Se hai capito bene le derivate delle funzioni composte (la famosa “regola della catena”), gli integrali composti ti sembreranno un gioco da ragazzi. L’idea è esattamente quella di fare il percorso all’indietro!
La formula generale degli integrali di funzioni composte è:
$$\int f(g(x)) \cdot g'(x) dx = F(g(x)) + c$$
Cosa significa in pratica? Che se dentro l’integrale hai una funzione “inscatolata” dentro un’altra, per poterla integrare devi avere a moltiplicare la derivata della scatola interna ($g'(x)$).
Ecco le 3 casistiche più frequenti all’esame:
- Potenze e Radici: $\int [f(x)]^n \cdot f'(x) dx = \frac{[f(x)]^{n+1}}{n+1} + c$
- Esponenziali: $\int e^{f(x)} \cdot f'(x) dx = e^{f(x)} + c$
- Frazione che porta al Logaritmo: $\int \frac{f'(x)}{f(x)} dx = \ln|f(x)| + c$ (Se al numeratore c’è esattamente la derivata del denominatore, l’integrale è il logaritmo del denominatore!).
Il “Trucco della Costante”
E se la derivata $f'(x)$ è “quasi” giusta, ma le manca un numero? Nessun problema! Grazie alla linearità dell’integrale, possiamo moltiplicare e dividere per la stessa costante.
Esempio: $\int e^{2x} dx$. La derivata dell’esponente è $2$. Non c’è, ma posso aggiungerlo moltiplicando dentro per $2$ e dividendo fuori per $2$:
$\frac{1}{2} \int 2 e^{2x} dx = \frac{1}{2} e^{2x} + c$.
Mettiti alla prova con questi 15 quiz in difficoltà crescente. Trova la funzione “interna”, cerca la sua derivata e applica il trucco se necessario!
I 15 Quiz: Risolvi gli Integrali Composti
Livello Base: Derivata Interna Presente (Senza trucco)
1. Calcola $\int 2x(x^2 + 1)^3 dx$
- A) $\frac{(x^2+1)^4}{4} + c$
- B) $3(x^2+1)^2 + c$
- C) $\frac{2x(x^2+1)^4}{4} + c$
- D) $(x^2+1)^4 + c$
2. Calcola $\int \frac{2x}{x^2 + 5} dx$
- A) $\frac{1}{(x^2+5)^2} + c$
- B) $\ln(x^2+5) + c$
- C) $2x \ln(x^2+5) + c$
- D) $e^{x^2+5} + c$
3. Calcola $\int \cos x \cdot e^{\sin x} dx$
- A) $e^{\cos x} + c$
- B) $\sin x \cdot e^{\sin x} + c$
- C) $e^{\sin x} + c$
- D) $-e^{\sin x} + c$
4. Calcola $\int \frac{1}{x} \ln x dx$ (Suggerimento: vedilo come $\ln x \cdot \frac{1}{x}$)
- A) $\ln(\ln x) + c$
- B) $\frac{\ln^2 x}{2} + c$
- C) $\ln x + c$
- D) $\frac{1}{x^2} + c$
5. Calcola $\int 3x^2 \sqrt{x^3 + 1} dx$
- A) $\frac{2}{3}(x^3+1)^{3/2} + c$
- B) $\frac{1}{2\sqrt{x^3+1}} + c$
- C) $(x^3+1)^{3/2} + c$
- D) $x^3 \sqrt{x^3+1} + c$
Livello Intermedio: Il “Trucco della Costante”
6. Calcola $\int e^{3x} dx$
- A) $e^{3x} + c$
- B) $3e^{3x} + c$
- C) $\frac{1}{3}e^{3x} + c$
- D) $e^{3x^2/2} + c$
7. Calcola $\int x(x^2 – 4)^4 dx$
