Integrali di Fratte con Denominatore di Secondo Grado e $\Delta > 0$

Quando il denominatore della nostra frazione è un polinomio di secondo grado ($ax^2 + bx + c$) e il numeratore ha un grado inferiore (grado 1 o 0), la primissima cosa da calcolare è il Delta ($\Delta = b^2 – 4ac$).

Se il $\Delta > 0$, significa che il polinomio ha due soluzioni reali e distinte ($x_1$ e $x_2$), e la parabola interseca l’asse delle ascisse in due punti. In questo caso, scende in campo la tecnica della Scomposizione in Fratti Semplici.

L’obiettivo è “spezzare” la frazione complessa in due frazioni semplicissime di primo grado, che sappiamo già integrare sotto forma di logaritmi!

Ecco i 4 passi del metodo, disciplina e niente panico:

1. Scomponi il denominatore: Trova $x_1$ e $x_2$ e scrivi il denominatore come $a(x – x_1)(x – x_2)$.
2. Imposta i fratti: Uguaglia la tua frazione originaria a una somma di due frazioni incognite: $\frac{A}{x – x_1} + \frac{B}{x – x_2}$.
3. Calcola $A$ e $B$: Fai il minimo comune multiplo a destra e crea un’identità tra i numeratori. Assegnando a $x$ i valori strategici delle radici $x_1$ e $x_2$, troverai magicamente i numeri $A$ e $B$.
4. Integra: Riscrivi l’integrale come somma di due logaritmi: $A \ln|x – x_1| + B \ln|x – x_2|$.

Attenzione alla Regola d’Oro: Prima di lanciarti in questi 4 calcoli, controlla sempre se il numeratore è esattamente la derivata del denominatore. Se lo è, la risposta è subito il logaritmo del denominatore!

Mettiti alla prova con questi 15 quiz in difficoltà crescente per padroneggiare la tecnica.

I 15 Quiz: Fratti Semplici con $\Delta > 0$

Livello Base: Scomposizione e Calcolo di A e B

1. Qual è la corretta scomposizione del denominatore nell’integrale $\int \frac{1}{x^2 – 4} dx$?

• A) $(x-2)^2$
• B) $(x-4)(x+4)$
• C) $(x-2)(x+2)$
• D) Non è scomponibile

2. Come si imposta il metodo dei fratti semplici per la frazione $\frac{1}{x^2 – 4}$?

• A) $\frac{A}{x-2} + \frac{B}{x+2}$
• B) $\frac{A}{x-2} + \frac{B}{x-2}$
• C) $\frac{Ax+B}{x^2-4}$
• D) $\frac{A}{x^2} – \frac{B}{4}$

3. Trovando i valori di $A$ e $B$ per l’identità $\frac{2}{x^2 – 1} = \frac{A}{x-1} + \frac{B}{x+1}$, quali sono i risultati corretti?

• A) $A = 2, B = -2$
• B) $A = 1, B = -1$
• C) $A = 1, B = 1$
• D) $A = 0, B = 2$

4. Calcola $\int \frac{2}{x^2 – 1} dx$

• A) $2\ln|x-1| – 2\ln|x+1| + c$
• B) $\ln|x-1| + \ln|x+1| + c$
• C) $\ln|x^2-1| + c$
• D) $\ln|x-1| – \ln|x+1| + c$

5. Scomponi il denominatore $x^2 – 3x + 2$. Quali sono i suoi fattori?

• A) $(x-3)(x+2)$
• B) $(x-1)(x-2)$
• C) $(x+1)(x+2)$
• D) $(x-1)(x+2)$

Livello Intermedio: Applicazione Pratica e Trabocchetti

6. Calcola $\int \frac{1}{x^2 – 3x + 2} dx$

• A) $\ln|x-2| – \ln|x-1| + c$
• B) $\ln|x-1| – \ln|x-2| + c$
• C) $\frac{1}{2}\ln|x^2-3x+2| + c$
• D) $2\ln|x-2| + \ln|x-1| + c$

7. [TRABOCCHETTO] Calcola $\int \frac{x}{x^2 – 4} dx$ (Controlla bene prima di fare i fratti semplici!)

