Integrale di Somme di Funzioni: Proprietà di Linearità, Esercizi e Quiz

Se hai imparato a memoria la tabella degli integrali elementari, sei già a metà dell’opera. Ma cosa succede quando all’esame ti trovi davanti una funzione lunghissima, piena di termini sommati e sottratti tra loro?

Niente panico! L’integrale gode di una proprietà fantastica chiamata linearità. Questa proprietà si divide in due regole d’oro:

1. L’integrale di una somma è la somma degli integrali:$$\int [f(x) + g(x)] dx = \int f(x) dx + \int g(x) dx$$Significa che puoi “spezzare” un integrale lunghissimo in tanti integrali piccoli e facili!
2. Le costanti moltiplicative escono fuori dall’integrale:$$\int k \cdot f(x) dx = k \int f(x) dx$$I numeri che moltiplicano le funzioni non danno fastidio: li copi fuori e integri solo la funzione con la $x$.

Unendo queste due regole, possiamo risolvere facilmente l’integrale di qualsiasi polinomio o combinazione lineare di funzioni.

Mettiti alla prova con questi 15 quiz in ordine di difficoltà crescente. Ricordati sempre di aggiungere la costante $+ c$ alla fine!

I 15 Quiz: Risolvi gli Integrali di Somme

Livello Base: Polinomi semplici

1. Calcola $\int (x + 2) dx$

• A) $\frac{x^2}{2} + 2 + c$
• B) $x^2 + 2x + c$
• C) $\frac{x^2}{2} + 2x + c$
• D) $1 + c$

2. Calcola $\int (3x^2 – 4x + 1) dx$

• A) $x^3 – 2x^2 + x + c$
• B) $3x^3 – 4x^2 + x + c$
• C) $6x – 4 + c$
• D) $x^3 – 4x^2 + 1 + c$

3. Calcola $\int (x^4 – x^2 + 5) dx$

• A) $\frac{x^5}{5} – \frac{x^3}{3} + 5 + c$
• B) $4x^3 – 2x + c$
• C) $\frac{x^5}{5} – \frac{x^3}{3} + 5x + c$
• D) $x^5 – x^3 + 5x + c$

4. Calcola $\int (2x^3 + 4x) dx$

• A) $\frac{x^4}{2} + 2x^2 + c$
• B) $\frac{x^4}{4} + \frac{x^2}{2} + c$
• C) $6x^2 + 4 + c$
• D) $2x^4 + 4x^2 + c$

5. Calcola $\int (x – 1)^2 dx$ (Suggerimento: sviluppa prima il quadrato!)

• A) $\frac{x^3}{3} – 1 + c$
• B) $\frac{x^3}{3} – x^2 + x + c$
• C) $2(x – 1) + c$
• D) $\frac{x^2}{2} – x + c$

Livello Intermedio: Misto Trascendenti e Frazioni

6. Calcola $\int (e^x + \frac{1}{x}) dx$

• A) $e^x – \frac{1}{x^2} + c$
• B) $e^x + \ln|x| + c$
• C) $x e^{x-1} + \ln|x| + c$
• D) $e^x \cdot \ln|x| + c$

7. Calcola $\int (\sin x + \cos x) dx$

• A) $\cos x – \sin x + c$
• B) $-\cos x – \sin x + c$
• C) $-\cos x + \sin x + c$
• D) $\cos x + \sin x + c$

8. Calcola $\int (\frac{2}{x} – 3e^x) dx$

• A) $2\ln|x| – 3e^x + c$
• B) $\ln|2x| – 3e^x + c$
• C) $-\frac{2}{x^2} – 3e^x + c$
• D) $2x – 3e^x + c$

9. Calcola $\int (\sqrt{x} + 2) dx$

• A) $\frac{1}{2\sqrt{x}} + 2x + c$
• B) $\frac{2}{3}x\sqrt{x} + 2 + c$
• C) $\frac{2}{3}x^{3/2} + 2x + c$
• D) $x^{3/2} + 2x + c$

10. Calcola $\int (\frac{1}{x^2} + x) dx$

• A) $-\frac{1}{x} + \frac{x^2}{2} + c$
• B) $-\frac{2}{x^3} + \frac{x^2}{2} + c$
• C) $\ln|x^2| + \frac{x^2}{2} + c$
• D) $\frac{1}{x} + x^2 + c$

Livello Avanzato: Manipolazioni Algebriche

11. Calcola $\int \frac{x^2 + 1}{x} dx$ (Suggerimento: spezza la frazione in due parti)

• A) $\frac{\frac{x^3}{3} + x}{\frac{x^2}{2}} + c$
• B) $x + \ln|x| + c$
• C) $\frac{x^2}{2} + \ln|x| + c$
• D) $2x + c$

12. Calcola $\int (2\sin x – 4\cos x) dx$

• A) $-2\cos x – 4\sin x + c$
• B) $2\cos x + 4\sin x + c$
• C) $-2\cos x + 4\sin x + c$
• D) $2\sin x – 4\cos x + c$

