Quando compare una radice quadrata al denominatore di un integrale, il battito cardiaco di ogni studente tende ad accelerare. L’istinto è quello di lanciarsi in complesse integrazioni per sostituzione, perdendo un sacco di tempo. In realtà, molte funzioni irrazionali si risolvono in pochi secondi se impari a riconoscere le loro formule particolari.
Oltre al ben noto arcoseno, ci sono un paio di logaritmi speciali che devi assolutamente stampare nella tua memoria:
- Arcoseno generalizzato:$$\int \frac{1}{\sqrt{a^2 – x^2}} dx = \arcsin\left(\frac{x}{a}\right) + c$$
- Logaritmo con radice somma:$$\int \frac{1}{\sqrt{x^2 + a^2}} dx = \ln\left|x + \sqrt{x^2 + a^2}\right| + c$$
- Logaritmo con radice differenza:$$\int \frac{1}{\sqrt{x^2 – a^2}} dx = \ln\left|x + \sqrt{x^2 – a^2}\right| + c$$
Inoltre, impareremo a gestire i polinomi di secondo grado sotto radice usando la tecnica del completamento del quadrato.
Mettiti alla prova con questi 15 quiz in ordine di difficoltà crescente. Fai molta attenzione a non confondere queste formule speciali con le normali potenze composte!
INDICE
I 15 Quiz: Integrali Irrazionali Particolari
Livello Base: Applicazione Diretta delle Formule
1. Calcola $\int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} dx$
- A) $\sqrt{1-x^2} + c$
- B) $\arcsin x + c$
- C) $\ln|x + \sqrt{1-x^2}| + c$
- D) $\arctan x + c$
2. Calcola $\int \frac{1}{\sqrt{16-x^2}} dx$
- A) $\arcsin(x) + c$
- B) $\frac{1}{4}\arcsin(x) + c$
- C) $\arcsin\left(\frac{x}{4}\right) + c$
- D) $4\arcsin\left(\frac{x}{4}\right) + c$
3. Calcola $\int \frac{1}{\sqrt{x^2+1}} dx$
- A) $\arcsin x + c$
- B) $\ln|x + \sqrt{x^2+1}| + c$
- C) $\frac{1}{2}\ln(x^2+1) + c$
- D) $\arctan(\sqrt{x}) + c$
4. Calcola $\int \frac{1}{\sqrt{x^2-9}} dx$
- A) $\arcsin\left(\frac{x}{3}\right) + c$
- B) $\ln|x – 3| + c$
- C) $\ln|x + \sqrt{x^2-9}| + c$
- D) $\frac{1}{3}\arcsin(x) + c$
5. Calcola $\int \frac{-1}{\sqrt{1-x^2}} dx$
- A) $-\arcsin x + c$ (oppure $\arccos x + c$)
- B) $\ln(1-x^2) + c$
- C) $\arcsin(-x) + c$
- D) $-\sqrt{1-x^2} + c$
Livello Intermedio: Trabocchetti e Costanti
6. Calcola $\int \frac{1}{\sqrt{1-4x^2}} dx$ (Suggerimento: vedilo come $(2x)^2$)
- A) $\arcsin(2x) + c$
- B) $\frac{1}{2}\arcsin(2x) + c$
- C) $2\arcsin(2x) + c$
- D) $\arcsin(4x) + c$
7. [TRABOCCHETTO] Calcola $\int \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} dx$ (Osserva bene il numeratore!)
