Equazione della Retta Tangente a una Curva: Esercizi e Quiz

Saper calcolare una derivata è solo metà dell’opera; il passo successivo è capirne il significato geometrico. La derivata prima di una funzione in un punto $x_0$ non è altro che il coefficiente angolare ($m$) della retta tangente al grafico in quel punto!

Per trovare l’equazione della retta tangente, ti serve la classica formula del fascio di rette:

$$y – y_0 = m(x – x_0)$$

Dove:

1. $x_0$ è l’ascissa del punto (in genere te la dà il problema).
2. $y_0 = f(x_0)$ è l’ordinata del punto (si trova sostituendo $x_0$ nella funzione di partenza).
3. $m = f'(x_0)$ è la pendenza (si trova calcolando la derivata prima e sostituendo $x_0$).

Mettiti alla prova con questi 15 quiz. Calcola il punto, fai la derivata, trova la pendenza e scrivi l’equazione!

I 15 Quiz: Trova la Retta Tangente

Livello Base: Polinomi

1. Trova l’equazione della retta tangente a $y = x^2$ nel punto $x_0 = 1$

• A) $y = x + 1$
• B) $y = 2x – 1$
• C) $y = 2x + 1$
• D) $y = x – 2$

2. Trova l’equazione della retta tangente a $y = x^3 – 2x$ nel punto $x_0 = 2$

• A) $y = 10x – 16$
• B) $y = 10x – 4$
• C) $y = 4x – 10$
• D) $y = 8x – 12$

3. Trova l’equazione della retta tangente a $y = -x^2 + 4x$ nel punto $x_0 = 2$

• A) $y = -2x + 8$
• B) $x = 2$
• C) $y = 4$
• D) $y = 2x$

4. Trova l’equazione della retta tangente a $y = x^4 + 1$ nel punto $x_0 = -1$

• A) $y = -4x + 2$
• B) $y = -4x – 2$
• C) $y = 4x + 6$
• D) $y = 4x – 2$

5. Trova l’equazione della retta tangente a $y = 2x^2 – x + 3$ nel punto $x_0 = 0$

• A) $y = -x + 3$
• B) $y = x + 3$
• C) $y = 3x – 1$
• D) $y = -x$

Livello Intermedio: Fratte, Radici e Trascendenti Base

6. Trova l’equazione della retta tangente a $y = \frac{1}{x}$ nel punto $x_0 = 1$

• A) $y = x + 2$
• B) $y = -x$
• C) $y = -x + 2$
• D) $y = -x – 2$

7. Trova l’equazione della retta tangente a $y = \sqrt{x}$ nel punto $x_0 = 4$

• A) $y = \frac{1}{4}x + 1$
• B) $y = 4x – 14$
• C) $y = \frac{1}{2}x$
• D) $y = \frac{1}{4}x + 2$

8. Trova l’equazione della retta tangente a $y = e^x$ nel punto $x_0 = 0$

• A) $y = x$
• B) $y = ex + 1$
• C) $y = x + 1$
• D) $y = e^x$

9. Trova l’equazione della retta tangente a $y = \ln x$ nel punto $x_0 = e$

• A) $y = \frac{1}{e}x$
• B) $y = ex – 1$
• C) $y = \frac{1}{e}x + 1$
• D) $y = x – e$

10. Trova l’equazione della retta tangente a $y = \frac{x+1}{x-1}$ nel punto $x_0 = 2$

• A) $y = -2x + 7$
• B) $y = 2x – 1$
• C) $y = -2x – 1$
• D) $y = -x + 5$

Livello Avanzato: Goniometriche e Funzioni Composte

11. Trova l’equazione della retta tangente a $y = \sin x$ nel punto $x_0 = \pi$

• A) $y = x – \pi$
• B) $y = -x + \pi$
• C) $y = -x$
• D) $y = x + \pi$

12. Trova l’equazione della retta tangente a $y = \cos(2x)$ nel punto $x_0 = \frac{\pi}{4}$

• A) $y = -2x + \frac{\pi}{2}$
• B) $y = 2x – \frac{\pi}{2}$
• C) $y = -x + \frac{\pi}{4}$
• D) $y = -2x$

