Abbiamo visto che la derivata rappresenta la pendenza della retta tangente. Ma cosa succede quando una funzione “fa una piega strana”, ha un picco o si impenna verticalmente? In quei punti specifici, la derivata non esiste.
Una funzione continua in un punto $x_0$ potrebbe non essere derivabile in quel punto. Esistono esattamente tre tipologie di “punti di non derivabilità”, e per classificarli bisogna calcolare il limite destro e sinistro della derivata prima per $x \to x_0$:
- Punto Angoloso: I due limiti sono finiti ma diversi (es. uno vale 2 e l’altro -2), oppure uno è finito e l’altro infinito. Geometricamente la funzione fa una “punta” o uno spigolo.
- Cuspide: I due limiti tendono a infinito con segni discordi (uno a $+\infty$, l’altro a $-\infty$). Sembra un becco o un ago.
- Flesso a Tangente Verticale: I due limiti tendono a infinito con segno concorde (entrambi $+\infty$ o entrambi $-\infty$). La funzione fa una “S” che per un istante si mette perfettamente in verticale.
Mettiti alla prova con questi 15 quiz per imparare a riconoscerli al volo!
INDICE
I 15 Quiz: Classifica i Punti di Non Derivabilità
Livello Base: Teoria e Funzioni Elementari
1. Quali sono i tre tipi di punti in cui una funzione continua non è derivabile?
- A) Massimi, minimi e flessi
- B) Punti angolosi, cuspidi e flessi a tangente orizzontale
- C) Punti angolosi, cuspidi e flessi a tangente verticale
- D) Asintoti verticali, asintoti orizzontali e discontinuità
2. Se il limite destro della derivata è 3 e il limite sinistro è -3, in quel punto c’è:
- A) Una cuspide
- B) Un punto angoloso
- C) Un flesso a tangente verticale
- D) Un punto stazionario
3. Se i limiti destro e sinistro della derivata tendono entrambi a $+\infty$, in quel punto c’è:
- A) Una cuspide
- B) Un punto angoloso
- C) Un flesso a tangente verticale
- D) Un asintoto verticale
4. Che tipo di punto presenta la funzione $y = |x – 5|$ nel punto $x_0 = 5$?
- A) Punto angoloso
- B) Cuspide
- C) Flesso a tangente verticale
- D) La funzione è derivabile in $x_0 = 5$
5. Che tipo di punto presenta la funzione $y = \sqrt[3]{x}$ nel punto $x_0 = 0$?
- A) Punto angoloso
- B) Cuspide
- C) Flesso a tangente verticale
- D) Massimo relativo
Livello Intermedio: Radici, Moduli e Polinomi
6. Che tipo di punto presenta la funzione $y = \sqrt[3]{x^2}$ nel punto $x_0 = 0$?
- A) Flesso a tangente verticale
- B) Punto angoloso
- C) Cuspide
- D) Minimo derivabile
7. Studia la derivabilità di $y = \sqrt{|x-2|}$ nel punto $x_0 = 2$. C’è:
- A) Una cuspide
- B) Un punto angoloso
- C) Un flesso a tangente verticale
- D) È derivabile in $x_0 = 2$
8. Considera la funzione $y = |x^2 – 1|$. Quale delle seguenti affermazioni è vera?
- A) Non è derivabile in $x = 0$
- B) Ha due punti angolosi in $x = 1$ e $x = -1$
- C) Ha due cuspidi in $x = 1$ e $x = -1$
- D) È derivabile su tutto $\mathbb{R}$
9. La funzione definita a tratti: $f(x) = x^2+1$ se $x \ge 0$, e $f(x) = 2x+1$ se $x < 0$, in $x = 0$ presenta:
- A) Discontinuità
- B) Punto angoloso
- C) Cuspide
- D) È derivabile e vale 0
10. [TRABOCCHETTO] Considera $y = x|x|$. Che tipo di punto è $x_0 = 0$?
- A) Punto angoloso
- B) Cuspide
- C) Flesso a tangente verticale
- D) La funzione è derivabile in $x_0 = 0$
Livello Avanzato: Esponenziali, Logaritmi e Goniometriche
11. Che tipo di punto presenta la funzione $y = e^{|x|}$ in $x_0 = 0$?
- A) Punto angoloso
- B) Cuspide
- C) Flesso a tangente verticale
- D) Punto stazionario
12. Che tipo di punto presenta la funzione $y = \ln(1+|x|)$ in $x_0 = 0$?
- A) Cuspide
- B) Flesso a tangente verticale
- C) Punto angoloso
- D) Asintoto verticale
13. Che tipo di punto presenta la funzione $y = \sqrt[5]{(x-3)^3}$ in $x_0 = 3$?
- A) Flesso a tangente verticale
- B) Cuspide
- C) Punto angoloso
- D) Punto stazionario
14. Che tipo di punto presenta la funzione $y = |\sin x|$ in $x_0 = \pi$?
- A) Flesso a tangente verticale
- B) Punto angoloso
- C) Cuspide
- D) Massimo
15. Che tipo di punto presenta la funzione $y = \sqrt[3]{x-1} + 2$ in $x_0 = 1$?
- A) Punto angoloso
- B) Cuspide
- C) Flesso a tangente verticale
- D) Flesso a tangente orizzontale
Soluzioni e Svolgimenti Passo Passo
Hai dubbi sui limiti? Ecco le dimostrazioni per ogni singolo esercizio!
1. Risposta C (Punti angolosi, cuspidi e flessi a tangente verticale)
È la classificazione teorica standard dei tre punti di singolarità di una funzione continua. I flessi a tangente orizzontale (es. $y=x^3$ in $x=0$) sono invece regolarmente derivabili ($y’=0$).
