Uno degli errori più comuni quando si inizia a studiare le derivate è pensare che la derivata di un prodotto sia uguale al prodotto delle derivate. Niente di più falso!
Per derivare il prodotto tra due funzioni, dobbiamo usare la famosa Regola di Leibniz. In questo articolo vedremo come funziona la regola base, per poi spingerci oltre e imparare a derivare il prodotto tra tre funzioni.
INDICE
La Regola del Prodotto (2 Funzioni)
Se abbiamo una funzione $y = f(x) \cdot g(x)$, la sua derivata si calcola “a turno”: si deriva la prima e si moltiplica per la seconda non derivata, poi si somma la prima non derivata moltiplicata per la derivata della seconda.
$$D[f(x) \cdot g(x)] = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)$$
La Regola per 3 Funzioni
Cosa succede se abbiamo $y = f(x) \cdot g(x) \cdot h(x)$? Il principio è lo stesso: si deriva una funzione alla volta lasciando inalterate le altre due, e si somma tutto.
$$D[f \cdot g \cdot h] = f’gh + fg’h + fgh’$$
Mettiti alla prova con questi 15 Quiz in ordine di difficoltà crescente. Prendi carta e penna, e fai attenzione ai raccoglimenti algebrici nei risultati!
I 15 Quiz: Calcola la Derivata del Prodotto
Livello Base: Le prime applicazioni della regola
1. Calcola la derivata di $y = x \ln x$
- A) $\frac{1}{x}$
- B) $1$
- C) $\ln x + 1$
- D) $x \ln x + 1$
2. Calcola la derivata di $y = x^2 \sin x$
- A) $2x \cos x$
- B) $2x \sin x + x^2 \cos x$
- C) $x(2\sin x + \cos x)$
- D) $2x \sin x – x^2 \cos x$
3. Calcola la derivata di $y = x^3 e^x$
- A) $3x^2 e^x$
- B) $x^3 e^x + 3x^2$
- C) $x^2 e^x (x – 3)$
- D) $x^2 e^x (3 + x)$
4. Calcola la derivata di $y = e^x \ln x$
- A) $e^x \ln x + \frac{1}{x}$
- B) $e^x (\ln x + \frac{1}{x})$
- C) $\frac{e^x}{x}$
- D) $e^x (1 + \frac{1}{x})$
5. Calcola la derivata di $y = (x^2 – 1) e^x$
- A) $2x e^x$
- B) $e^x(x^2 – 1)$
- C) $e^x(x^2 + 2x – 1)$
- D) $e^x(x^2 – 2x – 1)$
Livello Intermedio: Radici, costanti e trigonometria
6. Calcola la derivata di $y = \sqrt{x} \ln x$
- A) $\frac{\ln x + 2}{2\sqrt{x}}$
- B) $\frac{\ln x}{2\sqrt{x}}$
- C) $\frac{\ln x + 1}{2\sqrt{x}}$
- D) $\frac{1}{2x\sqrt{x}}$
7. Calcola la derivata di $y = 5 \sin x \cos x$
- A) $5\cos 2x$
- B) $-5\sin^2 x$
- C) $5\cos^2 x$
- D) $5\sin 2x$
8. Calcola la derivata di $y = 3x^4 \cdot 2^x$
- A) $12x^3 \cdot 2^x \ln 2$
- B) $3x^3 \cdot 2^x (4 + x\ln 2)$
- C) $12x^3 \cdot x 2^{x-1}$
- D) $3x^4 \cdot 2^x \ln 2$
9. Calcola la derivata di $y = \sin x \ln x$
- A) $\frac{\cos x}{x}$
- B) $\cos x \ln x – \frac{\sin x}{x}$
- C) $\cos x \ln x + \frac{\sin x}{x}$
- D) $\cos x \ln x$
10. Calcola la derivata di $y = x^2 \sqrt{x}$
(Suggerimento: puoi usare la regola del prodotto, o trasformarla prima!)
