Derivata di una Frazione (Quoziente): Regole, Esercizi Svolti e Quiz

Dopo aver visto la regola del prodotto, è il momento di affrontare la sua “sorella maggiore”: la derivata di un quoziente (o derivata di una frazione).

Molti studenti commettono l’errore di derivare semplicemente il numeratore e il denominatore separatamente. Sbagliato! Per derivare una funzione fratta $y = \frac{f(x)}{g(x)}$, devi usare una formula specifica:

$$D\left[\frac{f(x)}{g(x)}\right] = \frac{f'(x)g(x) – f(x)g'(x)}{[g(x)]^2}$$

Attenzione ai due errori più comuni:

1. C’è un segno MENO tra i due termini al numeratore (al contrario della regola del prodotto dove c’è il più). L’ordine in cui derivi è fondamentale!
2. Ricordati sempre di elevare al quadrato il denominatore alla fine.

Mettiti alla prova con questi 15 quiz in ordine di difficoltà crescente. Si parte dai polinomi e si arriva alle funzioni miste (esponenziali e goniometriche).

I 15 Quiz: Calcola la Derivata della Frazione

Livello Base: Frazioni Polinomiali

1. Calcola la derivata di $y = \frac{x+1}{x-1}$

• A) $\frac{2}{(x-1)^2}$
• B) $-\frac{2}{(x-1)^2}$
• C) $1$
• D) $\frac{2x}{(x-1)^2}$

2. Calcola la derivata di $y = \frac{5}{x^3+1}$

• A) $\frac{-15x^2}{(x^3+1)^2}$
• B) $\frac{15x^2}{(x^3+1)^2}$
• C) $-\frac{5}{3x^2}$
• D) $\frac{-15x}{(x^3+1)^2}$

3. Calcola la derivata di $y = \frac{x^4}{3x+2}$

• A) $\frac{4x^3}{3}$
• B) $\frac{x^3(3x+8)}{(3x+2)^2}$
• C) $\frac{x^3(9x+8)}{(3x+2)^2}$
• D) $\frac{12x^3 – 3x^4}{(3x+2)^2}$

4. Calcola la derivata di $y = \frac{x^2}{2-x^3}$

• A) $\frac{x(4+x^3)}{(2-x^3)^2}$
• B) $\frac{4x-x^4}{(2-x^3)^2}$
• C) $\frac{2x}{-3x^2}$
• D) $\frac{x(4-x^3)}{(2-x^3)^2}$

5. Calcola la derivata di $y = \frac{x^2-3x+5}{x^2-1}$

• A) $\frac{3(x^2-4x+1)}{(x^2-1)^2}$
• B) $\frac{2x-3}{2x}$
• C) $\frac{3x^2+12x-3}{(x^2-1)^2}$
• D) $\frac{3(x^2+4x-1)}{(x^2-1)^2}$

Livello Intermedio: Frazioni con Logaritmi ed Esponenziali

6. Calcola la derivata di $y = \frac{\ln x – 2}{x}$

• A) $\frac{1}{x^2}$
• B) $\frac{3 – \ln x}{x^2}$
• C) $\frac{\ln x – 3}{x^2}$
• D) $\frac{1 – \ln x}{x^2}$

7. Calcola la derivata di $y = \frac{x^2}{\ln x}$

• A) $\frac{2x}{\frac{1}{x}}$
• B) $\frac{x(2\ln x + 1)}{\ln^2 x}$
• C) $\frac{x(2\ln x – 1)}{\ln^2 x}$
• D) $\frac{2x\ln x – x^2}{\ln^2 x}$

8. Calcola la derivata di $y = \frac{2\ln x}{x^2}$

• A) $\frac{2(1-2\ln x)}{x^3}$
• B) $\frac{2(1+2\ln x)}{x^3}$
• C) $\frac{4\ln x}{x^3}$
• D) $\frac{1-4\ln x}{x^4}$

