Nello studio delle funzioni razionali fratte, abbiamo visto che la situazione ideale si verifica quando il numeratore è la derivata esatta del denominatore, regalandoci un logaritmo immediato. Ma cosa succede se al numeratore troviamo un polinomio di grado uguale o addirittura maggiore rispetto a quello del denominatore?
In questo caso, le regole viste finora si bloccano. C’è solo una strada da percorrere, ed è puramente algebrica: dobbiamo eseguire la divisione tra polinomi (usando l’algoritmo classico o la regola di Ruffini).
La regola matematica fondamentale stabilisce che se abbiamo una frazione $\frac{N(x)}{D(x)}$ in cui il grado di $N(x)$ è maggiore o uguale al grado di $D(x)$, possiamo riscrittura come:
$$\frac{N(x)}{D(x)} = Q(x) + \frac{R(x)}{D(x)}$$
Dove:
- $Q(x)$ è il polinomio Quoziente.
- $R(x)$ è il polinomio Resto (che avrà sempre grado inferiore rispetto al divisore).
Dato che in questo capitolo il nostro denominatore è di grado 1, il resto $R(x)$ sarà sempre un semplice numero costante! Sotto il segno di integrale, la frazione mostruosa si trasformerà in una banalissima somma:
$$\int \frac{N(x)}{D(x)} dx = \int Q(x) dx + \int \frac{R}{D(x)} dx$$
Il quoziente $Q(x)$ si integra termine a termine come un normale polinomio, mentre la frazione con il resto genererà sempre un logaritmo!
Mettiti alla prova con questi 15 quiz in ordine di difficoltà crescente. I primi 5 presentano frazioni dello stesso grado (grado 1 su grado 1), i successivi salgono al secondo grado, fino ad arrivare ai polinomi cubici. Carta, penna e massima disciplina con i segni durante la divisione!
INDICE
I 15 Quiz: Divisione Polinomiale e Grado 1
Livello Base: Grado 1 su Grado 1 (Scomposizione rapida o Divisione)
1. Calcola $\int \frac{x}{x+1} dx$
- A) $\ln|x+1| + c$
- B) $x – \ln|x+1| + c$
- C) $\frac{x^2}{2} + \ln|x+1| + c$
- D) $x + \ln|x+1| + c$
2. Calcola $\int \frac{x+3}{x-1} dx$
- A) $x + 4\ln|x-1| + c$
- B) $\ln|x-1| + c$
- C) $x – 4\ln|x-1| + c$
- D) $\frac{x^2}{2} + 3x + c$
3. Calcola $\int \frac{2x+1}{x+2} dx$
- A) $2x + \ln|x+2| + c$
- B) $2x – 3\ln|x+2| + c$
- C) $2x + 3\ln|x+2| + c$
- D) $\ln|x+2| + c$
4. Calcola $\int \frac{3x-1}{3x+2} dx$
- A) $x – 3\ln|3x+2| + c$
- B) $3x – \ln|3x+2| + c$
- C) $x – \ln|3x+2| + c$
- D) $\frac{1}{3}\ln|3x+2| + c$
5. Calcola $\int \frac{4x}{2x-1} dx$
- A) $2x + \ln|2x-1| + c$
- B) $2x + 2\ln|2x-1| + c$
- C) $4x – \ln|2x-1| + c$
- D) $2x – \ln|2x-1| + c$
Livello Intermedio: Numeratore di Secondo Grado (Grado 2 su Grado 1)
6. Calcola $\int \frac{x^2}{x-1} dx$
- A) $\frac{x^2}{2} + \ln|x-1| + c$
- B) $\frac{x^2}{2} + x + \ln|x-1| + c$
- C) $x + 1 + \ln|x-1| + c$
- D) $\frac{x^3}{3} – \ln|x-1| + c$
7. Calcola $\int \frac{x^2+2x}{x+1} dx$
- A) $\frac{x^2}{2} + x – \ln|x+1| + c$
- B) $\frac{x^2}{2} + \ln|x+1| + c$
- C) $x^2 + 2x + \ln|x+1| + c$
- D) $\frac{x^2}{2} – x + \ln|x+1| + c$
8. Calcola $\int \frac{x^2-1}{x+2} dx$
- A) $\frac{x^2}{2} – 2x + 3\ln|x+2| + c$
- B) $\frac{x^2}{2} + 2x – 3\ln|x+2| + c$
- C) $x – 2 + \frac{3}{x+2} + c$
