Fino ad ora abbiamo calcolato integrali definiti “perfetti”, in cui la funzione era continua e l’intervallo di integrazione era limitato, ad esempio tra $a = 1$ e $b = 5$.
Ma in matematica (e in fisica) ci troviamo spesso a dover calcolare aree che si estendono all’infinito, oppure aree sotto funzioni che “esplodono” verso un asintoto verticale.
In questi casi, la formula di Torricelli-Barrow si blocca: non possiamo sostituire il simbolo dell’infinito (o un punto in cui la funzione non esiste) al posto della $x$!
La soluzione? L’uso dei limiti.
Esistono due tipologie principali di Integrali Impropri:
INDICE
1. Intervallo di integrazione illimitato (Tipo 1)
Accade quando uno o entrambi gli estremi di integrazione sono $\pm\infty$.
Si risolve sostituendo l’infinito con una lettera (es. $M$) e calcolando il limite per $M$ che tende a infinito:
$$\int_a^{+\infty} f(x) dx = \lim_{M \to +\infty} \int_a^M f(x) dx$$
2. Funzione illimitata (Tipo 2)
Accade quando la funzione ha un asintoto verticale in uno degli estremi di integrazione (o al suo interno).
Si risolve sostituendo il punto “problematico” (es. $b$) con una variabile e facendone il limite:
$$\int_a^b f(x) dx = \lim_{\epsilon \to 0^+} \int_a^{b-\epsilon} f(x) dx$$
I tre destini di un integrale improprio:
Quando risolvi il limite finale, l’integrale improprio può:
- Convergere: se il limite dà un numero finito (l’area, pur essendo illimitata, ha un valore preciso!).
- Divergere: se il limite fa $\pm\infty$ (l’area è infinita).
- Essere Indeterminato: se il limite non esiste (es. funzioni oscillanti come seno e coseno all’infinito).
Mettiti alla prova con questi 15 quiz in ordine di difficoltà crescente. Scopri quali aree “infinite” nascondono un numero finito!
I 15 Quiz: Integrali Impropri e Limiti
Livello Base: Impostazione Teorica e Primi Limiti
1. Come si imposta correttamente il calcolo dell’integrale improprio $\int_1^{+\infty} f(x) dx$?
- A) $\lim_{x \to +\infty} f(x)$
- B) $\lim_{M \to +\infty} \int_1^M f(x) dx$
- C) Si sostituisce $+\infty$ al posto di $x$ nella primitiva
- D) $\int_1^0 f(x) dx + \lim_{x \to +\infty} f(x)$
2. Cosa significa affermare che un integrale improprio “converge”?
- A) Che l’area calcolata è zero
- B) Che la funzione integranda tende a zero
- C) Che il limite dell’integrale definito esiste ed è un numero reale finito
- D) Che l’integrale vale $+\infty$
3. Calcola l’integrale improprio $\int_1^{+\infty} \frac{1}{x^2} dx$
- A) Diverge a $+\infty$
- B) Converge a $0$
- C) Converge a $1$
- D) Converge a $\frac{1}{2}$
4. Calcola l’integrale improprio $\int_1^{+\infty} \frac{1}{x} dx$
- A) Converge a $1$
- B) Diverge a $+\infty$
- C) Converge a $0$
- D) Indeterminato
5. L’integrale $\int_0^1 \frac{1}{x} dx$ è un integrale improprio. Perché?
- A) Perché l’intervallo è troppo piccolo
- B) Perché la funzione $1/x$ non è definita ed è illimitata nell’estremo $x=0$
- C) Perché $1/x$ è negativa
- D) Non è un integrale improprio
Livello Intermedio: Criteri di Convergenza e Radici
6. Calcola $\int_0^1 \frac{1}{x} dx$ impostando il limite.
- A) Converge a $1$
- B) Diverge a $+\infty$
- C) Converge a $0$
- D) Diverge a $-\infty$
7. Calcola $\int_0^1 \frac{1}{\sqrt{x}} dx$
- A) Diverge a $+\infty$
- B) Converge a $\frac{1}{2}$
- C) Converge a $1$
- D) Converge a $2$
8. [CRITERIO FONDAMENTALE] L’integrale $\int_1^{+\infty} \frac{1}{x^p} dx$ per quali valori di $p$ CONVERGE?