13. Trova l’equazione della retta tangente a $y = e^{x^2}$ nel punto $x_0 = 1$

• A) $y = 2ex – e$
• B) $y = ex + e$
• C) $y = 2ex + e$
• D) $y = 2x – 1$

14. Trova l’equazione della retta tangente a $y = x \ln x$ nel punto $x_0 = 1$

• A) $y = x$
• B) $y = -x + 1$
• C) $y = x – 1$
• D) $y = \ln x$

15. Trova l’equazione della retta tangente a $y = \tan x$ nel punto $x_0 = \frac{\pi}{4}$

• A) $y = 2x – \frac{\pi}{2} + 1$
• B) $y = 2x + 1$
• C) $y = x – \frac{\pi}{4} + 1$
• D) $y = 2x – \frac{\pi}{4}$

Soluzioni e Svolgimenti Passo Passo

Verifica qui sotto i tuoi calcoli! Ricorda i tre passaggi fondamentali: trova $y_0$, calcola $f'(x)$ e ricava $m$.

1. Risposta B ($y = 2x – 1$)

Punto: $y_0 = 1^2 = 1$. Il punto è $P(1, 1)$.

Derivata: $y’ = 2x$. Pendenza: $m = 2(1) = 2$.

Retta: $y – 1 = 2(x – 1) \Rightarrow y = 2x – 2 + 1 \Rightarrow y = 2x – 1$.

2. Risposta A ($y = 10x – 16$)

Punto: $y_0 = 2^3 – 2(2) = 8 – 4 = 4$. Il punto è $P(2, 4)$.

Derivata: $y’ = 3x^2 – 2$. Pendenza: $m = 3(4) – 2 = 10$.

Retta: $y – 4 = 10(x – 2) \Rightarrow y = 10x – 20 + 4 \Rightarrow y = 10x – 16$.

3. Risposta C ($y = 4$)

Punto: $y_0 = -(2)^2 + 4(2) = -4 + 8 = 4$. $P(2, 4)$.

Derivata: $y’ = -2x + 4$. Pendenza: $m = -2(2) + 4 = 0$.

Essendo $m=0$, la tangente è orizzontale! Retta: $y – 4 = 0(x – 2) \Rightarrow y = 4$.

4. Risposta B ($y = -4x – 2$)

Punto: $y_0 = (-1)^4 + 1 = 2$. $P(-1, 2)$.

Derivata: $y’ = 4x^3$. Pendenza: $m = 4(-1)^3 = -4$.

Retta: $y – 2 = -4(x + 1) \Rightarrow y = -4x – 4 + 2 \Rightarrow y = -4x – 2$.

5. Risposta A ($y = -x + 3$)

Punto: $y_0 = 2(0)^2 – 0 + 3 = 3$. $P(0, 3)$.

Derivata: $y’ = 4x – 1$. Pendenza: $m = 4(0) – 1 = -1$.

Retta: $y – 3 = -1(x – 0) \Rightarrow y = -x + 3$.

6. Risposta C ($y = -x + 2$)

Punto: $y_0 = \frac{1}{1} = 1$. $P(1, 1)$.

Derivata: $y’ = -\frac{1}{x^2}$. Pendenza: $m = -\frac{1}{1^2} = -1$.

Retta: $y – 1 = -1(x – 1) \Rightarrow y = -x + 1 + 1 \Rightarrow y = -x + 2$.

7. Risposta A ($y = \frac{1}{4}x + 1$)

Punto: $y_0 = \sqrt{4} = 2$. $P(4, 2)$.

Derivata: $y’ = \frac{1}{2\sqrt{x}}$. Pendenza: $m = \frac{1}{2\sqrt{4}} = \frac{1}{4}$.

