Polinomio di Taylor e Maclaurin di Ordine 2 e 3 (Esercizi e Quiz)

Hai mai provato a calcolare a mente il valore di $\sin(0,1)$ o di $e^{0,2}$? Sembra impossibile, vero? Eppure le calcolatrici lo fanno in una frazione di secondo. Il loro segreto si chiama Polinomio di Taylor!

Il teorema di Taylor ci dice che possiamo approssimare qualsiasi funzione derivabile attorno a un punto $x_0$ utilizzando un polinomio. La formula generale arrestata all’ordine $n$ è:

$$P_n(x) = f(x_0) + f'(x_0)(x-x_0) + \frac{f”(x_0)}{2!}(x-x_0)^2 + \frac{f”'(x_0)}{3!}(x-x_0)^3 + \dots$$

Nota bene: Quando il punto di partenza è $x_0 = 0$, il polinomio prende il nome speciale di Polinomio di Maclaurin.

Mettiti alla prova con questi 15 quiz in difficoltà crescente. I primi 10 esercizi richiedono lo sviluppo fino al secondo ordine (grado 2), mentre gli ultimi 5 ti sfideranno fino al terzo ordine (grado 3). Non dimenticare i fattoriali al denominatore!

I 15 Quiz: Calcola il Polinomio di Taylor

Livello Base: Funzioni Elementari (Ordine 2)

1. Calcola il polinomio di Maclaurin (Taylor in $x_0 = 0$) di ordine 2 per $y = e^x$

• A) $P_2(x) = 1 + x + x^2$
• B) $P_2(x) = 1 + x + \frac{1}{2}x^2$
• C) $P_2(x) = x + \frac{1}{2}x^2$
• D) $P_2(x) = 1 – x + \frac{1}{2}x^2$

2. Calcola il polinomio di Maclaurin di ordine 2 per $y = \cos x$

• A) $P_2(x) = 1 – \frac{1}{2}x^2$
• B) $P_2(x) = x – \frac{1}{2}x^2$
• C) $P_2(x) = 1 + \frac{1}{2}x^2$
• D) $P_2(x) = 1 – x^2$

3. Calcola il polinomio di Maclaurin di ordine 2 per $y = \ln(1+x)$

• A) $P_2(x) = 1 + x – x^2$
• B) $P_2(x) = x + \frac{1}{2}x^2$
• C) $P_2(x) = x – \frac{1}{2}x^2$
• D) $P_2(x) = x – x^2$

4. Calcola il polinomio di Maclaurin di ordine 2 per $y = \sin x$

• A) $P_2(x) = 1 + x$
• B) $P_2(x) = x – \frac{1}{2}x^2$
• C) $P_2(x) = x$
• D) $P_2(x) = x + \frac{1}{2}x^2$

5. Calcola il polinomio di Taylor di ordine 2 per $y = \sqrt{x}$ nel punto $x_0 = 1$

• A) $P_2(x) = 1 + \frac{1}{2}(x-1) – \frac{1}{4}(x-1)^2$
• B) $P_2(x) = 1 + \frac{1}{2}(x-1) + \frac{1}{8}(x-1)^2$
• C) $P_2(x) = 1 + \frac{1}{2}(x-1) – \frac{1}{8}(x-1)^2$
• D) $P_2(x) = 1 – \frac{1}{2}(x-1) – \frac{1}{8}(x-1)^2$

Livello Intermedio: Funzioni Composte e Prodotti (Ordine 2)

6. Calcola il polinomio di Maclaurin di ordine 2 per $y = e^{-x^2}$

• A) $P_2(x) = 1 – 2x^2$
• B) $P_2(x) = 1 – x^2$
• C) $P_2(x) = 1 + x^2$
• D) $P_2(x) = -x^2$

7. Calcola il polinomio di Maclaurin di ordine 2 per $y = \frac{1}{1-x}$

• A) $P_2(x) = 1 – x + x^2$
• B) $P_2(x) = 1 + x + x^2$
• C) $P_2(x) = 1 + x + \frac{1}{2}x^2$
• D) $P_2(x) = 1 – x – x^2$

8. Calcola il polinomio di Maclaurin di ordine 2 per $y = x e^x$

• A) $P_2(x) = x + x^2$
• B) $P_2(x) = x + \frac{1}{2}x^2$
• C) $P_2(x) = 1 + x + x^2$
• D) $P_2(x) = x^2$

9. Calcola il polinomio di Maclaurin di ordine 2 per $y = \ln(\cos x)$

• A) $P_2(x) = x – \frac{1}{2}x^2$
• B) $P_2(x) = -\frac{1}{2}x^2$
• C) $P_2(x) = \frac{1}{2}x^2$
• D) $P_2(x) = 1 – \frac{1}{2}x^2$

