Cosa fai quando ti trovi davanti a un integrale che contiene il prodotto di due funzioni completamente diverse tra loro, come un polinomio moltiplicato per un esponenziale ($\int x \cdot e^x dx$) o per un logaritmo? La sostituzione non funziona e il trucco della costante è inutile.
È arrivato il momento di usare la formula di Integrazione per Parti.
La formula nasce direttamente dalla regola di derivazione del prodotto, ma per ricordarla ti basta memorizzare questa struttura:
$$\int f(x) \cdot g'(x) dx = f(x) \cdot g(x) – \int f'(x) \cdot g(x) dx$$
Il gioco consiste nel “battezzare” le due funzioni del tuo integrale:
- Una sarà $f(x)$ (chiamata “fattore finito”): è la funzione che sceglierai di derivare.
- L’altra sarà $g'(x)$ (chiamata “fattore differenziale”): è la funzione che sceglierai di integrare.
INDICE
Il Trucco ALPES (Come scegliere chi derivare e chi integrare)
Se scegli al contrario, l’integrale diventerà un mostro ancora più grande! Come non sbagliare mai? Usa la regola dell’acronimo ALPES. Le lettere indicano l’ordine di priorità per scegliere la funzione da derivare $f(x)$:
- A – Arcoseno, Arcotangente
- L – Logaritmo ($\ln x$)
- P – Polinomio ($x, x^2, 3x+1$)
- E – Esponenziale ($e^x, 2^x$)
- S – Seno, Coseno
La funzione che si trova “più a sinistra” nella parola ALPES deve essere scelta come $f(x)$ (da derivare). L’altra sarà automaticamente $g'(x)$ (da integrare).
Mettiti alla prova con questi 15 quiz, partendo dalla scelta corretta dei fattori fino ad arrivare ai temibili integrali “a ricircolo”.
I 15 Quiz: Integrazione per Parti
Livello Base: Scelta dei Fattori e Primi Calcoli
1. Qual è la corretta formula dell’integrazione per parti per $\int f(x) g'(x) dx$?
- A) $f(x) g'(x) – \int f'(x) g(x) dx$
- B) $f(x) g(x) – \int f'(x) g(x) dx$
- C) $f'(x) g(x) + \int f(x) g'(x) dx$
- D) $f(x) g(x) + \int f'(x) g'(x) dx$
2. Nell’integrale $\int x e^x dx$, in base alla regola ALPES, come devi scegliere i fattori?
- A) $f(x) = e^x$ e $g'(x) = x$
- B) $f(x) = x$ e $g'(x) = e^x$
- C) È indifferente, il risultato non cambia
- D) Non si può risolvere per parti
3. Nell’integrale $\int x \ln x dx$, in base alla regola ALPES, come devi scegliere i fattori?
- A) $f(x) = \ln x$ e $g'(x) = x$
- B) $f(x) = x$ e $g'(x) = \ln x$
- C) $f(x) = x \ln x$ e $g'(x) = 1$
- D) $f(x) = 1$ e $g'(x) = x \ln x$
4. Calcola l’integrale $\int x e^x dx$
- A) $\frac{x^2}{2} e^x + c$
- B) $x e^x – e^x + c$
- C) $x e^x + e^x + c$
- D) $e^x(x^2 – 1) + c$
5. Calcola $\int \ln x dx$ (Suggerimento: vedilo come $\int 1 \cdot \ln x dx$ e usa le parti)
- A) $\frac{1}{x} + c$
- B) $x \ln x – x + c$
- C) $x \ln x + x + c$
- D) $\frac{\ln^2 x}{2} + c$
Livello Intermedio: Applicazioni della Formula
6. Se nell’integrale $\int x e^x dx$ scegliessi in modo SBAGLIATO $f(x) = e^x$ e $g'(x) = x$, quale nuovo integrale ti ritroveresti a dover risolvere?