- A) $\arcsin x + c$
- B) $x \arcsin x + c$
- C) $-\sqrt{1-x^2} + c$
- D) $\ln\sqrt{1-x^2} + c$
8. Calcola $\int \frac{e^x}{\sqrt{1-e^{2x}}} dx$
- A) $\arcsin(e^x) + c$
- B) $e^x \arcsin(e^x) + c$
- C) $\ln|e^x + \sqrt{1-e^{2x}}| + c$
- D) $-\sqrt{1-e^{2x}} + c$
9. Calcola $\int \frac{1}{\sqrt{x^2+5}} dx$
- A) $\arcsin\left(\frac{x}{\sqrt{5}}\right) + c$
- B) $\ln|x + \sqrt{x^2+5}| + c$
- C) $\frac{1}{\sqrt{5}}\ln|x + \sqrt{x^2+5}| + c$
- D) $\ln(x^2+5) + c$
10. Calcola $\int \frac{\cos x}{\sqrt{2-\sin^2 x}} dx$
- A) $\arcsin(\sin x) + c$
- B) $\ln|\cos x + \sqrt{2-\sin^2 x}| + c$
- C) $\arcsin\left(\frac{\sin x}{\sqrt{2}}\right) + c$
- D) $-\sqrt{2-\sin^2 x} + c$
Livello Avanzato: Completamento del Quadrato e Sostituzioni
11. Calcola $\int \frac{1}{\sqrt{-x^2+4x-3}} dx$ (Suggerimento: completa il quadrato al denominatore)
- A) $\arcsin(x-2) + c$
- B) $\arcsin(x-4) + c$
- C) $\ln|x-2 + \sqrt{-x^2+4x-3}| + c$
- D) Non è integrabile
12. Calcola $\int \frac{1}{\sqrt{x^2+2x+2}} dx$ (Suggerimento: completa il quadrato)
- A) $\arcsin(x+1) + c$
- B) $\ln|x+1 + \sqrt{x^2+2x+2}| + c$
- C) $\arctan(x+1) + c$
- D) $\frac{1}{2}\ln(x^2+2x+2) + c$
13. [LA REGOLA DA IMPARARE] Calcola l’integrale dell’area del cerchio: $\int \sqrt{1-x^2} dx$ * A) $(1-x^2)^{3/2} + c$
- B) $\frac{1}{2}x\sqrt{1-x^2} + \frac{1}{2}\arcsin x + c$
- C) $\arcsin x – x\sqrt{1-x^2} + c$
- D) $\frac{2}{3}(1-x^2)^{3/2} + c$
14. Calcola $\int \frac{x+1}{\sqrt{1-x^2}} dx$ (Suggerimento: spezza la frazione)
- A) $-\sqrt{1-x^2} + \arcsin x + c$
- B) $\arcsin x + c$
- C) $(x+1)\arcsin x + c$
- D) $-\frac{x^2}{2}\sqrt{1-x^2} + c$
15. [SFIDA IRRAZIONALE] Calcola $\int \frac{1}{x+\sqrt{x}} dx$ (Usa la sostituzione $t = \sqrt{x}$)
- A) $\ln(x+\sqrt{x}) + c$
- B) $2\ln(\sqrt{x}+1) + c$
- C) $\ln(\sqrt{x}) + x + c$
- D) $2\sqrt{x} – \ln x + c$
Soluzioni e Svolgimenti Passo Passo
I calcoli con le radici sono delicati, verifica qui tutti i passaggi!
1. Risposta B ($\arcsin x + c$)
È la formula base fondamentale. L’integrale della derivata dell’arcoseno.
2. Risposta C ($\arcsin\left(\frac{x}{4}\right) + c$)
Applichiamo la formula $\int \frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}} dx = \arcsin(x/a)$. Qui $a^2 = 16$, quindi $a = 4$.
3. Risposta B ($\ln|x + \sqrt{x^2+1}| + c$)
È l’integrale base per la radice con la somma dei quadrati, che origina questo particolare logaritmo.
4. Risposta C ($\ln|x + \sqrt{x^2-9}| + c$)
Simile alla precedente, ma con la differenza. Il logaritmo “copia” al suo interno esattamente la radice che si trova al denominatore.
5. Risposta A ($-\arcsin x + c$ oppure $\arccos x + c$)
La derivata dell’arcocoseno è identica a quella dell’arcoseno ma col segno meno. Equivalemente, per linearità, puoi portare il meno fuori dall’integrale e ottenere $-\arcsin x$.