- A) Per ogni $p \ge 1$
- B) Per $p > 1$
- C) Per $p < 1$
- D) Per ogni $p > 0$
9. [CRITERIO FONDAMENTALE] L’integrale $\int_0^1 \frac{1}{x^p} dx$ per quali valori di $p$ CONVERGE?
- A) Per $p > 1$
- B) Per $p \ge 1$
- C) Per $p < 1$
- D) Diverge sempre
10. In base al criterio appena visto, l’integrale $\int_1^{+\infty} \frac{1}{\sqrt{x}} dx$ converge o diverge?
- A) Converge, perché l’esponente è $1/2$
- B) Diverge, perché l’esponente $p = 1/2$ è minore di $1$
- C) Converge a $\sqrt{2}$
- D) Indeterminato
Livello Avanzato: Funzioni Esponenziali e Sostituzioni
11. Calcola l’integrale improprio $\int_0^{+\infty} e^{-x} dx$
- A) Diverge a $+\infty$
- B) Converge a $0$
- C) Converge a $1$
- D) Converge a $e$
12. Calcola l’integrale improprio $\int_{-\infty}^0 e^x dx$
- A) Converge a $1$
- B) Converge a $-1$
- C) Diverge a $+\infty$
- D) Indeterminato
13. Calcola l’integrale $\int_2^{+\infty} \frac{1}{x^3} dx$
- A) Converge a $\frac{1}{4}$
- B) Converge a $\frac{1}{8}$
- C) Converge a $1$
- D) Diverge
14. Calcola l’integrale $\int_1^{+\infty} \frac{x}{x^2+1} dx$ (Suggerimento: che logaritmo viene fuori?)
- A) Converge a $\frac{1}{2}\ln(2)$
- B) Converge a $\ln(2)$
- C) Diverge a $+\infty$
- D) Converge a $0$
15. [SFIDA] Calcola $\int_0^{+\infty} x e^{-x^2} dx$
- A) Converge a $1$
- B) Converge a $\frac{1}{2}$
- C) Diverge a $+\infty$
- D) Converge a $0$
Soluzioni e Svolgimenti Passo Passo
Lavorare con l’infinito non è mai banale. Riguarda i passaggi algebrici dei limiti!
1. Risposta B ($\lim_{M \to +\infty} \int_1^M f(x) dx$)
È la definizione rigorosa di integrale improprio su un intervallo illimitato. Mai sostituire direttamente $+\infty$ nei calcoli primari.
2. Risposta C (Che il limite dell’integrale definito esiste ed è un numero reale finito)
Convergenza significa che, nonostante l’area geometrica “continui all’infinito”, essa diventa così sottile e schiacciata sull’asse da avere una superficie totale calcolabile e finita.
3. Risposta C (Converge a $1$)
$\lim_{M \to +\infty} \int_1^M x^{-2} dx = \lim_{M \to +\infty} \left[ -\frac{1}{x} \right]_1^M = \lim_{M \to +\infty} \left( -\frac{1}{M} – (-1) \right)$.
Poiché $1/M$ tende a $0$ per $M \to +\infty$, il risultato è $0 + 1 = 1$.
4. Risposta B (Diverge a $+\infty$)
$\lim_{M \to +\infty} [\ln x]_1^M = \lim_{M \to +\infty} (\ln M – \ln 1) = +\infty – 0 = +\infty$.
5. Risposta B (Perché la funzione non è definita ed è illimitata in $x=0$)
È un integrale improprio di “Tipo 2”. Nell’estremo $0$ c’è un asintoto verticale, quindi bisogna usare il limite destro: $\lim_{\epsilon \to 0^+}$.