- A) $\int e^x dx$
- B) $\int \frac{x^2}{2} e^x dx$
- C) $\int x^2 e^x dx$
- D) $\int 1 \cdot e^x dx$
7. Calcola $\int x \cos x dx$
- A) $x \sin x + \cos x + c$
- B) $x \sin x – \cos x + c$
- C) $-x \sin x + \cos x + c$
- D) $\frac{x^2}{2} \sin x + c$
8. Calcola $\int x \sin x dx$
- A) $x \cos x – \sin x + c$
- B) $-x \cos x + \sin x + c$
- C) $-x \cos x – \sin x + c$
- D) $\frac{x^2}{2} \cos x + c$
9. Calcola $\int x \ln x dx$
- A) $\frac{x^2}{2} \ln x – \frac{x^2}{4} + c$
- B) $x^2 \ln x – \frac{x^2}{2} + c$
- C) $\frac{x^2}{2} \ln x – \frac{x^2}{2} + c$
- D) $x \ln x – x^2 + c$
10. Calcola $\int x^2 \ln x dx$
- A) $\frac{x^3}{3} \ln x – \frac{x^3}{9} + c$
- B) $\frac{x^3}{3} \ln x – \frac{x^3}{3} + c$
- C) $x^3 \ln x – \frac{x^3}{6} + c$
- D) $\frac{x^3}{3} \ln x – x^3 + c$
Livello Avanzato: Iterazioni Inverse e “Ricircolo”
11. Per risolvere $\int x^2 e^x dx$, cosa devi fare?
- A) Applicare l’integrazione per parti una sola volta
- B) Applicare l’integrazione per parti due volte di seguito
- C) Usare il metodo di sostituzione $t = x^2$
- D) Impossibile risolverlo senza una calcolatrice
12. Calcola $\int x^2 e^x dx$
- A) $e^x(x^2 – 2x + 2) + c$
- B) $e^x(x^2 + 2x – 2) + c$
- C) $e^x(x^2 – x) + c$
- D) $e^x(\frac{x^3}{3}) + c$
13. Calcola $\int \arctan x dx$ (Suggerimento: vedilo come $\int 1 \cdot \arctan x dx$)
- A) $x \arctan x + \ln(1+x^2) + c$
- B) $x \arctan x – \frac{1}{2}\ln(1+x^2) + c$
- C) $x \arctan x – \ln(1+x^2) + c$
- D) $\frac{\arctan^2 x}{2} + c$
14. Calcola $\int \arcsin x dx$
- A) $x \arcsin x + \sqrt{1-x^2} + c$
- B) $x \arcsin x – \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} + c$
- C) $x \arcsin x – \sqrt{1-x^2} + c$
- D) $\frac{\arcsin^2 x}{2} + c$
15. [SFIDA: Integrale a ricircolo] Calcola $\int e^x \sin x dx$ (Applica le parti due volte e nota cosa succede…)
- A) $e^x(\sin x + \cos x) + c$
- B) $\frac{e^x(\sin x – \cos x)}{2} + c$
- C) $\frac{e^x(\sin x + \cos x)}{2} + c$
- D) $e^x \cos x – e^x \sin x + c$
Soluzioni e Svolgimenti Passo Passo
Hai dubbi sui calcoli? Ecco tutti i passaggi, controlla dove hai sbagliato!
1. Risposta B ($f(x) g(x) – \int f'(x) g(x) dx$)
È la formula standard dell’integrazione per parti. Si deriva una funzione e si integra l’altra.
2. Risposta B ($f(x) = x$ e $g'(x) = e^x$)
Usando l’acronimo ALPES: il Polinomio ($P$) viene prima dell’Esponenziale ($E$). Quindi il polinomio $x$ fa da $f(x)$ (da derivare) e $e^x$ fa da $g'(x)$ (da integrare).
3. Risposta A ($f(x) = \ln x$ e $g'(x) = x$)
ALPES: il Logaritmo ($L$) viene prima del Polinomio ($P$). Quindi $\ln x$ è la funzione da derivare ($f(x)$).
4. Risposta B ($x e^x – e^x + c$)
Scegliendo $f=x$ (quindi $f’=1$) e $g’=e^x$ (quindi $g=e^x$).
Formula: $x \cdot e^x – \int 1 \cdot e^x dx = x e^x – e^x + c$.
5. Risposta B ($x \ln x – x + c$)
Scriviamo l’integrale come $\int 1 \cdot \ln x dx$.
Con ALPES, $L$ vince su $P$ (il numero 1 è un polinomio di grado 0). Quindi $f = \ln x$ ($f’ = 1/x$) e $g’ = 1$ ($g = x$).
Formula: $\ln x \cdot x – \int \frac{1}{x} \cdot x dx = x \ln x – \int 1 dx = x \ln x – x + c$.