2. Risposta B (Un punto angoloso)
Quando i due limiti destro e sinistro della derivata sono valori finiti ma diversi ($l_1 \neq l_2$), si forma un punto angoloso.
3. Risposta C (Un flesso a tangente verticale)
Quando i limiti destro e sinistro della derivata vanno entrambi a $+\infty$ (oppure entrambi a $-\infty$), la retta tangente si mette perfettamente in verticale, ma la funzione “attraversa” la retta, formando un flesso.
4. Risposta A (Punto angoloso)
La funzione valore assoluto $y = |x-5|$ si divide in $x-5$ per $x>5$ e $-x+5$ per $x<5$. Le derivate sono $1$ (a destra) e $-1$ (a sinistra). Finiti ma diversi $\Rightarrow$ Punto angoloso.
5. Risposta C (Flesso a tangente verticale)
Riscriviamo $y = x^{1/3}$. Derivata: $y’ = \frac{1}{3}x^{-2/3} = \frac{1}{3\sqrt[3]{x^2}}$.
Calcolando il limite per $x \to 0^+$ otteniamo $+\infty$. Per $x \to 0^-$ (essendo la radice elevata al quadrato) otteniamo sempre $+\infty$. Segni concordi $\Rightarrow$ Flesso a tangente verticale.
6. Risposta C (Cuspide)
$y = x^{2/3}$. Derivata: $y’ = \frac{2}{3}x^{-1/3} = \frac{2}{3\sqrt[3]{x}}$.
Limite per $x \to 0^+ \Rightarrow +\infty$.
Limite per $x \to 0^- \Rightarrow -\infty$.
Infiniti con segni discordi $\Rightarrow$ Cuspide.
7. Risposta A (Cuspide)
Per $x>2$, abbiamo $\sqrt{x-2}$, la cui derivata è $\frac{1}{2\sqrt{x-2}}$. Limite per $x \to 2^+ \Rightarrow +\infty$.
Per $x<2$, abbiamo $\sqrt{2-x}$, la cui derivata è $\frac{-1}{2\sqrt{2-x}}$. Limite per $x \to 2^- \Rightarrow -\infty$.
Segni discordi $\Rightarrow$ Cuspide.
8. Risposta B (Ha due punti angolosi in $x = 1$ e $x = -1$)
Il modulo della parabola ribalta la sua “pancia” negativa. Nei punti in cui incontra l’asse $x$ ($x=1$ e $x=-1$), la parabola “rimbalza” bruscamente creando due punti angolosi.
9. Risposta B (Punto angoloso)
La funzione è continua in 0 (entrambi i pezzi valgono 1).
Derivata a destra (per $x>0$): $D[x^2+1] = 2x$. Limite in 0 = $0$.
Derivata a sinistra (per $x<0$): $D[2x+1] = 2$. Limite in 0 = $2$.
Finiti ma diversi ($0 \neq 2$) $\Rightarrow$ Punto angoloso.
10. Risposta D (La funzione è derivabile in $x_0 = 0$)
Per $x>0$, $y = x^2 \Rightarrow y’ = 2x$. Limite in 0 è $0$.
Per $x<0$, $y = -x^2 \Rightarrow y’ = -2x$. Limite in 0 è $0$.
Poiché derivata destra e sinistra coincidono (entrambe 0), in $x=0$ c’è un flesso a tangente orizzontale, ma la funzione è perfettamente derivabile!
11. Risposta A (Punto angoloso)
Per $x>0$, $y = e^x \Rightarrow y’ = e^x$. Limite in 0 = $1$.
Per $x<0$, $y = e^{-x} \Rightarrow y’ = -e^{-x}$. Limite in 0 = $-1$.
Diversi $\Rightarrow$ Punto angoloso.
12. Risposta C (Punto angoloso)
Per $x>0$, derivata di $\ln(1+x)$ è $\frac{1}{1+x}$. Limite per $x \to 0^+ = 1$.
Per $x<0$, derivata di $\ln(1-x)$ è $\frac{-1}{1-x}$. Limite per $x \to 0^- = -1$.
Diversi $\Rightarrow$ Punto angoloso.
13. Risposta A (Flesso a tangente verticale)
$y = (x-3)^{3/5}$. Derivata: $y’ = \frac{3}{5}(x-3)^{-2/5} = \frac{3}{5\sqrt[5]{(x-3)^2}}$.
Essendo il binomio sotto radice elevato al quadrato, il denominatore è sempre positivo e tende a zero. Il limite fa $+\infty$ sia da destra che da sinistra $\Rightarrow$ Flesso a tangente verticale.
14. Risposta B (Punto angoloso)
Attorno a $\pi$, il seno attraversa l’asse $x$. Il modulo “rimbalza” la parte negativa. Le pendenze si invertono bruscamente.
Da sinistra (poco meno di $\pi$, seno positivo): la derivata è il coseno, in $\pi$ vale $-1$.
Da destra (poco più di $\pi$, seno negativo ribaltato): derivata di $-\sin x$ è $-\cos x$, in $\pi$ vale $1$.
Diversi $\Rightarrow$ Punto angoloso.
15. Risposta C (Flesso a tangente verticale)
Traslazione rispetto alla normale radice cubica. $y’ = \frac{1}{3\sqrt[3]{(x-1)^2}}$.
Per $x \to 1^+$ otteniamo $+\infty$. Per $x \to 1^-$ (grazie al quadrato) otteniamo sempre $+\infty$.
Segni concordi $\Rightarrow$ Flesso a tangente verticale.
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