- D) $\frac{x^2}{2} – 2x – \ln|x+2| + c$
9. Calcola $\int \frac{2x^2+x}{x-2} dx$
- A) $x^2 + 5x + c$
- B) $2x^2 + 5x + 10\ln|x-2| + c$
- C) $x^2 + 5x + 10\ln|x-2| + c$
- D) $x^2 – 5x + 10\ln|x-2| + c$
10. Calcola $\int \frac{x^2+1}{2x+1} dx$
- A) $\frac{x^2}{4} – \frac{x}{4} + \frac{5}{8}\ln|2x+1| + c$
- B) $\frac{x^2}{2} – x + \frac{5}{4}\ln|2x+1| + c$
- C) $\frac{x^2}{4} + \frac{5}{4}\ln|2x+1| + c$
- D) $\frac{x^2}{4} – \frac{x}{4} + \frac{5}{4}\ln|2x+1| + c$
Livello Avanzato: Numeratore di Terzo Grado (Grado 3 su Grado 1)
11. Calcola $\int \frac{x^3}{x-1} dx$
- A) $\frac{x^3}{3} + \ln|x-1| + c$
- B) $\frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{2} + x + \ln|x-1| + c$
- C) $x^2 + x + 1 + \ln|x-1| + c$
- D) $\frac{x^3}{3} – \frac{x^2}{2} + x – \ln|x-1| + c$
12. Calcola $\int \frac{x^3+x^2}{x+2} dx$
- A) $\frac{x^3}{3} – \frac{x^2}{2} + 2x – 4\ln|x+2| + c$
- B) $\frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{2} + 2x + 4\ln|x+2| + c$
- C) $x^2 – x + 2 – 4\ln|x+2| + c$
- D) $\frac{x^3}{3} – \frac{x^2}{2} + 4\ln|x+2| + c$
13. Calcola $\int \frac{x^3-2}{x+1} dx$
- A) $\frac{x^3}{3} – \frac{x^2}{2} + x – 2\ln|x+1| + c$
- B) $\frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{2} + x – 3\ln|x+1| + c$
- C) $\frac{x^3}{3} – \frac{x^2}{2} + x – 3\ln|x+1| + c$
- D) $x^2 – x + 1 – 3\ln|x+1| + c$
14. Calcola $\int \frac{x^3+x}{x-1} dx$
- A) $\frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{2} + 2x + 2\ln|x-1| + c$
- B) $\frac{x^3}{3} + 2x + 2\ln|x-1| + c$
- C) $\frac{x^3}{3} – \frac{x^2}{2} + 2x – 2\ln|x-1| + c$
- D) $x^2 + x + 2 + 2\ln|x-1| + c$
15. [SFIDA] Calcola $\int \frac{2x^3-4x^2+3x+1}{x-2} dx$
- A) $\frac{2x^3}{3} – 2x^2 + 3x + \ln|x-2| + c$
- B) $\frac{2x^3}{3} + 3x + 7\ln|x-2| + c$
- C) $2x^2 + 3 + 7\ln|x-2| + c$
- D) $\frac{2x^3}{3} – 3x + 7\ln|x-2| + c$
Soluzioni e Svolgimenti Passo Passo
Controlla qui sotto ogni singolo passaggio algebrico del quoziente e del resto.
1. Risposta B ($x – \ln|x+1| + c$)
Metodo rapido senza divisione: aggiungiamo e togliamo 1 a numeratore: $\frac{x+1-1}{x+1} = \frac{x+1}{x+1} – \frac{1}{x+1} = 1 – \frac{1}{x+1}$.
Integrando otteniamo immediatamente $x – \ln|x+1|$.
2. Risposta A ($x + 4\ln|x-1| + c$)
Aggiungiamo e togliamo 1 a numeratore per isolare il denominatore: $x+3 = x-1+4$.
La frazione diventa $\frac{x-1+4}{x-1} = 1 + \frac{4}{x-1}$. L’integrale vale $x + 4\ln|x-1|$.
3. Risposta B ($2x – 3\ln|x+2| + c$)
Eseguiamo la divisione classica o manipoliamo il numeratore: $2x+1 = 2(x+2) – 3 = 2x+4-3$.
La frazione si scrive come $2 – \frac{3}{x+2}$. Integrando termine a termine si ricava $2x – 3\ln|x+2|$.
4. Risposta C ($x – \ln|3x+2| + c$)
Scomponiamo il numeratore: $3x-1 = (3x+2) – 3$. La frazione diventa $1 – \frac{3}{3x+2}$.
Integrando il secondo blocco serve il trucco della costante (moltiplico per 3 dentro e divido fuori): $\int 1 dx – \int \frac{3}{3x+2} dx = x – \ln|3x+2|$.
5. Risposta A ($2x + \ln|2x-1| + c$)
Scomponiamo: $4x = 2(2x-1) + 2 = 4x-2+2$. La frazione diventa $2 + \frac{2}{2x-1}$.