6. Risposta B (Diverge a $+\infty$)
$\lim_{\epsilon \to 0^+} \int_{\epsilon}^1 \frac{1}{x} dx = \lim_{\epsilon \to 0^+} [\ln x]_{\epsilon}^1 = \lim_{\epsilon \to 0^+} (\ln 1 – \ln \epsilon)$.
Poiché $\ln(0^+)$ tende a $-\infty$, abbiamo $0 – (-\infty) = +\infty$.
7. Risposta D (Converge a $2$)
$\lim_{\epsilon \to 0^+} \int_{\epsilon}^1 x^{-1/2} dx = \lim_{\epsilon \to 0^+} [2\sqrt{x}]_{\epsilon}^1 = \lim_{\epsilon \to 0^+} (2\sqrt{1} – 2\sqrt{\epsilon}) = 2 – 0 = 2$.
8. Risposta B (Per $p > 1$)
Questa è una regola d’oro da mandare a memoria: all’infinito, le funzioni del tipo $1/x^p$ schiacciano abbastanza in fretta l’area solo se l’esponente del denominatore è strettamente maggiore di $1$.
9. Risposta C (Per $p < 1$)
Attenzione! Vicino allo zero (asintoto verticale), la regola si inverte rispetto all’infinito. La funzione diverge più “lentamente”, permettendo all’area di essere finita, solo se l’esponente è strettamente minore di $1$.
10. Risposta B (Diverge, perché l’esponente $p = 1/2$ è minore di $1$)
L’integrale è valutato a $+\infty$. Essendo $1/2 < 1$, per la regola vista al quiz 8, la funzione “scende troppo lentamente” verso l’asse $x$ e accumula un’area infinita.
11. Risposta C (Converge a $1$)
La primitiva di $e^{-x}$ è $-e^{-x}$.
$\lim_{M \to +\infty} [-e^{-x}]_0^M = \lim_{M \to +\infty} (-e^{-M} – (-e^0))$.
Poiché $e^{-\infty}$ tende a $0$ ed $e^0 = 1$, il limite fa $0 – (-1) = 1$.
12. Risposta A (Converge a $1$)
L’estremo “problematico” è $-\infty$. $\lim_{M \to -\infty} \int_M^0 e^x dx = \lim_{M \to -\infty} [e^x]_M^0 = \lim_{M \to -\infty} (e^0 – e^M) = 1 – 0 = 1$.
13. Risposta B (Converge a $\frac{1}{8}$)
$\lim_{M \to +\infty} \int_2^M x^{-3} dx = \lim_{M \to +\infty} \left[ -\frac{1}{2x^2} \right]_2^M = \lim_{M \to +\infty} \left( -\frac{1}{2M^2} – (-\frac{1}{2(2)^2}) \right)$.
Il termine in $M$ si annulla, resta $\frac{1}{2 \cdot 4} = \frac{1}{8}$.
14. Risposta C (Diverge a $+\infty$)
La primitiva (usando la regola della costante) è $\frac{1}{2}\ln(x^2+1)$.
$\lim_{M \to +\infty} \left[ \frac{1}{2}\ln(x^2+1) \right]_1^M = \frac{1}{2}\ln(+\infty) – \frac{1}{2}\ln(2) = +\infty$.
15. Risposta B (Converge a $\frac{1}{2}$)
La derivata dell’esponente $-x^2$ è $-2x$. Dobbiamo moltiplicare per $-2$ dentro e $-\frac{1}{2}$ fuori. La primitiva è $-\frac{1}{2} e^{-x^2}$.
$\lim_{M \to +\infty} \left[ -\frac{1}{2} e^{-x^2} \right]_0^M = \lim_{M \to +\infty} \left( -\frac{1}{2} e^{-M^2} – (-\frac{1}{2} e^0) \right)$.
Siccome $e^{-\infty}$ tende a $0$, il risultato è $0 + \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$.
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