6. Risposta B ($\int \frac{x^2}{2} e^x dx$)
Se scegliessimo $f = e^x$ e $g’ = x$, avremmo $f’ = e^x$ e $g = x^2/2$.
Il nuovo integrale da risolvere sarebbe $\int \frac{x^2}{2} e^x dx$, un integrale con un grado superiore rispetto a quello di partenza! Ecco perché ALPES è fondamentale.
7. Risposta A ($x \sin x + \cos x + c$)
ALPES: Polinomio prima di Seno/Coseno. $f=x$ ($f’=1$), $g’=\cos x$ ($g=\sin x$).
Formula: $x \cdot \sin x – \int 1 \cdot \sin x dx = x \sin x – (-\cos x) = x \sin x + \cos x + c$.
8. Risposta B ($-x \cos x + \sin x + c$)
$f=x$ ($f’=1$), $g’=\sin x$ ($g=-\cos x$).
Formula: $x \cdot (-\cos x) – \int 1 \cdot (-\cos x) dx = -x \cos x + \int \cos x dx = -x \cos x + \sin x + c$.
9. Risposta A ($\frac{x^2}{2} \ln x – \frac{x^2}{4} + c$)
$f=\ln x$ ($f’=1/x$), $g’=x$ ($g=x^2/2$).
Formula: $\ln x \cdot \frac{x^2}{2} – \int \frac{1}{x} \cdot \frac{x^2}{2} dx = \frac{x^2}{2} \ln x – \frac{1}{2} \int x dx = \frac{x^2}{2} \ln x – \frac{x^2}{4} + c$.
10. Risposta A ($\frac{x^3}{3} \ln x – \frac{x^3}{9} + c$)
$f=\ln x$ ($f’=1/x$), $g’=x^2$ ($g=x^3/3$).
Formula: $\ln x \cdot \frac{x^3}{3} – \int \frac{1}{x} \cdot \frac{x^3}{3} dx = \frac{x^3}{3} \ln x – \frac{1}{3} \int x^2 dx = \frac{x^3}{3} \ln x – \frac{x^3}{9} + c$.
11. Risposta B (Applicare l’integrazione per parti due volte di seguito)
Poiché la $x$ è al quadrato, applicando le parti una volta l’esponente scende a 1 (ottenendo $\int x e^x dx$). Serve un secondo passaggio per eliminarla del tutto!
12. Risposta A ($e^x(x^2 – 2x + 2) + c$)
Primo passaggio: $x^2 e^x – 2\int x e^x dx$.
Secondo passaggio (risolto al quiz 4): $x^2 e^x – 2(x e^x – e^x) = x^2 e^x – 2x e^x + 2e^x$. Raccogliendo $e^x$ si ottiene la risposta A.
13. Risposta B ($x \arctan x – \frac{1}{2}\ln(1+x^2) + c$)
Integriamo per parti vedendo $1 \cdot \arctan x$. $f=\arctan x$ ($f’=1/(1+x^2)$), $g’=1$ ($g=x$).
Formula: $x \arctan x – \int \frac{x}{1+x^2} dx$.
Il secondo integrale si risolve col “trucco della costante” moltiplicando e dividendo per 2: $\frac{1}{2} \int \frac{2x}{1+x^2} dx = \frac{1}{2}\ln(1+x^2)$.
14. Risposta A ($x \arcsin x + \sqrt{1-x^2} + c$)
Vedendo $1 \cdot \arcsin x$: $f=\arcsin x$ ($f’=1/\sqrt{1-x^2}$), $g’=1$ ($g=x$).
Formula: $x \arcsin x – \int \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} dx$.
Il secondo integrale si risolve ponendo $t=1-x^2 \Rightarrow dt=-2xdx$, da cui risulta $-\sqrt{1-x^2}$. Il segno meno si compensa.
15. Risposta B ($\frac{e^x(\sin x – \cos x)}{2} + c$)
Questi si chiamano integrali “a ricircolo” (o iterativi). Applicando le parti due volte di fila, ti ritroverai a destra dell’uguale esattamente l’integrale di partenza $\int e^x \sin x dx$, ma col segno meno!
A quel punto, basta spostare l’integrale a sinistra (sommandolo a quello di partenza, quindi diventano $2 \int \dots$) e dividere tutto il blocco per 2. È una vera magia algebrica.
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