6. Risposta B ($\frac{1}{2}\arcsin(2x) + c$)
Vediamo il denominatore come $\sqrt{1-(2x)^2}$. La derivata di $2x$ è $2$. Moltiplichiamo per 2 dentro e per $1/2$ fuori: $\frac{1}{2} \int \frac{2}{\sqrt{1-(2x)^2}} dx = \frac{1}{2}\arcsin(2x) + c$.
7. Risposta C ($-\sqrt{1-x^2} + c$)
Attenzione! Avendo la $x$ a numeratore, questo NON è un arcoseno! È una potenza composta: $\int x(1-x^2)^{-1/2} dx$. Moltiplichiamo e dividiamo per $-2$: $-\frac{1}{2} \int -2x(1-x^2)^{-1/2} dx$. Integrando con la regola della potenza ottieni $-\sqrt{1-x^2}$.
8. Risposta A ($\arcsin(e^x) + c$)
Riscriviamo come $\int \frac{e^x}{\sqrt{1-(e^x)^2}} dx$. La derivata di $e^x$ è $e^x$, che si trova esattamente al numeratore. È un arcoseno composto.
9. Risposta B ($\ln|x + \sqrt{x^2+5}| + c$)
Applichiamo la formula diretta del logaritmo con radice $\sqrt{x^2+a^2}$. Qui $a^2=5$. Attenzione: per questa formula NON c’è il fattore $1/a$ fuori!
10. Risposta C ($\arcsin\left(\frac{\sin x}{\sqrt{2}}\right) + c$)
La “variabile” è $\sin x$, e la sua derivata $\cos x$ è al numeratore. La costante $a^2$ è $2$, quindi $a = \sqrt{2}$. La formula diventa un arcoseno composto fratto $\sqrt{2}$.
11. Risposta A ($\arcsin(x-2) + c$)
Completiamo il quadrato: $-x^2+4x-3 = -(x^2-4x+4) + 4 – 3 = 1 – (x-2)^2$.
L’integrale diventa $\int \frac{1}{\sqrt{1-(x-2)^2}} dx$. Poiché la derivata di $(x-2)$ è $1$, si applica direttamente l’arcoseno.
12. Risposta B ($\ln|x+1 + \sqrt{x^2+2x+2}| + c$)
Completiamo il quadrato: $x^2+2x+2 = (x^2+2x+1) + 1 = (x+1)^2 + 1$.
L’integrale è $\int \frac{1}{\sqrt{(x+1)^2+1}} dx$. Usiamo la formula del logaritmo con $x+1$ al posto di $x$.
13. Risposta B ($\frac{1}{2}x\sqrt{1-x^2} + \frac{1}{2}\arcsin x + c$)
Questo è un integrale notevole che appare spessissimo quando si calcolano aree di ellissi e circonferenze. Si risolve per sostituzione ponendo $x = \sin t$, e il risultato finale standard è questo. Imparalo a memoria!
14. Risposta A ($-\sqrt{1-x^2} + \arcsin x + c$)
Spezza la frazione: $\int \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} dx + \int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} dx$. Il primo è la radice composta (visto al quiz 7), il secondo è l’arcoseno.
15. Risposta B ($2\ln(\sqrt{x}+1) + c$)
Sostituzione: $t = \sqrt{x} \Rightarrow x = t^2 \Rightarrow dx = 2t dt$.
Sostituendo: $\int \frac{1}{t^2+t} (2t dt) = \int \frac{2t}{t(t+1)} dt = \int \frac{2}{t+1} dt = 2\ln|t+1|$. Sostituiamo $t=\sqrt{x}$ per finire.
💡 Padroneggia l’Integrazione e supera l’esame
Le funzioni irrazionali mietono moltissime “vittime” all’esame perché traggono in inganno. Riconoscere la differenza tra l’esercizio 1 (arcoseno) e l’esercizio 7 (radice derivata) in una frazione di secondo è esattamente l’abilità che fa prendere i voti più alti. Nei miei corsi completi ti insegno a leggere le funzioni come un libro aperto, individuando i completamenti dei quadrati e applicando le formule notevoli senza mai bloccarti sui calcoli.