10. Calcola il polinomio di Taylor di ordine 2 per $y = \sin(2x)$ nel punto $x_0 = \frac{\pi}{4}$

• A) $P_2(x) = 1 – 4\left(x – \frac{\pi}{4}\right)^2$
• B) $P_2(x) = 1 – 2\left(x – \frac{\pi}{4}\right)^2$
• C) $P_2(x) = 1 – \left(x – \frac{\pi}{4}\right)^2$
• D) $P_2(x) = 2\left(x – \frac{\pi}{4}\right) – 2\left(x – \frac{\pi}{4}\right)^2$

Livello Avanzato: Sviluppi al Terzo Ordine (Grado 3)

11. Calcola il polinomio di Maclaurin di ordine 3 per $y = \sin x$

• A) $P_3(x) = x – \frac{1}{3}x^3$
• B) $P_3(x) = x – \frac{1}{6}x^3$
• C) $P_3(x) = x + \frac{1}{6}x^3$
• D) $P_3(x) = x – x^3$

12. Calcola il polinomio di Maclaurin di ordine 3 per $y = e^{2x}$

• A) $P_3(x) = 1 + 2x + 2x^2 + \frac{4}{3}x^3$
• B) $P_3(x) = 1 + 2x + 4x^2 + 8x^3$
• C) $P_3(x) = 1 + 2x + x^2 + \frac{1}{3}x^3$
• D) $P_3(x) = 1 + 2x + 2x^2 + \frac{8}{3}x^3$

13. Calcola il polinomio di Maclaurin di ordine 3 per $y = \frac{1}{1+x}$

• A) $P_3(x) = 1 + x + x^2 + x^3$
• B) $P_3(x) = 1 – x + x^2 – x^3$
• C) $P_3(x) = 1 – x + \frac{1}{2}x^2 – \frac{1}{6}x^3$
• D) $P_3(x) = 1 – x – x^2 – x^3$

14. Calcola il polinomio di Maclaurin di ordine 3 per $y = \tan x$

• A) $P_3(x) = x – \frac{1}{3}x^3$
• B) $P_3(x) = x + \frac{1}{6}x^3$
• C) $P_3(x) = x + \frac{1}{3}x^3$
• D) $P_3(x) = x + x^3$

15. [SFIDA] Calcola il polinomio di Taylor di ordine 3 per $y = x \ln x$ nel punto $x_0 = 1$

• A) $P_3(x) = (x-1) + \frac{1}{2}(x-1)^2 – \frac{1}{6}(x-1)^3$
• B) $P_3(x) = (x-1) + (x-1)^2 – \frac{1}{3}(x-1)^3$
• C) $P_3(x) = (x-1) – \frac{1}{2}(x-1)^2 + \frac{1}{6}(x-1)^3$
• D) $P_3(x) = 1 + (x-1) + \frac{1}{2}(x-1)^2 – \frac{1}{6}(x-1)^3$

Soluzioni e Svolgimenti Passo Passo

Tieni sempre a mente la divisione per $2! = 2$ e $3! = 6$ quando assembli il polinomio!

1. Risposta B ($P_2(x) = 1 + x + \frac{1}{2}x^2$)

$f(x) = e^x \Rightarrow f(0) = 1$.

$f'(x) = e^x \Rightarrow f'(0) = 1$.

$f”(x) = e^x \Rightarrow f”(0) = 1$.

$P_2(x) = 1 + 1x + \frac{1}{2!}x^2 = 1 + x + \frac{1}{2}x^2$.

2. Risposta A ($P_2(x) = 1 – \frac{1}{2}x^2$)

$f(0) = 1$.

$f'(x) = -\sin x \Rightarrow f'(0) = 0$.

$f”(x) = -\cos x \Rightarrow f”(0) = -1$.

$P_2(x) = 1 + 0x + \frac{-1}{2}x^2 = 1 – \frac{1}{2}x^2$.

3. Risposta C ($P_2(x) = x – \frac{1}{2}x^2$)

$f(0) = \ln(1) = 0$.

$f'(x) = \frac{1}{1+x} \Rightarrow f'(0) = 1$.

$f”(x) = -\frac{1}{(1+x)^2} \Rightarrow f”(0) = -1$.

$P_2(x) = 0 + 1x + \frac{-1}{2}x^2 = x – \frac{1}{2}x^2$.

4. Risposta C ($P_2(x) = x$)

$f(0) = 0$.

$f'(x) = \cos x \Rightarrow f'(0) = 1$.

$f”(x) = -\sin x \Rightarrow f”(0) = 0$.

Il termine di grado 2 è zero. Quindi $P_2(x) = x$.

5. Risposta C ($P_2(x) = 1 + \frac{1}{2}(x-1) – \frac{1}{8}(x-1)^2$)

$f(1) = 1$.

$f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}} \Rightarrow f'(1) = \frac{1}{2}$.

$f”(x) = -\frac{1}{4}x^{-3/2} \Rightarrow f”(1) = -\frac{1}{4}$.

Assemblando: $1 + \frac{1}{2}(x-1) + \frac{-1/4}{2}(x-1)^2 = 1 + \frac{1}{2}(x-1) – \frac{1}{8}(x-1)^2$.

6. Risposta B ($P_2(x) = 1 – x^2$)

Metodo furbo: partiamo dallo sviluppo di $e^t = 1 + t + \dots$ e sostituiamo $t = -x^2$. Otteniamo subito $1 – x^2$.