- A) $2x\sqrt{x}$
- B) $\frac{3}{2}x\sqrt{x}$
- C) $\frac{5}{2}x\sqrt{x}$
- D) $2x \frac{1}{2\sqrt{x}}$
Livello Avanzato: Polinomi misti e il “Mostro” a 3 funzioni
11. Calcola la derivata di $y = (x^3 – 2x) \cos x$
- A) $(3x^2 – 2)\cos x + (x^3 – 2x)\sin x$
- B) $-(3x^2 – 2)\sin x$
- C) $3x^2 \cos x – x^3 \sin x$
- D) $(3x^2 – 2)\cos x – (x^3 – 2x)\sin x$
12. Calcola la derivata di $y = (x + 2\ln x) \cos x$
- A) $(1 + \frac{2}{x})\cos x – (x + 2\ln x)\sin x$
- B) $(1 + \frac{2}{x})\cos x + (x + 2\ln x)\sin x$
- C) $(1 + \frac{2}{x})\sin x$
- D) $-(1 + \frac{2}{x})\sin x$
13. [3 FUNZIONI] Calcola la derivata di $y = x e^x \sin x$
- A) $e^x (\sin x + x\sin x + x\cos x)$
- B) $e^x \cos x$
- C) $x e^x \cos x + e^x \sin x$
- D) $e^x(\sin x + \cos x)$
14. [3 FUNZIONI] Calcola la derivata di $y = x^2 \ln x \cos x$
- A) $2x\ln x\cos x – x^2\sin x$
- B) $2x \ln x \cos x + x \cos x – x^2 \ln x \sin x$
- C) $x(2\ln x\cos x + \cos x + x\ln x\sin x)$
- D) $2x \frac{1}{x} (-\sin x)$
15. [3 FUNZIONI] Calcola la derivata di $y = e^x \sin x \cos x$
- A) $e^x \cos 2x$
- B) $e^x(\frac{1}{2}\sin 2x + \cos 2x)$
- C) $e^x \sin x \cos x – e^x \sin^2 x$
- D) $e^x(\sin 2x + \cos 2x)$
Soluzioni e Svolgimenti Passo Passo
Di seguito trovi le risposte corrette e i passaggi algebrici completi per ogni derivata. Controlla bene i raccoglimenti, perché spesso i test a risposta multipla “nascondono” il risultato corretto in una forma compatta!
1. Risposta C ($\ln x + 1$)
Applichiamo la regola di Leibniz $D[f \cdot g] = f’g + fg’$:
$y’ = (1) \cdot \ln x + x \cdot \left(\frac{1}{x}\right) = \ln x + 1$
2. Risposta B ($2x \sin x + x^2 \cos x$)
Deriviamo un termine alla volta:
$y’ = D[x^2] \cdot \sin x + x^2 \cdot D[\sin x]$
$y’ = 2x \sin x + x^2 \cos x$
3. Risposta D ($x^2 e^x (3 + x)$)
La derivata è:
$y’ = (3x^2)e^x + (x^3)e^x$
Raccogliamo a fattor comune il termine $x^2 e^x$:
$y’ = x^2 e^x(3 + x)$
4. Risposta B ($e^x (\ln x + \frac{1}{x})$)
Ricordiamo che $D[e^x] = e^x$:
$y’ = e^x \ln x + e^x \left(\frac{1}{x}\right)$
Raccogliendo $e^x$ otteniamo:
$y’ = e^x \left(\ln x + \frac{1}{x}\right)$
5. Risposta C ($e^x(x^2 + 2x – 1)$)
Deriviamo il binomio e lasciamo l’esponenziale, poi viceversa:
$y’ = (2x)e^x + (x^2 – 1)e^x$
Raccogliamo l’esponenziale:
$y’ = e^x(2x + x^2 – 1) = e^x(x^2 + 2x – 1)$
6. Risposta A ($\frac{\ln x + 2}{2\sqrt{x}}$)
Attenzione alle semplificazioni con le radici:
$y’ = \left(\frac{1}{2\sqrt{x}}\right)\ln x + \sqrt{x} \left(\frac{1}{x}\right)$
Sappiamo che $\frac{\sqrt{x}}{x} = \frac{1}{\sqrt{x}}$, quindi la somma diventa:
$y’ = \frac{\ln x}{2\sqrt{x}} + \frac{1}{\sqrt{x}}$
Facendo il minimo comune multiplo ($2\sqrt{x}$):
$y’ = \frac{\ln x + 2}{2\sqrt{x}}$
7. Risposta A ($5\cos 2x$)
Il numero 5 è una costante moltiplicativa e si ricopia:
$y’ = 5 \cdot \left[ (\cos x)(\cos x) + (\sin x)(-\sin x) \right]$
$y’ = 5(\cos^2 x – \sin^2 x)$
Ricordando le formule di duplicazione goniometriche ($\cos^2 x – \sin^2 x = \cos 2x$), otteniamo $5\cos 2x$.