9. Calcola la derivata di $y = \frac{e^x}{x^2}$

• A) $\frac{e^x}{2x}$
• B) $\frac{e^x(x-2)}{x^3}$
• C) $\frac{e^x(2-x)}{x^3}$
• D) $\frac{e^x(x-2)}{x^4}$

10. Calcola la derivata di $y = \frac{3x^2-2}{e^x}$

• A) $\frac{-3x^2+6x+2}{e^x}$
• B) $\frac{3x^2-6x-2}{e^x}$
• C) $\frac{6x}{e^x}$
• D) $\frac{-3x^2+6x-2}{e^x}$

Livello Avanzato: Goniometriche e Miste

11. Calcola la derivata di $y = \frac{\sin x}{x}$

• A) $\cos x$
• B) $\frac{x\cos x – \sin x}{x^2}$
• C) $\frac{\cos x – \sin x}{x^2}$
• D) $\frac{x\cos x + \sin x}{x^2}$

12. Calcola la derivata di $y = \frac{x}{\cos x}$

• A) $\frac{\cos x + x\sin x}{\cos^2 x}$
• B) $\frac{\cos x – x\sin x}{\cos^2 x}$
• C) $\frac{1}{-\sin x}$
• D) $\frac{\sin x + x\cos x}{\cos^2 x}$

13. Calcola la derivata di $y = \frac{\cos x}{e^x}$

• A) $\frac{-\sin x + \cos x}{e^x}$
• B) $\frac{-(\sin x + \cos x)}{e^x}$
• C) $\frac{\sin x – \cos x}{e^x}$
• D) $\frac{-\sin x}{e^x}$

14. Calcola la derivata di $y = \frac{e^x}{\sin x}$

• A) $\frac{e^x(\sin x + \cos x)}{\sin^2 x}$
• B) $\frac{e^x(\cos x – \sin x)}{\sin^2 x}$
• C) $\frac{e^x(\sin x – \cos x)}{\sin^2 x}$
• D) $\frac{e^x}{\cos x}$

15. [SFIDA] Calcola la derivata di $y = \frac{(x-1)e^x}{x}$ (Attenzione: c’è un prodotto al numeratore!)

• A) $\frac{e^x(x^2+x-1)}{x^2}$
• B) $\frac{e^x(x^2-x+1)}{x^2}$
• C) $\frac{x e^x – e^x}{x^2}$
• D) $\frac{e^x(x-1)}{x^2}$

Soluzioni e Svolgimenti Passo Passo

Hai dubbi su un segno? Controlla i passaggi algebrici qui sotto!

1. Risposta B ($-\frac{2}{(x-1)^2}$)

$y’ = \frac{(1)(x-1) – (x+1)(1)}{(x-1)^2} = \frac{x – 1 – x – 1}{(x-1)^2} = -\frac{2}{(x-1)^2}$.

2. Risposta A ($\frac{-15x^2}{(x^3+1)^2}$)

Derivata del numeratore è 0.

$y’ = \frac{0 \cdot (x^3+1) – 5 \cdot (3x^2)}{(x^3+1)^2} = \frac{-15x^2}{(x^3+1)^2}$.

3. Risposta C ($\frac{x^3(9x+8)}{(3x+2)^2}$)

$y’ = \frac{4x^3(3x+2) – x^4(3)}{(3x+2)^2} = \frac{12x^4 + 8x^3 – 3x^4}{(3x+2)^2} = \frac{9x^4 + 8x^3}{(3x+2)^2}$.

Raccogliendo $x^3$ al numeratore otteniamo la C.

4. Risposta A ($\frac{x(4+x^3)}{(2-x^3)^2}$)

$y’ = \frac{2x(2-x^3) – x^2(-3x^2)}{(2-x^3)^2} = \frac{4x – 2x^4 + 3x^4}{(2-x^3)^2} = \frac{x^4 + 4x}{(2-x^3)^2}$.

Raccogliendo $x$: $\frac{x(x^3+4)}{(2-x^3)^2}$.

5. Risposta A ($\frac{3(x^2-4x+1)}{(x^2-1)^2}$)

$y’ = \frac{(2x-3)(x^2-1) – (x^2-3x+5)(2x)}{(x^2-1)^2}$.

