Dopo aver trovato crescenza e massimi con la derivata prima, ci manca un ultimo dettaglio visivo per disegnare il grafico perfetto: la curvatura! Una funzione, pur essendo crescente, può salire in modo “sorridente” (come una parabola verso l’alto) o “imbronciato” (come una campana). Questo si chiama concavità.
Per studiare la concavità si usa il test della derivata seconda ($y”$):
- Se $y” > 0$, la concavità è rivolta verso l’alto (a forma di “U”).
- Se $y” < 0$, la concavità è rivolta verso il basso (a forma di “campana” o “n”).
- I punti in cui la derivata seconda si annulla ($y” = 0$) E cambia segno, si chiamano Punti di Flesso. In questi punti la curva “cambia curvatura”.
Attenzione al trabocchetto: Se $y” = 0$ ma non c’è un cambio di segno, NON è un flesso!
Mettiti alla prova con questi 15 quiz. Calcola la derivata prima, derivala un’altra volta per trovare la derivata seconda e studiane il segno.
INDICE
I 15 Quiz: Trova Flessi e Concavità
Livello Base: Polinomi
1. Trova l’ascissa del punto di flesso della funzione $y = x^3 – 6x^2 + 9x$
- A) $x = 3$
- B) $x = 2$
- C) $x = 1$
- D) Nessun flesso
2. Quanti punti di flesso ha la funzione $y = x^4 – 6x^2$?
- A) Nessuno
- B) Uno ($x = 0$)
- C) Due ($x = 1$ e $x = -1$)
- D) Tre
3. Studia la concavità di $y = -x^3 + 3x$. Dove volge la concavità verso l’alto?
- A) Per $x > 0$
- B) Per $x < 0$
- C) Per $x > 1$
- D) È sempre concava verso il basso
4. Trova i punti di flesso di $y = x^4 + 2x^2$
- A) $x = 0$
- B) $x = -2$
- C) $x = \pm 1$
- D) Nessun punto di flesso
5. Trova il punto di flesso di $y = (x-1)^3$
- A) $x = -1$
- B) $x = 1$
- C) $x = 0$
- D) Nessun flesso
Livello Intermedio: Frazioni e Logaritmi
6. Studia la concavità di $y = \frac{1}{x}$. Dove volge la concavità verso l’alto?
- A) Per $x > 0$
- B) Per $x < 0$
- C) Per ogni $x \neq 0$
- D) Mai
7. Trova i punti di flesso di $y = \frac{x}{x-1}$
- A) $x = 0$
- B) $x = 1$
- C) $x = -1$
- D) Nessun punto di flesso
8. Studia la concavità della funzione $y = \ln x$ (per $x > 0$)
- A) Volge sempre la concavità verso l’alto
- B) Volge sempre la concavità verso il basso
- C) Ha un flesso in $x = 1$
- D) Ha un flesso in $x = e$
9. Studia la concavità di $y = x \ln x$ (per $x > 0$)
- A) Volge sempre la concavità verso l’alto
- B) Volge sempre la concavità verso il basso
- C) Ha un flesso in $x = 1$
- D) Ha un flesso in $x = e$
10. Trova il punto di flesso di $y = x e^x$
- A) $x = 0$
- B) $x = -1$
- C) $x = -2$
- D) $x = 1$
Livello Avanzato: Esponenziali, Goniometriche e Sfide
11. Trova le ascisse dei punti di flesso della funzione “a campana” $y = e^{-x^2}$
- A) $x = 0$
- B) $x = \pm 1$
- C) $x = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$
- D) $x = \pm 2$
12. Trova il punto di flesso di $y = \sin x$ nell’intervallo $[0, 2\pi]$
- A) $x = \frac{\pi}{2}$
- B) $x = \pi$
- C) $x = \frac{3\pi}{2}$
- D) Nessun flesso
13. Trova i punti di flesso di $y = \cos x + \frac{1}{2}x^2$
- A) $x = 0$
- B) $x = \pi$
- C) $x = \pm \frac{\pi}{2}$
- D) Nessun flesso
14. Trova il punto di flesso di $y = e^x – \frac{1}{2}x^2$
- A) $x = 0$
- B) $x = 1$
- C) $x = \ln 2$
- D) Nessun flesso
15. [SFIDA] Trova i punti di flesso di $y = x^4 – 4x^3 + 6x^2 – 4x + 1$ (Suggerimento: raccogli bene la derivata seconda!)
- A) $x = 1$
- B) $x = -1$
- C) $x = 0$
- D) Nessun punto di flesso
Soluzioni e Svolgimenti Passo Passo
Hai dubbi sul calcolo della derivata seconda? Controlla qui tutti i passaggi!
1. Risposta B ($x = 2$)
Calcoliamo $y’ = 3x^2 – 12x + 9$.
Calcoliamo $y” = D[3x^2 – 12x + 9] = 6x – 12$.
Poniamo $y” = 0 \Rightarrow 6x = 12 \Rightarrow x = 2$. In $x=2$ la derivata seconda cambia segno (da negativa a positiva), quindi è un flesso.