Retta: $y – 2 = \frac{1}{4}(x – 4) \Rightarrow y = \frac{1}{4}x – 1 + 2 \Rightarrow y = \frac{1}{4}x + 1$.

8. Risposta C ($y = x + 1$)

Punto: $y_0 = e^0 = 1$. $P(0, 1)$.

Derivata: $y’ = e^x$. Pendenza: $m = e^0 = 1$.

Retta: $y – 1 = 1(x – 0) \Rightarrow y = x + 1$.

9. Risposta A ($y = \frac{1}{e}x$)

Punto: $y_0 = \ln(e) = 1$. $P(e, 1)$.

Derivata: $y’ = \frac{1}{x}$. Pendenza: $m = \frac{1}{e}$.

Retta: $y – 1 = \frac{1}{e}(x – e) \Rightarrow y = \frac{1}{e}x – 1 + 1 \Rightarrow y = \frac{1}{e}x$.

10. Risposta A ($y = -2x + 7$)

Punto: $y_0 = \frac{2+1}{2-1} = 3$. $P(2, 3)$.

Derivata: $y’ = \frac{1(x-1) – (x+1)(1)}{(x-1)^2} = \frac{-2}{(x-1)^2}$.

Pendenza: $m = \frac{-2}{(2-1)^2} = -2$.

Retta: $y – 3 = -2(x – 2) \Rightarrow y = -2x + 4 + 3 \Rightarrow y = -2x + 7$.

11. Risposta B ($y = -x + \pi$)

Punto: $y_0 = \sin(\pi) = 0$. $P(\pi, 0)$.

Derivata: $y’ = \cos x$. Pendenza: $m = \cos(\pi) = -1$.

Retta: $y – 0 = -1(x – \pi) \Rightarrow y = -x + \pi$.

12. Risposta A ($y = -2x + \frac{\pi}{2}$)

Punto: $y_0 = \cos\left(2 \cdot \frac{\pi}{4}\right) = \cos\left(\frac{\pi}{2}\right) = 0$. $P\left(\frac{\pi}{4}, 0\right)$.

Derivata composta: $y’ = -2\sin(2x)$.

Pendenza: $m = -2\sin\left(2 \cdot \frac{\pi}{4}\right) = -2\sin\left(\frac{\pi}{2}\right) = -2(1) = -2$.

Retta: $y – 0 = -2\left(x – \frac{\pi}{4}\right) \Rightarrow y = -2x + \frac{\pi}{2}$.

13. Risposta A ($y = 2ex – e$)

Punto: $y_0 = e^{1^2} = e$. $P(1, e)$.

Derivata composta: $y’ = 2x e^{x^2}$. Pendenza: $m = 2(1)e^{1^2} = 2e$.

Retta: $y – e = 2e(x – 1) \Rightarrow y = 2ex – 2e + e \Rightarrow y = 2ex – e$.

14. Risposta C ($y = x – 1$)

Punto: $y_0 = 1 \cdot \ln(1) = 0$. $P(1, 0)$.

Derivata (prodotto): $y’ = 1 \cdot \ln x + x \cdot \frac{1}{x} = \ln x + 1$.

Pendenza: $m = \ln(1) + 1 = 0 + 1 = 1$.

Retta: $y – 0 = 1(x – 1) \Rightarrow y = x – 1$.

15. Risposta A ($y = 2x – \frac{\pi}{2} + 1$)

Punto: $y_0 = \tan\left(\frac{\pi}{4}\right) = 1$. $P\left(\frac{\pi}{4}, 1\right)$.

Derivata: $y’ = \frac{1}{\cos^2 x}$.

Pendenza: $m = \frac{1}{\cos^2(\pi/4)} = \frac{1}{(\frac{\sqrt{2}}{2})^2} = \frac{1}{\frac{1}{2}} = 2$.

Retta: $y – 1 = 2\left(x – \frac{\pi}{4}\right) \Rightarrow y = 2x – \frac{\pi}{2} + 1$.

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