L’integrale del secondo pezzo ha già a numeratore la derivata esatta del denominatore ($2$). Il risultato è $2x + \ln|2x-1|$.
6. Risposta B ($\frac{x^2}{2} + x + \ln|x-1| + c$)
Eseguendo la divisione polinomiale di $x^2$ diviso $x-1$ otteniamo come Quoziente $Q(x) = x+1$ e come Resto $R = 1$.
Riscriviamo l’integrale: $\int (x + 1 + \frac{1}{x-1}) dx = \frac{x^2}{2} + x + \ln|x-1|$.
7. Risposta A ($\frac{x^2}{2} + x – \ln|x+1| + c$)
Dividendo $x^2+2x$ per $x+1$ si ottiene Quoziente $Q(x) = x+1$ e Resto $R = -1$.
L’integrale diventa $\int (x + 1 – \frac{1}{x+1}) dx = \frac{x^2}{2} + x – \ln|x+1|$.
8. Risposta A ($\frac{x^2}{2} – 2x + 3\ln|x+2| + c$)
La divisione di $x^2-1$ per $x+2$ fornisce Quoziente $Q(x) = x-2$ e Resto $R = 3$.
L’integrale si trasforma in $\int (x – 2 + \frac{3}{x+2}) dx = \frac{x^2}{2} – 2x + 3\ln|x+2|$.
9. Risposta C ($x^2 + 5x + 10\ln|x-2| + c$)
Dividendo $2x^2+x$ per $x-2$ si ricava Quoziente $Q(x) = 2x+5$ e Resto $R = 10$.
Integrando: $\int (2x + 5) dx + \int \frac{10}{x-2} dx = x^2 + 5x + 10\ln|x-2|$.
10. Risposta A ($\frac{x^2}{4} – \frac{x}{4} + \frac{5}{8}\ln|2x+1| + c$)
Eseguendo con cura la divisione di $x^2+1$ per $2x+1$ otteniamo Quoziente $Q(x) = \frac{1}{2}x – \frac{1}{4}$ e Resto $R = \frac{5}{4}$.
L’integrale diventa: $\int (\frac{1}{2}x – \frac{1}{4}) dx + \int \frac{5/4}{2x+1} dx$.
Per il termine logaritmico applichiamo il trucco della costante (serve un 2 a numeratore): $\frac{5}{4} \cdot \frac{1}{2} \int \frac{2}{2x+1} dx = \frac{5}{8}\ln|2x+1|$. Risolvendo l’intero blocco si ottiene la risposta A.
11. Risposta B ($\frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{2} + x + \ln|x-1| + c$)
Saliamo al terzo grado. Dividendo $x^3$ per $x-1$ (ottimo da fare anche con Ruffini) ricaviamo Quoziente $Q(x) = x^2+x+1$ e Resto $R = 1$.
Integrando termine a termine il quoziente otteniamo la struttura standard.
12. Risposta A ($\frac{x^3}{3} – \frac{x^2}{2} + 2x – 4\ln|x+2| + c$)
Divisione polinomiale di $x^3+x^2$ diviso $x+2$: Quoziente $Q(x) = x^2-x+2$ e Resto $R = -4$. L’integrazione è immediata dopo la riscrittura.
13. Risposta C ($\frac{x^3}{3} – \frac{x^2}{2} + x – 3\ln|x+1| + c$)
Dividendo $x^3-2$ per $x+1$ otteniamo Quoziente $Q(x) = x^2-x+1$ e Resto $R = -3$. Risolvendo l’integrale si giunge alla risposta C.
14. Risposta A ($\frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{2} + 2x + 2\ln|x-1| + c$)
La divisione polinomiale di $x^3+x$ per $x-1$ genera un Quoziente $Q(x) = x^2+x+2$ e un Resto $R = 2$.
15. Risposta B ($\frac{2x^3}{3} + 3x + 7\ln|x-2| + c$)
Eseguiamo la divisione completa: $(2x^3-4x^2+3x+1) / (x-2)$.
Il quoziente è $2x^2+3$ (il termine di primo grado si annulla durante i calcoli) e il resto finale è $7$.
L’integrale diventa: $\int (2x^2 + 3 + \frac{7}{x-2}) dx = \frac{2x^3}{3} + 3x + 7\ln|x-2|$.
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La divisione polinomiale non è difficile in sé, ma richiede un livello di attenzione e disciplina altissimo: basta dimenticare di invertire un singolo segno meno durante i passaggi per compromettere l’intero esercizio e calcolare un logaritmo sbagliato. Nei miei corsi completi ti mostro lo schema visivo per organizzare la divisione algebrica in modo pulito e sicuro, riducendo a zero le sviste da distrazione e blindando il tuo punteggio all’esame.