopo 1.

8. Risposta C (Minimo in $x = -1$)

Derivata: $y’ = e^x(x+1)$.

Essendo $e^x$ sempre positivo, il segno dipende solo da $x+1 > 0 \Rightarrow x > -1$.

Scende prima di -1, sale dopo. C’è un minimo.

9. Risposta B (Minimo in 0, Massimo in 2)

Derivata: $y’ = 2x e^{-x} + x^2(-e^{-x}) = e^{-x}(2x – x^2)$.

Segno: $2x – x^2 > 0 \Rightarrow x(2-x) > 0 \Rightarrow 0 < x < 2$.

Scende prima di 0 (Minimo), sale tra 0 e 2 (Massimo), scende dopo 2.

10. Risposta B (Massimo in $x = 1$)

Derivata: $y’ = \frac{1}{x} – 1 = \frac{1-x}{x}$.

Poiché per dominio $x>0$, il denominatore è positivo. Numeratore: $1-x > 0 \Rightarrow x < 1$.

Cresce prima di 1, decresce dopo. C’è un Massimo.

11. Risposta C (Minimo in $x = 1/e$)

Derivata: $y’ = \ln x + 1$.

Segno: $\ln x + 1 > 0 \Rightarrow \ln x > -1 \Rightarrow x > e^{-1} \Rightarrow x > \frac{1}{e}$.

Scende fino a $1/e$ e poi sale. Minimo.

12. Risposta B (Minimo in $x = 1$)

Derivata: $y’ = \frac{e^x(x) – e^x(1)}{x^2} = \frac{e^x(x-1)}{x^2}$.

Essendo $e^x$ e $x^2$ positivi, il segno è dato da $x-1 > 0 \Rightarrow x > 1$.

Minimo in $x=1$.

13. Risposta D (Sempre crescente)

Derivata: $y’ = 1 – \cos x$.

Poiché il coseno è sempre compreso tra -1 e 1, $1 – \cos x$ è sempre $\ge 0$. Cresce sempre!

14. Risposta A (Massimo in $\pi/4$, Minimo in $3\pi/4$)

Possiamo riscrivere $y = \frac{1}{2}\sin(2x)$.

Derivata: $y’ = \cos(2x)$.

Segno in $[0, \pi]$: $\cos(2x) > 0$ quando $0 \le 2x < \frac{\pi}{2}$ e $\frac{3\pi}{2} < 2x \le 2\pi$.

Dividendo per 2: $0 \le x < \frac{\pi}{4}$ (cresce) e $\frac{3\pi}{4} < x \le \pi$ (cresce). In mezzo decresce.

Massimo in $\frac{\pi}{4}$, Minimo in $\frac{3\pi}{4}$.

15. Risposta B (Massimo in $x = 1/4$)

Derivata: $y’ = \frac{1}{2\sqrt{x}} – 1 = \frac{1 – 2\sqrt{x}}{2\sqrt{x}}$.

Segno numeratore: $1 – 2\sqrt{x} > 0 \Rightarrow 2\sqrt{x} < 1 \Rightarrow \sqrt{x} < \frac{1}{2} \Rightarrow x < \frac{1}{4}$.

Cresce prima di $1/4$, decresce dopo. Massimo in $1/4$.

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