Svolgendo i calcoli: $\frac{(2x^3 – 2x – 3x^2 + 3) – (2x^3 – 6x^2 + 10x)}{(x^2-1)^2}$.

I termini $2x^3$ si cancellano. Rimane: $\frac{3x^2 – 12x + 3}{(x^2-1)^2}$. Raccogliendo il 3 si ottiene la risposta A.

6. Risposta B ($\frac{3 – \ln x}{x^2}$)

$y’ = \frac{\left(\frac{1}{x}\right)x – (\ln x – 2)(1)}{x^2} = \frac{1 – \ln x + 2}{x^2} = \frac{3 – \ln x}{x^2}$.

7. Risposta C ($\frac{x(2\ln x – 1)}{\ln^2 x}$)

$y’ = \frac{2x(\ln x) – x^2\left(\frac{1}{x}\right)}{(\ln x)^2} = \frac{2x\ln x – x}{\ln^2 x}$.

Raccogliendo la $x$: $\frac{x(2\ln x – 1)}{\ln^2 x}$.

8. Risposta A ($\frac{2(1-2\ln x)}{x^3}$)

$y’ = \frac{\left(2 \cdot \frac{1}{x}\right)x^2 – 2\ln x(2x)}{x^4} = \frac{2x – 4x\ln x}{x^4}$.

Raccogliamo $2x$ al numeratore: $\frac{2x(1-2\ln x)}{x^4}$. Semplificando con $x^4$ sotto rimane $x^3$.

9. Risposta B ($\frac{e^x(x-2)}{x^3}$)

$y’ = \frac{e^x(x^2) – e^x(2x)}{x^4} = \frac{xe^x(x-2)}{x^4}$. Semplificando la $x$ rimane $\frac{e^x(x-2)}{x^3}$.

10. Risposta A ($\frac{-3x^2+6x+2}{e^x}$)

$y’ = \frac{(6x)e^x – (3x^2-2)e^x}{(e^x)^2}$. Raccogliamo $e^x$ al numeratore: $\frac{e^x(6x – 3x^2 + 2)}{e^{2x}}$.

Semplificando un $e^x$, otteniamo $\frac{-3x^2+6x+2}{e^x}$.

11. Risposta B ($\frac{x\cos x – \sin x}{x^2}$)

$y’ = \frac{(\cos x)x – (\sin x)(1)}{x^2} = \frac{x\cos x – \sin x}{x^2}$.

12. Risposta A ($\frac{\cos x + x\sin x}{\cos^2 x}$)

$y’ = \frac{(1)\cos x – x(-\sin x)}{\cos^2 x} = \frac{\cos x + x\sin x}{\cos^2 x}$.

Attenzione al doppio segno meno!

13. Risposta B ($\frac{-(\sin x + \cos x)}{e^x}$)

$y’ = \frac{(-\sin x)e^x – (\cos x)e^x}{(e^x)^2} = \frac{e^x(-\sin x – \cos x)}{e^{2x}} = \frac{-\sin x – \cos x}{e^x} = \frac{-(\sin x + \cos x)}{e^x}$.

14. Risposta C ($\frac{e^x(\sin x – \cos x)}{\sin^2 x}$)

$y’ = \frac{e^x(\sin x) – e^x(\cos x)}{\sin^2 x} = \frac{e^x(\sin x – \cos x)}{\sin^2 x}$.

15. Risposta B ($\frac{e^x(x^2-x+1)}{x^2}$)

Qui devi prima derivare il numeratore usando la regola del prodotto: $D[(x-1)e^x] = (1)e^x + (x-1)e^x = e^x(1+x-1) = x e^x$.

Ora applichiamo la regola del quoziente a tutta la frazione:

$y’ = \frac{(x e^x)x – [(x-1)e^x](1)}{x^2} = \frac{x^2 e^x – x e^x + e^x}{x^2}$.

Raccogliendo $e^x$ si ottiene $\frac{e^x(x^2-x+1)}{x^2}$.

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