- A) $\frac{(x^2-4)^5}{5} + c$
- B) $\frac{(x^2-4)^5}{10} + c$
- C) $2x(x^2-4)^5 + c$
- D) $\frac{x^2(x^2-4)^5}{10} + c$
8. Calcola $\int \frac{x}{x^2 + 1} dx$
- A) $\ln(x^2+1) + c$
- B) $\frac{1}{x} \ln(x^2+1) + c$
- C) $\frac{1}{2}\ln(x^2+1) + c$
- D) $\arctan x + c$
9. Calcola $\int \sin(2x) dx$
- A) $\frac{1}{2}\cos(2x) + c$
- B) $-\frac{1}{2}\cos(2x) + c$
- C) $-\cos(2x) + c$
- D) $-2\cos(2x) + c$
10. Calcola $\int x e^{x^2} dx$
- A) $\frac{1}{2}e^{x^2} + c$
- B) $e^{x^2} + c$
- C) $2e^{x^2} + c$
- D) $\frac{x^2}{2} e^{x^2} + c$
Livello Avanzato: Fratte Particolari e Goniometria
11. Calcola $\int \frac{e^x}{e^x + 1} dx$
- A) $\frac{e^x}{(e^x+1)^2} + c$
- B) $\ln(e^x + 1) + c$
- C) $e^x \ln(e^x + 1) + c$
- D) $\frac{1}{e^x+1} + c$
12. Calcola $\int \frac{\sin x}{\cos^2 x} dx$ (Suggerimento: portalo su come potenza negativa)
- A) $\frac{1}{\cos x} + c$
- B) $\ln(\cos^2 x) + c$
- C) $-\frac{1}{\cos x} + c$
- D) $\tan^2 x + c$
13. Calcola $\int \frac{1}{x \ln x} dx$ (Suggerimento: chi è al denominatore e chi è la derivata?)
- A) $\ln x + c$
- B) $\frac{1}{\ln^2 x} + c$
- C) $\ln|\ln x| + c$
- D) $x \ln x – x + c$
14. Calcola $\int \tan x dx$ (Suggerimento: ricorda che $\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$)
- A) $\frac{1}{\cos^2 x} + c$
- B) $\ln|\sin x| + c$
- C) $-\ln|\cos x| + c$
- D) $\ln|\tan x| + c$
15. [SFIDA] Calcola $\int \frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}} dx$
- A) $\ln|\sqrt{x^2+1}| + c$
- B) $\frac{1}{2\sqrt{x^2+1}} + c$
- C) $2\sqrt{x^2+1} + c$
- D) $\sqrt{x^2+1} + c$
Soluzioni e Svolgimenti Passo Passo
La chiave per questi integrali è individuare sempre la funzione interna $f(x)$.
1. Risposta A ($\frac{(x^2+1)^4}{4} + c$)
La funzione base è $[f(x)]^3$ con $f(x)=x^2+1$. La sua derivata è $2x$, che è già presente fuori a moltiplicare. Applichiamo la regola della potenza: esponente $+1$ fratto il nuovo esponente.
2. Risposta B ($\ln(x^2+5) + c$)
Abbiamo una frazione. Il denominatore è $x^2+5$. La sua derivata è $2x$, che si trova esattamente al numeratore! Regola aurea: numeratore derivata del denominatore = logaritmo del denominatore.
3. Risposta C ($e^{\sin x} + c$)
Esponenziale composto: $e^{f(x)}$ dove $f(x) = \sin x$. La derivata di $\sin x$ è $\cos x$, presente a moltiplicare. L’integrale resta se stesso.
4. Risposta B ($\frac{\ln^2 x}{2} + c$)
Riscriviamolo: $\int (\ln x)^1 \cdot \frac{1}{x} dx$. La funzione è $f(x) = \ln x$ (elevata alla 1), la sua derivata è $1/x$. Applichiamo la regola della potenza: $\frac{(\ln x)^{1+1}}{2} = \frac{\ln^2 x}{2}$.
