LIMITI: FORME DETERMINATE E INDETERMINATE

Le forme determinate e quelle indeterminate sui limiti sono il primo e vero step che riguarda il calcolo matematico dei limiti.

Dobbiamo infatti sapere che quando ci troviamo nei limiti che riguardano le funzioni ad una variabile possiamo trovare due casistiche

Ovvero le forme determinate e quelle indeterminate dei limiti.

Quando ci troviamo di fronte ad una forma determinata sappiamo come risolverla.

Mentre quando ci troviamo di fronte ad una forma indeterminata dobbiamo risolverla usando metodi alternativi,

Oggi vediamo come distinguerle nelle varie operazioni.

COME CALCOLARE UN LIMITE

Per prima cosa andiamo a definire come si calcola un limite.

Se consideriamo una funzione ad una variabile reale:

Scritta anche nella forma:

 e inoltre consideriamo un suo generico punto di accumulazione x₀.

Se vogliamo calcolare matematicamente il limite di f(x) per x che tende ad x₀, allora dobbiamo sostituire questo punto all’interno dell’equazione della funzione.

Quindi diremo che:

Ad esempio se vogliamo calcolare il limite per x che tende a 3 della funzione:

Scriviamo:

Semplice no?

In realtà la questione diventa un po’ più complessa quando si fanno presenti due “quantità” molto particolari nell’ambito dei limiti.

Ci riferiamo agli infiniti e agli infinitesimi.

INFINITI E INFINITESIMI

Prima di partire a studiare i limiti della funzioni è bene definire cosa si intende per infiniti e infinitesimi.

Per infinito nella logica dei limiti si intende una quantità molto grande, immensa, vastissima.

Sono esempi di infiniti:

Il simbolo che viene usato per identificare gli infiniti è:

Possiamo associare concretamente al concetto di infinito:

• Deserti e praterie sconfinate
• La popolazione mondiale
• L’universo e le sue costellazioni

Sul lato opposto troviamo gli infinitesimi:

Per infinitesimo intendiamo una quantità molto piccola, apparentemente insignificante.

Anche se in realtà questo oggetto può racchiudere in se infiniti mondi.

Esempi di quantità infinitamente piccole, infinitesimi appunto sono:

Possiamo in un modo più concreto concepire queste quantità riferendoci ad esempio a:

• Granelli di sabbia
• Cellule
• Atomi

NUMERI, INFINITI E INFINITESIMI NELLE BASILARI OPERAZIONI

Prima dell’introduzione dei limiti la matematica si occupava di quantità certe, definite.

L’introduzione del concetto di infiniti e infinitesimi ha un forte impatto sul nostro modo di fare matematica.

Quindi la seconda cosa che dobbiamo assolutamente vedere prima di buttarci a capofitto nelle funzioni è vedere come la presenza di questo nuove quantità modifica le operazioni tradizionali.

Con il termine operazioni tradizionali intendiamo dire tutte quelle operazioni che hanno accompagnato la nostra vita matematica fino ad oggi:

• Somma e differenza
• Moltiplicazione
• Divisione
• Potenza 

Aggiungiamo a queste quel tipo di operazioni un po’ meno tradizionali:

• Esponenziali
• Logaritmi

Nota bene:

Da ora in poi useremo questa simbologia:

STAI PREPARANDO L’ESAME DI MATEMATICA

Se stai preparando il tuo esame e vuoi un valido aiuto scopri tutti i corsi.

Per informazioni scrivi un commento sotto l’articolo

SOMMA E DIFFERENZA

Le prime operazioni che abbiamo incontrato quando eravamo alle scuole elementari sono la somma e la differenza.

Tutti sappiamo che se sommiamo o sottraiamo un numero ad un altro numero otteniamo un numero.

Se invece sommiamo ad un numero lo zero (quantità molto piccola o trascurabile) quello che otteniamo è ancora il numero:

Mentre se sommiamo ad un infinitesimo un infinitesimo otteniamo ancora un infinitesimo.

Quando sommiamo o sottraiamo ad un numero una quantità infinita è il numero ad essere trascurabile e ci resta a quantità infinita.

Quando sommiamo ad una quantità molto grande un’altra quantità molto grande(infinito più infinito) otteniamo una quantità molto grande:

Lo stesso vale quando la cosa è tutta in negativo

Attenzione che più infinito meno infinito è una forma indeterminata dei limiti!!!

SOMMA E DIFFERENZA: FORME DETERMINATE E INDETERMINATE

MOLTIPLICAZIONE

La secondo operazione in ordine di difficoltà è la moltiplicazione.

Tutto noi (almeno spero) sappiamo che se moltiplichiamo un numero per 1 otteniamo ancora il numero:

Quando il numero viene moltiplicato per zero ci restituisce zero.

Il che equivale a dire che se partiamo da una certa quantità e la moltiplichiamo per un numero molto picco tendiamo a rimpicciolire molto quella quantità.

Ovviamente se la quantità è già piccola di partenza (infinitesima) e la moltiplichiamo per un’altra quantità piccola il risultato resterà piccolo:

Se invece prendiamo un numero lo moltiplichiamo per infinito otteniamo infinito:

Mentre se prendiamo un infinito (quantità grande) e lo moltiplichiamo per infinitootteniamo una quantità ancora più grande.

Rappresenta invece una forma indeterminata:

MOLTIPLICAZIONE: LIMITI FORME DETERMINATE E INDETERMINATE

DIVISIONE

Quando abbiamo imparato la divisione nelle scuole elementari ci è stato insegnato che un numero diviso per un numero restituisce ancora un numero:

Nella logica dei limiti possiamo inserire il concetto di infinito e infinitesimo.

