Hai imparato a calcolare il rapporto incrementale in un punto specifico (es. $x=2$ o $x=-1$). Ma cosa succede se vogliamo una formula che valga per tutti i punti della funzione?
In questo articolo facciamo il salto di qualità. Non sostituiremo più un numero al posto della $x$, ma la lasceremo indicata. Calcolare il rapporto incrementale generico significa semplificare questa espressione:
$$R_f(h) = \frac{f(x + h) – f(x)}{h}$$
Il risultato finale sarà un’espressione contenente $x$ e $h$. Questa abilità algebrica è l’ultimo tassello che ti manca per capire la definizione di derivata (che è proprio il limite per $h \to 0$ di quello che calcoleremo oggi).
10 Quiz: Calcola il Rapporto Incrementale Generico
Per ogni funzione proposta, calcola il rapporto incrementale e cerca di semplificare l’$h$ al denominatore o di raccogliere i termini comuni. (link al quiz)
1. Polinomio Base
Funzione: $f(x) = 3x^2 – x$ (Tratto dalla foto 1, es. 5)
Domanda: Qual è l’espressione semplificata del rapporto incrementale?
- A) $6x – 1$
- B) $6x + 3h – 1$
- C) $3x + 3h – 1$
- D) $6xh + 3h^2 – h$
✅ Soluzione: B
- $f(x+h) = 3(x+h)^2 – (x+h) = 3(x^2+2xh+h^2) – x – h = 3x^2 + 6xh + 3h^2 – x – h$.
- Sottraiamo $f(x) = 3x^2 – x$. Resta: $6xh + 3h^2 – h$.
- Raccogliamo $h$: $h(6x + 3h – 1)$.
- Dividiamo per $h$: $6x + 3h – 1$.
2. Polinomio Completo
Funzione: $f(x) = x^2 – 4x + 8$ (Tratto dalla foto 1, es. 2)
Domanda: Determina il rapporto incrementale.
- A) $2x + h – 4$
- B) $2x – 4$
- C) $2x + h + 8$
- D) $h – 4$
✅ Soluzione: A
- $f(x+h) = (x+h)^2 – 4(x+h) + 8 = x^2 + 2xh + h^2 – 4x – 4h + 8$.
- Sottraiamo $f(x)$: i termini $x^2$, $-4x$ e $+8$ si cancellano.
- Resta: $2xh + h^2 – 4h$.
- Dividiamo per $h$: $2x + h – 4$.
3. Fratta Semplice
Funzione: $f(x) = \frac{x-5}{x}$ (Tratto dalla foto 1, es. 1)
Domanda: Calcola il rapporto incrementale.
- A) $\frac{5}{x(x+h)}$
- B) $-\frac{5}{x^2}$
- C) $\frac{5h}{x+h}$
- D) $\frac{1}{x+h}$
✅ Soluzione: A
- $f(x+h) = \frac{x+h-5}{x+h}$.
- Differenza: $\frac{x+h-5}{x+h} – \frac{x-5}{x}$.
- MCM al numeratore: $\frac{x(x+h-5) – (x-5)(x+h)}{x(x+h)}$.
- Svolgendo i conti al numeratore: $x^2+xh-5x – (x^2+xh-5x-5h) = 5h$.
- Dividendo per $h$, la $h$ si semplifica: $\frac{5}{x(x+h)}$.
4. Radice Quadrata
Funzione: $f(x) = \sqrt{x}$ (Tratto dalla foto 1, es. 8)
Domanda: Qual è il rapporto incrementale razionalizzato?
- A) $\frac{1}{\sqrt{x+h} – \sqrt{x}}$
- B) $\frac{1}{\sqrt{x}}$
- C) $\frac{1}{\sqrt{x+h} + \sqrt{x}}$
- D) $\sqrt{x+h} – \sqrt{x}$
✅ Soluzione: C
- Rapporto grezzo: $\frac{\sqrt{x+h} – \sqrt{x}}{h}$.
- Razionalizziamo moltiplicando e dividendo per $(\sqrt{x+h} + \sqrt{x})$.
- Numeratore diventa: $(x+h) – x = h$.
- Semplifichiamo $h$: $\frac{1}{\sqrt{x+h} + \sqrt{x}}$.
5. Fratta Lineare
Funzione: $f(x) = \frac{x+1}{x-1}$ (Tratto dalla foto 1, es. 11)
Domanda: Calcola il rapporto incrementale generico.
- A) $-\frac{2}{(x-1)^2}$
- B) $-\frac{2}{(x-1)(x+h-1)}$
- C) $\frac{2}{(x-1)(x+h-1)}$
- D) $\frac{h}{(x-1)^2}$
✅ Soluzione: B
- Differenza: $\frac{x+h+1}{x+h-1} – \frac{x+1}{x-1}$.