5. Risposta A ($\frac{2}{3}(x^3+1)^{3/2} + c$)
Riscriviamo: $\int (x^3+1)^{1/2} \cdot 3x^2 dx$. La derivata di $x^3+1$ è $3x^2$, già presente. Applichiamo la regola: $\frac{(x^3+1)^{3/2}}{3/2} = \frac{2}{3}(x^3+1)^{3/2}$.
6. Risposta C ($\frac{1}{3}e^{3x} + c$)
Funzione: $e^{3x}$. La derivata dell’esponente è $3$. Dobbiamo moltiplicare per $3$ dentro e per $\frac{1}{3}$ fuori: $\frac{1}{3} \int 3e^{3x} dx = \frac{1}{3}e^{3x}$.
7. Risposta B ($\frac{(x^2-4)^5}{10} + c$)
Funzione: $(x^2-4)^4$. La derivata della base è $2x$. Noi abbiamo solo $x$. Moltiplichiamo e dividiamo per 2: $\frac{1}{2} \int 2x(x^2-4)^4 dx = \frac{1}{2} \frac{(x^2-4)^5}{5} = \frac{(x^2-4)^5}{10}$.
8. Risposta C ($\frac{1}{2}\ln(x^2+1) + c$)
Denominatore: $x^2+1$. La sua derivata è $2x$. Al numeratore abbiamo solo $x$. Moltiplichiamo/dividiamo per 2: $\frac{1}{2} \int \frac{2x}{x^2+1} dx = \frac{1}{2}\ln(x^2+1)$.
9. Risposta B ($-\frac{1}{2}\cos(2x) + c$)
Funzione: $\sin(2x)$. Derivata dell’argomento è $2$. Trucco: $\frac{1}{2} \int 2\sin(2x) dx$. Poiché l’integrale del seno è il meno coseno, diventa $-\frac{1}{2}\cos(2x)$.
10. Risposta A ($\frac{1}{2}e^{x^2} + c$)
La derivata dell’esponente è $2x$. Aggiungiamo un 2: $\frac{1}{2} \int 2x e^{x^2} dx = \frac{1}{2}e^{x^2}$.
11. Risposta B ($\ln(e^x + 1) + c$)
Denominatore: $e^x+1$. La sua derivata è $e^x$. È esattamente il numeratore! Quindi: logaritmo del denominatore.
12. Risposta A ($\frac{1}{\cos x} + c$)
Riscriviamo l’integrale come $\int (\cos x)^{-2} \cdot \sin x dx$. La base è $\cos x$, la cui derivata è $-\sin x$. Dobbiamo aggiungere un meno dentro e uno fuori: $-\int (\cos x)^{-2} \cdot (-\sin x) dx$. Applichiamo la regola della potenza: $- \frac{(\cos x)^{-1}}{-1} = \frac{1}{\cos x}$.
13. Risposta C ($\ln|\ln x| + c$)
Riscriviamolo come $\int \frac{1/x}{\ln x} dx$. Il denominatore è $\ln x$, e la sua derivata è $1/x$, che sta esattamente al numeratore! È il logaritmo… del denominatore (che è un logaritmo!). Quindi $\ln|\ln x|$.
14. Risposta C ($-\ln|\cos x| + c$)
$\int \frac{\sin x}{\cos x} dx$. Denominatore: $\cos x$. Derivata: $-\sin x$. Al numeratore ci manca il segno meno. Trucco: $- \int \frac{-\sin x}{\cos x} dx = -\ln|\cos x|$.
15. Risposta D ($\sqrt{x^2+1} + c$)
Portiamo la radice a numeratore: $\int x(x^2+1)^{-1/2} dx$. La derivata della base è $2x$. Moltiplichiamo e dividiamo per 2: $\frac{1}{2} \int 2x(x^2+1)^{-1/2} dx$.
Regola potenza: $\frac{1}{2} \frac{(x^2+1)^{1/2}}{1/2} = \sqrt{x^2+1}$.