Se dividiamo un numero piccolo (zero) per un numero otteniamo zero.

Immaginate di avere zero euro e dividerlo per tre persone.

Chiaramente ad ogni persona dareste una cifra pari a zero euro.

Se prendiamo un numero e lo dividiamo per infinito che cosa otteniamo?

Pensiamo di trovarci davanti ad una torta.

Se dovessimo dividerla per 2 partecipanti daremo ad ogni partecipante una fetta pari a metà torta.

La stessa cosa funzionerebbe con 3, 4 e 5 partecipanti.

Ora immaginiamo di avere un numero molto grande di persone.

La fetta che spetterebbe ad ogni persona diventerebbe sempre più piccola, fino a diventare pari a zero.

In altre pare ad ogni partecipante spetterebbe una fetta infinitesima di torta.

Quindi possiamo concludere che:

Da queste due conclusioni appena date ne possiamo dare una terza.

Se dividiamo zero per infinito otteniamo zero:

Infatti se abbiamo una quantità già piccola e vogliamo dividerla per un numero grandequesta quantità diventa sempre più piccola.

VUOI IMPARARE LA MATEMATICA DEI LIMITI E DELLE FUNZIONI?

Scopri i corsi di matematica per completare al meglio la tua preparazione.

Passando invece sul lato dell’infinito se prendiamo una quantità infinita (molto grande) e la dividiamo per n volte, la quantità resterà sempre grande (anche se un po’ meno grande).

Pensiamo ad esempio ai punti di una retta (che sono infiniti).

Se dividiamo la retta in due semirette, ogni semiretta ha sempre infiniti punti.

Oppure per fare un esempio più concreto, se prendessimo il patrimonio di Berlusconi e lo dividiamo per i suoi cinque figli, ad ogni figlio resterà comunque una quantità di patrimonio comunque grande.

E qualora dividessimo un numero per zero?

Qui le cose sembrano un po’ più complicate ma cerchiamo di fare un semplice ragionamento per risolvere il mistero.

Prendiamo dei semplici numeri.

Se dividiamo 6 per 3 otteniamo 2, e qui dovremmo essere tutti d’accordo.

Scambiamo il denominatore a sinistra con il numeratore a destra otteniamo ancora un’affermazione vera.

Questo certamente vale per ogni terni di numeri reali a,b e c.

Tornando all’affermazione che un numero fratto infinito fa zero:

Allora potremmo certamente affermare che un numero su zero fa infinito.

Dividere un numero per 0 significa dunque far diventare più grande il numero.

Quindi non ci sono problemi ad affermare che dividendo un numero già grande (infinito) per un numero piccolo (zero) questo numero diventi ancora più grande:

Per quanto riguarda invece le seguenti divisioni:

Sono forme indeterminate dei limiti.

DIVISIONE: FORME DETERMINATE E INDETERMINATE

POTENZE DI INFINITI E INFINITESIMI

Cosa succede se facciamo una potenza di infinito (+∞) ? 

Partiamo dal caso in cui l’esponente sia un numero positivo ad esempio 3.

Otteniamo infinito.

Mentre se prendiamo come esponente un numero negativo, ad esempio –3.

Otteniamo zero.

In conclusione:

E se invece facessimo la potenza di un infinitesimo ?

Anche qui consideriamo un esponente positivo, come ad esempio 3:

Otteniamo zero.

Quando invece abbiamo un esponente negativo:

Otteniamo infinito.

Ricapitolando:

Elevando invece 1 alla qualsiasi numero otteniamo sempre 1.

Badiamo bene che nei casi in cui l’esponente vale zero:

 sono forme indeterminate dei limiti.

POTENZA: LIMITI FORME DETERMINATE E INDETERMINATE

ESPONENZIALI DI INFINITI E INFINITESIMI

Cosa succede quando eleviamo un numero alla infinito (esponenziale di infinito).

Per prima cosa agganciamo ci alla funzione esponenziale:

Che sappiamo esistere solo quando la base a:

Cominciamo con il considerare una base maggiore di 1, ad esempio il 2.

Ora andiamo a fissare il segno dell’infinito, partiamo dal più infinito.

Quando continuiamo a raddoppiare un numero questo continua a diventare sempre più grande, tendendo ad infinito.

Se invece prendiamo a riferimento un infinito di segno negativo:

Prendiamo ora a riferimento una base compresa tra 0 e 1, ad esempio 1/2:

Cominciamo con il considerare 

Non c’è dobbiamo sul fatto che continuando a dimezzare un numero all’infinito questo diventi sempre più piccolo, tendendo a zero.

Se prendiamo come riferimento un esponente negativo:

In sintesi  possiamo anche affermare che:

Quando all’esponente (con le caratteristiche descritte) finisce un infinitesimo il risultato vale 1.

Anche quando eleviamo lo zero o l’infinito alla infinito  abbiamo una  forma nota:

In particolare abbiamo che:

Attenzione che i casi:

Sono forme indeterminate dei limiti.

ESPONENZIALI: LIMITI FORME DETERMINATE E INDETERMINATE

FORME LOGARITICHE.

Cosa fanno il logaritmi di infiniti e infinitesimi ?

Andiamo ad enunciare le seguenti regole per le funzioni logaritmiche:

Dopo questa rispolverata mentale siamo finalmente pronti a fare esercizi sulle forme determinate dei limiti.

HAI QUALCHE DOMANDA?

Se hai qualche domanda che riguarda le forme determinate e indeterminate dei limiti scrivi un commento sotto.

In questo modo aiuterai molti altri utenti a rispondere alle loro domande.

Per approfondire i temi della matematica scopri tutti i corsi.