Metodo standard: $f(0)=1$, $f'(x) = -2x e^{-x^2} \Rightarrow f'(0)=0$, $f”(x) = -2e^{-x^2} + 4x^2 e^{-x^2} \Rightarrow f”(0)=-2$.

$P_2(x) = 1 + \frac{-2}{2}x^2 = 1 – x^2$.

7. Risposta B ($P_2(x) = 1 + x + x^2$)

Questa è la celebre serie geometrica!

$f(0)=1$.

$f'(x) = \frac{1}{(1-x)^2} \Rightarrow f'(0)=1$.

$f”(x) = \frac{2}{(1-x)^3} \Rightarrow f”(0)=2$.

$P_2(x) = 1 + 1x + \frac{2}{2}x^2 = 1 + x + x^2$.

8. Risposta A ($P_2(x) = x + x^2$)

$f(0)=0$.

$f'(x) = e^x + x e^x = e^x(1+x) \Rightarrow f'(0)=1$.

$f”(x) = e^x(1+x) + e^x = e^x(2+x) \Rightarrow f”(0)=2$.

$P_2(x) = 0 + 1x + \frac{2}{2}x^2 = x + x^2$.

9. Risposta B ($P_2(x) = -\frac{1}{2}x^2$)

$f(0) = \ln(1) = 0$.

$f'(x) = \frac{1}{\cos x}(-\sin x) = -\tan x \Rightarrow f'(0) = 0$.

$f”(x) = -\frac{1}{\cos^2 x} \Rightarrow f”(0) = -1$.

$P_2(x) = 0 + 0x + \frac{-1}{2}x^2 = -\frac{1}{2}x^2$.

10. Risposta B ($P_2(x) = 1 – 2\left(x – \frac{\pi}{4}\right)^2$)

$f(\pi/4) = \sin(\pi/2) = 1$.

$f'(x) = 2\cos(2x) \Rightarrow f'(\pi/4) = 2\cos(\pi/2) = 0$.

$f”(x) = -4\sin(2x) \Rightarrow f”(\pi/4) = -4\sin(\pi/2) = -4$.

$P_2(x) = 1 + 0\left(x – \frac{\pi}{4}\right) + \frac{-4}{2}\left(x – \frac{\pi}{4}\right)^2 = 1 – 2\left(x – \frac{\pi}{4}\right)^2$.

11. Risposta B ($P_3(x) = x – \frac{1}{6}x^3$)

Riprendiamo l’esercizio 4. Sappiamo che $f”(0) = 0$.

$f”'(x) = -\cos x \Rightarrow f”'(0) = -1$.

$P_3(x) = x + \frac{-1}{3!}x^3 = x – \frac{1}{6}x^3$.

12. Risposta A ($P_3(x) = 1 + 2x + 2x^2 + \frac{4}{3}x^3$)

Metodo furbo: $e^t \approx 1 + t + \frac{t^2}{2} + \frac{t^3}{6}$. Sostituendo $t=2x$:

$1 + (2x) + \frac{(2x)^2}{2} + \frac{(2x)^3}{6} = 1 + 2x + 2x^2 + \frac{8}{6}x^3 = 1 + 2x + 2x^2 + \frac{4}{3}x^3$.

13. Risposta B ($P_3(x) = 1 – x + x^2 – x^3$)

Questa è la serie geometrica a segni alterni. Derivando tre volte si ottiene $f”'(0) = -6$.

Dividendo per $3! = 6$ si ottiene proprio $-1$ per il termine di terzo grado.

14. Risposta C ($P_3(x) = x + \frac{1}{3}x^3$)

$f(0)=0$.

$f'(x) = 1+\tan^2 x \Rightarrow f'(0)=1$.

$f”(x) = 2\tan x(1+\tan^2 x) \Rightarrow f”(0)=0$.

$f”'(x) = 2(1+\tan^2 x)^2 + 2\tan x \cdot 2\tan x(1+\tan^2 x) \Rightarrow f”'(0) = 2(1)^2 + 0 = 2$.

$P_3(x) = 0 + 1x + 0x^2 + \frac{2}{3!}x^3 = x + \frac{2}{6}x^3 = x + \frac{1}{3}x^3$.

15. Risposta A ($P_3(x) = (x-1) + \frac{1}{2}(x-1)^2 – \frac{1}{6}(x-1)^3$)

$f(1) = 1 \ln(1) = 0$.

$f'(x) = \ln x + 1 \Rightarrow f'(1) = 1$.

$f”(x) = \frac{1}{x} = x^{-1} \Rightarrow f”(1) = 1$.

$f”'(x) = -x^{-2} = -\frac{1}{x^2} \Rightarrow f”'(1) = -1$.

$P_3(x) = 0 + 1(x-1) + \frac{1}{2!}(x-1)^2 + \frac{-1}{3!}(x-1)^3 = (x-1) + \frac{1}{2}(x-1)^2 – \frac{1}{6}(x-1)^3$.

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