• A) $\ln|x-2| + \ln|x+2| + c$
• B) $\frac{1}{2}\ln|x^2-4| + c$
• C) $x\ln|x^2-4| + c$
• D) $\frac{1}{4}\ln|x-2| – \frac{1}{4}\ln|x+2| + c$

8. Calcola $\int \frac{3}{x^2 + x – 2} dx$

• A) $\ln|x-1| + \ln|x+2| + c$
• B) $3\ln|x-1| – 3\ln|x+2| + c$
• C) $\ln|x-1| – \ln|x+2| + c$
• D) $-\ln|x-1| + \ln|x+2| + c$

9. Calcola $\int \frac{x – 3}{x^2 – 3x + 2} dx$

• A) $\ln|x^2-3x+2| + c$
• B) $2\ln|x-1| – \ln|x-2| + c$
• C) $\ln|x-2| – 2\ln|x-1| + c$
• D) $-\ln|x-2| + 2\ln|x-1| + c$

10. Calcola $\int \frac{4}{x^2 – 4} dx$

• A) $\ln|x-2| – \ln|x+2| + c$
• B) $4\ln|x-2| – 4\ln|x+2| + c$
• C) $\frac{1}{2}\ln|x-2| – \frac{1}{2}\ln|x+2| + c$
• D) $2\ln|x-2| + 2\ln|x+2| + c$

Livello Avanzato: Proprietà dei Logaritmi e Divisioni Preventive

11. Come si può riscrivere in modo più compatto il risultato $\ln|x-1| – \ln|x+1| + c$ applicando le proprietà dei logaritmi?

• A) $\ln|(x-1)(x+1)| + c$
• B) $\ln\left|\frac{x-1}{x+1}\right| + c$
• C) $\frac{\ln|x-1|}{\ln|x+1|} + c$
• D) $\ln|x^2-1| + c$

12. Calcola $\int \frac{2x+1}{x^2 – 5x + 6} dx$

• A) $7\ln|x-3| – 5\ln|x-2| + c$
• B) $5\ln|x-3| + 7\ln|x-2| + c$
• C) $-5\ln|x-3| + 7\ln|x-2| + c$
• D) $\frac{1}{2}\ln|x^2-5x+6| + c$

13. [TRABOCCHETTO] Calcola $\int \frac{4x – 2}{x^2 – x – 6} dx$

• A) $4\ln|x-3| – 2\ln|x+2| + c$
• B) $2\ln|x^2-x-6| + c$
• C) $\ln|x-3| + \ln|x+2| + c$
• D) $\ln|x^2-x-6| + c$

14. Cosa devi fare PRIMA di applicare i fratti semplici per risolvere $\int \frac{x^2}{x^2 – 1} dx$?

• A) Porre $t = x^2$
• B) Raccogliere $x$ al numeratore
• C) Eseguire la divisione polinomiale tra numeratore e denominatore
• D) Integrare per parti

15. [SFIDA] Calcola $\int \frac{x^2 + 2}{x^2 – 3x + 2} dx$ (Esegui prima la divisione polinomiale!)

• A) $x + 6\ln|x-2| – 3\ln|x-1| + c$
• B) $x + 3\ln|x-2| + 6\ln|x-1| + c$
• C) $\frac{x^3}{3} + \ln|x^2-3x+2| + c$
• D) $x – 6\ln|x-2| + 3\ln|x-1| + c$

Soluzioni e Svolgimenti Passo Passo

Hai gestito bene le costanti A e B? Confronta il tuo procedimento.

1. Risposta C ($(x-2)(x+2)$)

È una classica differenza di quadrati. Le soluzioni (radici) del denominatore posto a zero sono $+2$ e $-2$.

2. Risposta A ($\frac{A}{x-2} + \frac{B}{x+2}$)

Il metodo prevede la creazione di due frazioni che abbiano come denominatore i singoli fattori di primo grado in cui è stato scomposto il denominatore di partenza.

3. Risposta B ($A = 1, B = -1$)

Facendo il m.c.m. a destra: $\frac{A(x+1) + B(x-1)}{(x-1)(x+1)}$. Uguagliamo i numeratori: $2 = A(x+1) + B(x-1)$.

Se sostituiamo $x=1$, otteniamo $2 = A(2) \Rightarrow A=1$.

Se sostituiamo $x=-1$, otteniamo $2 = B(-2) \Rightarrow B=-1$.

4. Risposta D ($\ln|x-1| – \ln|x+1| + c$)

Sostituendo $A$ e $B$ calcolati prima, l’integrale diventa $\int (\frac{1}{x-1} – \frac{1}{x+1}) dx$. Essendo derivate elementari (livello base), otteniamo la sottrazione dei due logaritmi.

5. Risposta B ($(x-1)(x-2)$)

Trova due numeri la cui somma sia $-3$ e il cui prodotto sia $+2$. I numeri sono $-1$ e $-2$.

6. Risposta A ($\ln|x-2| – \ln|x-1| + c$)

Impostiamo $\frac{1}{(x-2)(x-1)} = \frac{A}{x-2} + \frac{B}{x-1}$.

Numeratori: $1 = A(x-1) + B(x-2)$.

Per $x=2 \Rightarrow 1 = A(1) \Rightarrow A=1$.