2. Risposta C (Due, in $x = 1$ e $x = -1$)
$y’ = 4x^3 – 12x$.
$y” = 12x^2 – 12$.
$y” = 0 \Rightarrow 12(x^2 – 1) = 0 \Rightarrow x^2 = 1 \Rightarrow x = \pm 1$. Essendo una parabola, cambia segno due volte. Due flessi.
3. Risposta B (Per $x < 0$)
$y’ = -3x^2 + 3$.
$y” = -6x$.
Studiamo $y” > 0 \Rightarrow -6x > 0 \Rightarrow x < 0$. Concavità verso l’alto prima dello zero.
4. Risposta D (Nessun punto di flesso)
$y’ = 4x^3 + 4x$.
$y” = 12x^2 + 4$.
L’equazione $12x^2 + 4 = 0$ non ha soluzioni reali perché è la somma di due quadrati positivi. Essendo $y” > 0$ per ogni $x$, la funzione rivolge sempre la concavità verso l’alto.
5. Risposta B ($x = 1$)
$y’ = 3(x-1)^2$.
$y” = 6(x-1)$.
$y” = 0 \Rightarrow x = 1$. A sinistra di 1 è concava verso il basso, a destra verso l’alto.
6. Risposta A (Per $x > 0$)
$y = x^{-1} \Rightarrow y’ = -x^{-2} \Rightarrow y” = 2x^{-3} = \frac{2}{x^3}$.
Studiamo il segno: $\frac{2}{x^3} > 0 \Rightarrow x^3 > 0 \Rightarrow x > 0$.
7. Risposta D (Nessun punto di flesso)
$y’ = \frac{1(x-1) – x(1)}{(x-1)^2} = \frac{-1}{(x-1)^2} = -(x-1)^{-2}$.
$y” = -(-2)(x-1)^{-3} = \frac{2}{(x-1)^3}$.
Il numeratore non si annulla mai, quindi $y” = 0$ non ha soluzioni. La concavità cambia attorno a $x=1$, ma $x=1$ è un asintoto, non fa parte del dominio! Non è un flesso.
8. Risposta B (Volge sempre la concavità verso il basso)
$y’ = \frac{1}{x} = x^{-1}$.
$y” = -x^{-2} = -\frac{1}{x^2}$.
Per ogni $x$ nel dominio, il denominatore è positivo, ma col segno meno davanti l’intera frazione è sempre negativa. Quindi la concavità è sempre verso il basso.
9. Risposta A (Volge sempre la concavità verso l’alto)
$y’ = 1 \cdot \ln x + x \cdot \frac{1}{x} = \ln x + 1$.
$y” = \frac{1}{x}$.
Dato che il dominio del logaritmo impone $x > 0$, la derivata seconda $\frac{1}{x}$ sarà sempre positiva.
10. Risposta C ($x = -2$)
$y’ = 1 \cdot e^x + x \cdot e^x = e^x(x+1)$.
$y” = D[e^x(x+1)] = e^x(x+1) + e^x(1) = e^x(x+2)$.
$y” = 0 \Rightarrow e^x(x+2) = 0 \Rightarrow x = -2$.
11. Risposta C ($x = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$)
$y’ = -2x e^{-x^2}$.
$y” = -2 e^{-x^2} – 2x(-2x e^{-x^2}) = -2 e^{-x^2} + 4x^2 e^{-x^2} = e^{-x^2}(4x^2 – 2)$.
$y” = 0 \Rightarrow 4x^2 – 2 = 0 \Rightarrow x^2 = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \Rightarrow x = \pm \frac{1}{\sqrt{2}} = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$.
12. Risposta B ($x = \pi$)
$y’ = \cos x$.
$y” = -\sin x$.
Nell’intervallo $[0, 2\pi]$, $-\sin x$ si annulla in $0, \pi, 2\pi$. Escludendo gli estremi, il flesso “interno” in cui la curva da convessa diventa concava è esattamente $x = \pi$.
13. Risposta D (Nessun flesso)
$y’ = -\sin x + x$.
$y” = -\cos x + 1 = 1 – \cos x$.
Poiché il coseno vale al massimo 1, la quantità $1 – \cos x$ è sempre $\ge 0$. Si annulla in $0, 2\pi, \dots$ ma non è mai negativa! Non essendoci cambio di segno, non ci sono flessi. È sempre concava verso l’alto.
14. Risposta A ($x = 0$)
$y’ = e^x – x$.
$y” = e^x – 1$.
$y” = 0 \Rightarrow e^x = 1 \Rightarrow x = 0$.
15. Risposta D (Nessun punto di flesso)
La funzione è lo sviluppo di un binomio alla quarta: $y = (x-1)^4$.
$y’ = 4(x-1)^3$.
$y” = 12(x-1)^2$.
Ponendo $y” = 0$ troviamo $x=1$. Ma attenzione! Essendo elevata al quadrato, la derivata seconda è sempre positiva prima e dopo 1. Non essendoci cambio di segno, la concavità guarda sempre verso l’alto. Nessun flesso!
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