- MCM: $(x+h+1)(x-1) – (x+1)(x+h-1)$.
- Svolgendo i calcoli al numeratore, molti termini si cancellano e rimane $-2h$.
- Dividendo per $h$: $-\frac{2}{(x-1)(x+h-1)}$.
6. Fratta Mista
Funzione: $f(x) = \frac{3x^2-1}{x}$ (Tratto dalla foto 1, es. 4)
Domanda: Trova l’espressione corretta del rapporto incrementale.
- A) $\frac{3x^2+3xh+1}{x(x+h)}$
- B) $3 + \frac{1}{x(x+h)}$
- C) $\frac{3x^2+1}{x^2}$
- D) $3x + 3h$
✅ Soluzione: A
- Possiamo vederla come $3x – \frac{1}{x}$.
- Rapp. Incr. di $3x$ è $3$.
- Rapp. Incr. di $-\frac{1}{x}$ è $- (\frac{-1}{x(x+h)}) = \frac{1}{x(x+h)}$ (vedi esercizio simili).
- Sommando: $3 + \frac{1}{x(x+h)} = \frac{3x(x+h)+1}{x(x+h)} = \frac{3x^2+3xh+1}{x(x+h)}$.
7. Esponenziale Base
Funzione: $f(x) = e^x + 2$ (Tratto dalla foto 1, es. 13)
Domanda: Calcola il rapporto incrementale.
- A) $e^x(e^h-1)$
- B) $e^x \frac{e^h-1}{h}$
- C) $\frac{e^{x+h}-1}{h}$
- D) $e^x + h$
✅ Soluzione: B
- $f(x+h) = e^{x+h} + 2 = e^x \cdot e^h + 2$.
- Differenza: $(e^x \cdot e^h + 2) – (e^x + 2) = e^x(e^h – 1)$.
- Dividiamo per $h$: $e^x \frac{e^h-1}{h}$.
8. Logaritmo Neperiano
Funzione: $f(x) = 2 – \ln(x+1)$ (Tratto dalla foto 1, es. 3)
Domanda: Qual è l’espressione del rapporto incrementale?
- A) $-\frac{1}{h} \ln\left(1 + \frac{h}{x+1}\right)$
- B) $\frac{1}{h} \ln(x+h+1)$
- C) $-\frac{1}{x+1}$
- D) $\ln\left(\frac{x+1}{x+h+1}\right)$
✅ Soluzione: A
- Differenza: $[2 – \ln(x+h+1)] – [2 – \ln(x+1)] = \ln(x+1) – \ln(x+h+1)$.
- Proprietà logaritmi ($\ln a – \ln b = \ln \frac{a}{b}$): $\ln\left(\frac{x+1}{x+h+1}\right)$.
- Possiamo scriverlo come $\ln\left(\frac{x+1}{x+1+h}\right)$ oppure estrarre il segno meno: $-\ln\left(\frac{x+h+1}{x+1}\right) = -\ln\left(1 + \frac{h}{x+1}\right)$.
- Dividendo per $h$: $-\frac{1}{h} \ln\left(1 + \frac{h}{x+1}\right)$.
9. Esponenziale Composto
Funzione: $f(x) = e^{2x-1}$ (Tratto dalla foto 1, es. 3 bis)
Domanda: Determina il rapporto incrementale.
- A) $e^{2x-1} \frac{e^{2h}-1}{h}$
- B) $e^{2x-1} \frac{e^{h}-1}{h}$
- C) $2e^{2x-1}$
- D) $e^{2h}$
✅ Soluzione: A
- $f(x+h) = e^{2(x+h)-1} = e^{2x+2h-1} = e^{2x-1} \cdot e^{2h}$.
- Differenza: $e^{2x-1} \cdot e^{2h} – e^{2x-1}$.
- Raccogliamo $e^{2x-1}(e^{2h}-1)$.
- Dividiamo per $h$.
10. Radice Traslata
Funzione: $f(x) = \sqrt{x+1}$ (Tratto dalla foto 9, es. 12)
Domanda: Calcola il rapporto incrementale razionalizzato.
- A) $\frac{1}{\sqrt{x+h+1} + \sqrt{x+1}}$
- B) $\frac{1}{2\sqrt{x+1}}$
- C) $\sqrt{x+h+1} – \sqrt{x+1}$
- D) $\frac{h}{\sqrt{x+1}}$
✅ Soluzione: A
- Differenza: $\sqrt{x+h+1} – \sqrt{x+1}$.
- Razionalizziamo moltiplicando per la somma delle radici.
- Numeratore: $(x+h+1) – (x+1) = h$.
- Dividiamo per $h$ che si semplifica con quello al numeratore: $\frac{1}{\sqrt{x+h+1} + \sqrt{x+1}}$.
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