Una volta imparato a calcolare le derivate con tutte le regole possibili, è il momento di usarle per uno scopo preciso: scoprire i segreti del grafico di una funzione! Il primo passo di questa indagine è il calcolo dei punti stazionari.
Un punto stazionario è un punto in cui la tangente al grafico della funzione è perfettamente orizzontale. In termini matematici, significa che la derivata prima in quel punto vale zero. Per trovarli, il procedimento è sempre lo stesso:
- Si calcola la derivata prima $y’$.
- Si impone $y’ = 0$.
- Si risolve l’equazione ottenuta.
I punti stazionari sono i “candidati” principali per essere punti di massimo o minimo locale, ma lo verificheremo nei prossimi capitoli. Per ora, l’obiettivo è scovarli!
Mettiti alla prova con questi 15 quiz in ordine di difficoltà crescente. Risolvi le equazioni e trova i valori di $x$ per cui la derivata si annulla.
INDICE
I 15 Quiz: Trova i Punti Stazionari
Livello Base: Polinomi
1. Trova i punti stazionari di $y = x^2 – 6x + 5$
- A) $x = 3$
- B) $x = 6$
- C) $x = -3$
- D) $x = 0$
2. Trova i punti stazionari di $y = 2x^3 – 3x^2$
- A) $x = 0, x = -1$
- B) $x = 0, x = 1$
- C) $x = 1$
- D) $x = 2, x = 3$
3. Trova i punti stazionari di $y = x^3 – 12x$
- A) $x = 2$
- B) $x = \pm 4$
- C) $x = \pm 2$
- D) $x = 0, x = 2$
4. Trova i punti stazionari di $y = \frac{x^4}{4} – x^3 + x^2$
- A) $x = 0, x = 1$
- B) $x = 1, x = 2$
- C) $x = 0, x = 1, x = 2$
- D) Nessun punto stazionario
Livello Intermedio: Frazioni e Funzioni Trascendenti
5. Trova i punti stazionari di $y = \frac{x}{x^2+4}$
- A) $x = 4$
- B) $x = \pm 2$
- C) $x = 2$
- D) $x = 0$
6. Trova i punti stazionari di $y = \frac{x^2}{x-2}$
- A) $x = 0, x = 2$
- B) $x = 0, x = 4$
- C) $x = \pm 2$
- D) $x = 4$
7. Trova i punti stazionari di $y = x e^{-x}$
- A) $x = 1$
- B) $x = -1$
- C) $x = 0$
- D) $x = e$
8. Trova i punti stazionari di $y = x^2 e^x$
- A) $x = 0, x = 2$
- B) $x = 0, x = -2$
- C) $x = -2$
- D) $x = \pm 2$
9. Trova i punti stazionari di $y = \ln(x^2 + 1)$
- A) $x = 0$
- B) $x = \pm 1$
- C) $x = 1$
- D) Nessun punto stazionario
10. Trova i punti stazionari di $y = x \ln x$
- A) $x = e$
- B) $x = 1$
- C) $x = \frac{1}{e}$
- D) $x = 0$
11. Trova i punti stazionari di $y = \frac{\ln x}{x}$
- A) $x = 1$
- B) $x = e$
- C) $x = \frac{1}{e}$
- D) Nessun punto stazionario
Livello Avanzato: Funzioni Goniometriche
12. Trova i punti stazionari di $y = \sin x + \cos x$ nell’intervallo $[0, 2\pi]$
- A) $x = \frac{\pi}{4}, x = \frac{3\pi}{4}$
- B) $x = \frac{\pi}{4}, x = \frac{5\pi}{4}$
- C) $x = \frac{\pi}{2}, x = \pi$
- D) $x = \frac{3\pi}{4}, x = \frac{7\pi}{4}$
13. Trova i punti stazionari di $y = x – 2\sin x$ nell’intervallo $[0, 2\pi]$
- A) $x = \frac{\pi}{6}, x = \frac{11\pi}{6}$
- B) $x = \frac{\pi}{3}, x = \frac{5\pi}{3}$
- C) $x = \frac{2\pi}{3}, x = \frac{4\pi}{3}$
- D) $x = \pi$
14. Trova i punti stazionari di $y = \sin^2 x – \sin x$ nell’intervallo $[0, \pi]$
- A) $x = \frac{\pi}{6}, x = \frac{\pi}{2}, x = \frac{5\pi}{6}$
- B) $x = \frac{\pi}{3}, x = \frac{\pi}{2}, x = \frac{2\pi}{3}$
- C) $x = \frac{\pi}{2}$
- D) $x = \frac{\pi}{4}, x = \frac{3\pi}{4}$
15. Trova i punti stazionari di $y = e^x \cos x$ nell’intervallo $[0, \pi]$
- A) $x = \frac{\pi}{2}$
- B) $x = \frac{3\pi}{4}$
- C) $x = \frac{\pi}{4}$
- D) $x = 0, x = \pi$
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