Per $x=1 \Rightarrow 1 = B(-1) \Rightarrow B=-1$.

Integrando $\frac{1}{x-2} – \frac{1}{x-1}$ otteniamo la risposta A.

7. Risposta B ($\frac{1}{2}\ln|x^2-4| + c$)

TRABOCCHETTO! Il denominatore è $x^2-4$. La sua derivata è $2x$. A numeratore abbiamo $x$. Non servono i fratti semplici! Basta applicare il trucco della costante: $\frac{1}{2} \int \frac{2x}{x^2-4} dx = \frac{1}{2}\ln|x^2-4|$. Lavora furbo, risparmia tempo!

8. Risposta C ($\ln|x-1| – \ln|x+2| + c$)

Fattori: $(x-1)(x+2)$. Identità: $3 = A(x+2) + B(x-1)$.

Per $x=1 \Rightarrow 3 = 3A \Rightarrow A=1$.

Per $x=-2 \Rightarrow 3 = -3B \Rightarrow B=-1$.

Risultato: $\ln|x-1| – \ln|x+2| + c$.

9. Risposta D ($-\ln|x-2| + 2\ln|x-1| + c$)

Fattori: $(x-2)(x-1)$. Identità: $x-3 = A(x-1) + B(x-2)$.

Per $x=2 \Rightarrow -1 = A(1) \Rightarrow A=-1$.

Per $x=1 \Rightarrow -2 = B(-1) \Rightarrow B=2$.

Integrale: $\int (\frac{-1}{x-2} + \frac{2}{x-1}) dx$.

10. Risposta A ($\ln|x-2| – \ln|x+2| + c$)

$4 = A(x+2) + B(x-2)$. Per $x=2 \Rightarrow 4 = 4A \Rightarrow A=1$. Per $x=-2 \Rightarrow 4 = -4B \Rightarrow B=-1$.

11. Risposta B ($\ln\left|\frac{x-1}{x+1}\right| + c$)

La differenza di due logaritmi con la stessa base si può compattare nel logaritmo del quoziente degli argomenti. I professori amano scrivere i risultati in questa forma chiusa!

12. Risposta A ($7\ln|x-3| – 5\ln|x-2| + c$)

Fattori: $(x-3)(x-2)$. Identità: $2x+1 = A(x-2) + B(x-3)$.

Per $x=3 \Rightarrow 7 = A(1) \Rightarrow A=7$.

Per $x=2 \Rightarrow 5 = B(-1) \Rightarrow B=-5$.

Integrale: $\int (\frac{7}{x-3} – \frac{5}{x-2}) dx$.

13. Risposta B ($2\ln|x^2-x-6| + c$)

ALTRO TRABOCCHETTO! Guarda il numeratore: raccogliendo il 2 diventa $2(2x – 1)$.

La derivata del denominatore è proprio $2x – 1$.

Quindi: $\int \frac{2(2x-1)}{x^2-x-6} dx = 2 \int \frac{2x-1}{x^2-x-6} dx = 2\ln|x^2-x-6| + c$.

14. Risposta C (Eseguire la divisione polinomiale tra numeratore e denominatore)

Regola tassativa per le funzioni fratte: se il grado del numeratore (2) è maggiore o UGUALE a quello del denominatore (2), DEVI fare prima la divisione. Se non lo fai, l’identità di A e B darà risultati assurdi.

15. Risposta A ($x + 6\ln|x-2| – 3\ln|x-1| + c$)

Grado numeratore = grado denominatore. Facciamo la divisione: $(x^2+2) / (x^2-3x+2)$. Quoziente $Q=1$, Resto $R=3x$.

Riscriviamo: $\int 1 dx + \int \frac{3x}{x^2-3x+2} dx$.

Il primo pezzo fa $x$.

Per il secondo pezzo facciamo i fratti semplici: $3x = A(x-1) + B(x-2)$.

Se $x=2 \Rightarrow 6 = A(1) \Rightarrow A=6$.

Per $x=1 \Rightarrow 3 = B(-1) \Rightarrow B=-3$.

Unendo tutto si ottiene la risposta A.

💡 Padroneggia l’Integrazione e supera l’esame

Come hai visto, il vero rischio in questi esercizi è la “fretta”. Applicare alla cieca i fratti semplici senza prima fare il test della derivata a numeratore (la famosa Regola d’Oro) ti fa perdere un sacco di tempo e aumenta il rischio di errori algebrici. Nei miei corsi avanzati ti insegno la procedura esatta (lo “scanner”) da applicare ogni volta che vedi una funzione fratta, per capire in meno di 5 secondi quale strada prendere, dal Delta al completamento del quadrato. Non sprecare fatica, ottimizza il metodo!