13. Calcola $\int (3^x + \frac{1}{\cos^2 x}) dx$

• A) $3^x \ln 3 + \tan x + c$
• B) $\frac{3^x}{\ln 3} + \cot x + c$
• C) $\frac{3^x}{\ln 3} + \tan x + c$
• D) $3^x + \tan x + c$

14. Calcola $\int \frac{x^3 – 2x^2 + x}{x} dx$ (Assumendo $x \neq 0$)

• A) $\frac{x^3}{3} – x^2 + x + c$
• B) $x^2 – 2x + 1 + c$
• C) $\frac{x^4}{4} – \frac{2x^3}{3} + \frac{x^2}{2} + c$
• D) $3x^2 – 4x + 1 + c$

15. Calcola $\int (e^x + \frac{1}{1+x^2} – 5) dx$

• A) $e^x + \arcsin x – 5x + c$
• B) $e^x + \arctan x – 5x + c$
• C) $e^x + \ln(1+x^2) – 5x + c$
• D) $e^x – \frac{2x}{(1+x^2)^2} – 5 + c$

Soluzioni e Svolgimenti Passo Passo

Hai spezzato bene i termini? Controlla qui i passaggi.

1. Risposta C ($\frac{x^2}{2} + 2x + c$)

Spezziamo: $\int x dx + \int 2 dx$. L’integrale di $x$ è $\frac{x^2}{2}$, l’integrale della costante $2$ è $2x$.

2. Risposta A ($x^3 – 2x^2 + x + c$)

I coefficienti rimangono: $3 \int x^2 dx – 4 \int x dx + \int 1 dx$.

Diventa: $3(\frac{x^3}{3}) – 4(\frac{x^2}{2}) + x$. Semplificando si ottiene $x^3 – 2x^2 + x$.

3. Risposta C ($\frac{x^5}{5} – \frac{x^3}{3} + 5x + c$)

Applichiamo la regola delle potenze termine a termine. Attenzione: l’integrale della costante $5$ è $5x$, non $5$!

4. Risposta A ($\frac{x^4}{2} + 2x^2 + c$)

$2 \int x^3 dx + 4 \int x dx = 2(\frac{x^4}{4}) + 4(\frac{x^2}{2}) = \frac{x^4}{2} + 2x^2$.

5. Risposta B ($\frac{x^3}{3} – x^2 + x + c$)

Non esiste la regola della potenza per le funzioni composte (o meglio, serve la derivata interna). Essendo un quadrato perfetto semplice, lo sviluppiamo: $\int (x^2 – 2x + 1) dx$. Integrando termine a termine si ottiene la risposta corretta.

6. Risposta B ($e^x + \ln|x| + c$)

Spezzo in due: l’integrale di $e^x$ è se stesso. L’integrale di $1/x$ è il logaritmo naturale del valore assoluto.

7. Risposta C ($-\cos x + \sin x + c$)

L’integrale di $\sin x$ è $-\cos x$. L’integrale di $\cos x$ è $\sin x$.

8. Risposta A ($2\ln|x| – 3e^x + c$)

Portiamo fuori le costanti: $2 \int \frac{1}{x} dx – 3 \int e^x dx$. Il risultato è immediato.

9. Risposta C ($\frac{2}{3}x^{3/2} + 2x + c$)

$\int x^{1/2} dx + \int 2 dx$. Applichiamo la regola della potenza alla frazione: $\frac{x^{3/2}}{3/2}$ diventa $\frac{2}{3}x^{3/2}$.

10. Risposta A ($-\frac{1}{x} + \frac{x^2}{2} + c$)

Riscriviamo come $\int x^{-2} dx + \int x dx$. Il primo termine diventa $\frac{x^{-1}}{-1} = -\frac{1}{x}$.

11. Risposta C ($\frac{x^2}{2} + \ln|x| + c$)

TRUCCO FONDAMENTALE! Se hai un polinomio diviso per un monomio, spezza la frazione: $\int (\frac{x^2}{x} + \frac{1}{x}) dx = \int (x + \frac{1}{x}) dx$. Ora integriamo: $\frac{x^2}{2} + \ln|x|$.

12. Risposta A ($-2\cos x – 4\sin x + c$)

Isoliamo le costanti: $2 \int \sin x dx – 4 \int \cos x dx$. Dato che $\int \sin x dx = -\cos x$, otteniamo $-2\cos x – 4\sin x$.

13. Risposta C ($\frac{3^x}{\ln 3} + \tan x + c$)

Entrambi sono integrali elementari. Ricorda di dividere per il $\ln 3$ nell’esponenziale a base diversa da $e$.

14. Risposta A ($\frac{x^3}{3} – x^2 + x + c$)

Come nell’esercizio 11, se il denominatore è una semplice $x$, dividiamo tutto: $\int (\frac{x^3}{x} – \frac{2x^2}{x} + \frac{x}{x}) dx = \int (x^2 – 2x + 1) dx$. Ora integriamo termine a termine.

15. Risposta B ($e^x + \arctan x – 5x + c$)

L’integrale di $\frac{1}{1+x^2}$ è la famosissima arcotangente, uno degli integrali elementari da riconoscere al volo!

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