8. Risposta B ($3x^3 \cdot 2^x (4 + x\ln 2)$)
La derivata dell’esponenziale con base numerica è $D[a^x] = a^x \ln a$:
$y’ = (12x^3)2^x + (3x^4)(2^x \ln 2)$
Raccogliamo a fattor comune il blocco massimo, ovvero $3x^3 \cdot 2^x$:
$y’ = 3x^3 \cdot 2^x (4 + x\ln 2)$
9. Risposta C ($\cos x \ln x + \frac{\sin x}{x}$)
Semplice applicazione della regola base:
$y’ = (\cos x)\ln x + (\sin x)\left(\frac{1}{x}\right) = \cos x \ln x + \frac{\sin x}{x}$
10. Risposta C ($\frac{5}{2}x\sqrt{x}$)
Possiamo risolverla con la regola del prodotto:
$y’ = (2x)\sqrt{x} + x^2 \left(\frac{1}{2\sqrt{x}}\right) = 2x\sqrt{x} + \frac{x\sqrt{x}}{2} = \frac{5}{2}x\sqrt{x}$
(Un metodo più veloce è trasformare prima la funzione in potenze: $y = x^2 \cdot x^{1/2} = x^{5/2}$. Derivando si ottiene subito $\frac{5}{2}x^{3/2}$, ovvero $\frac{5}{2}x\sqrt{x}$).
11. Risposta D ($(3x^2 – 2)\cos x – (x^3 – 2x)\sin x$)
Deriviamo il polinomio e moltiplichiamo per il coseno, poi invertiamo:
$y’ = (3x^2 – 2)\cos x + (x^3 – 2x)(-\sin x)$
Sistemando i segni:
$y’ = (3x^2 – 2)\cos x – (x^3 – 2x)\sin x$
12. Risposta A ($(1 + \frac{2}{x})\cos x – (x + 2\ln x)\sin x$)
Simile alla precedente, attenzione alla derivata del logaritmo:
$y’ = \left(1 + 2 \cdot \frac{1}{x}\right)\cos x + (x + 2\ln x)(-\sin x)$
$y’ = \left(1 + \frac{2}{x}\right)\cos x – (x + 2\ln x)\sin x$
13. Risposta A ($e^x (\sin x + x\sin x + x\cos x)$)
Regola per tre funzioni: $D[fgh] = f’gh + fg’h + fgh’$.
- Deriviamo $x$: $(1) e^x \sin x = e^x \sin x$
- Deriviamo $e^x$: $x (e^x) \sin x = x e^x \sin x$
- Deriviamo $\sin x$: $x e^x (\cos x) = x e^x \cos x$Sommiamo i tre pezzi e raccogliamo $e^x$:$y’ = e^x (\sin x + x\sin x + x\cos x)$
14. Risposta B ($2x \ln x \cos x + x \cos x – x^2 \ln x \sin x$)
Applichiamo di nuovo la regola a tre funzioni:
- $D[x^2] \cdot \ln x \cdot \cos x = 2x \ln x \cos x$
- $x^2 \cdot D[\ln x] \cdot \cos x = x^2 \left(\frac{1}{x}\right) \cos x = x \cos x$
- $x^2 \cdot \ln x \cdot D[\cos x] = x^2 \ln x (-\sin x) = -x^2 \ln x \sin x$Sommando i blocchi si ottiene direttamente la risposta corretta.
15. Risposta B ($e^x(\frac{1}{2}\sin 2x + \cos 2x)$)
Regola per tre funzioni con un tocco di trigonometria finale:
- $D[e^x] \sin x \cos x = e^x \sin x \cos x$
- $e^x D[\sin x] \cos x = e^x (\cos x) \cos x = e^x \cos^2 x$
- $e^x \sin x D[\cos x] = e^x \sin x (-\sin x) = -e^x \sin^2 x$Sommiamo e raccogliamo $e^x$:$y’ = e^x (\sin x \cos x + \cos^2 x – \sin^2 x)$Ricordando che $\sin x \cos x = \frac{1}{2}\sin 2x$ e $\cos^2 x – \sin^2 x = \cos 2x$:$y’ = e^x \left(\frac{1}{2}\sin 2x + \cos 2x\right)$
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