EFFETTO SOSTITUZIONE

L’effetto sostituzione è la variazione del consumo del bene riconducibile alla variazione del prezzo relativo dei beni.

Questo effetti è sempre di segno opposto al cambiamento del prezzo.

Dunque se il prezzo di un bene diminuisce il consumatore diventa relativamente più ricco, dunque tenderà ad acquistare una parte maggiore di quel bene a scapito degli altri.

Quando ci troviamo a valutare tale effetto rispetto ad una iniziale situazione di equilibrio ci troviamo sulla stessa curva di livello iniziale.

EFFETTO SOSTITUZIONE CON DUE BENI

Supponiamo di trovarci in un’economia con soli due beni X e Y.

Il punto di equilibrio del consumatore cade nel paniere deve vi è la tangenza tra il vincolo di bilancio e la curva di indifferenza più alta raggiungibile.

Tale punto si trova mettendo a sistema l’equazione del vincolo di bilancio con l’eguaglianza del saggio marginale di sostituzione al rapporto tra i prezzi (x rispetto ad y) 

$$\begin{array}{l}V:\\\text{SMS}:\end{array}\ \begin{cases} P_x\ x+P_y\ y=R\\\frac{U’_x}{U’_y}=\frac{P_x}{P_y}\end{cases}$$

Notiamo che la seconda equazione messa a sistema, ovvero quella in cui il saggio marginale di sostituzione eguaglia il rapporto dei prezzi.

$$\frac{U’_x}{U’_y}=\frac{P_x}{P_y}$$

Questa equazione indica il fatto che nel punto di equilibrio la pendenza della curva di indifferenza eguaglia la pendenza del vincolo di bilancio.

Questo significa che la quantità di beni Y cui si deve rinunciare per ottenere una unità in più del bene X per lasciare inalterato il benesse è la stessa che permette di lasciare inalterata la spesa complessiva.

Definiamo 1 il punto di equilibrio iniziale con (x1, y1) le quantità scelte dal consumatore

Supponiamo ora che il prezzo del bene X ad esempio diminuisca passando da un prezzo Px ad un nuovo prezzo inferiore P’x.

In questo caso cambia il rapporto tra i prezzi relativi dei beni che diventa P’x/Py, detto anche prezzo relativo della X (in termini di prezzo di Y)

Tale rapporto della x ci sta dicendo che il consumatore diventa più disponibile ad acquistare ancora più beni X a scapito ovviamente di una certa quantità di Y.

Definiamo quindi effetto sostituzione proprio la quantità in questo caso aggiuntiva che il consumatore sarà disposto ad acquistare in questa nuova situazione di prezzo tale da mantenere intatto il suo benessere.

Quello che facciamo a livello grafico è quello di tracciare sempre sulla curva di indifferenza iniziale un vincolo di bilancio che rifletta con a sua pendenza la situazione il nuovo prezzo relativo.

Chiamiamo il nuovo punto di tangenza 2 in corrispondenza di una quantità (x2,y2).

L’effetto sostituzione è dato dalla differenza tra x2 e x1.

$$\text{effetto sostituzione}=x_2-x_1$$

CALCOLO MATEMATICO PER L’EFFETTO SOSTITUZIONE

Una volta determinato il paniere di equilibrio supponiamo di chiamarlo E1 (o semplicemente 1) che ci da le quantità ottime iniziali e l’utilità connessa a questo paniere U1

$$E_1=(x_1,y_1)\quad U(E_1)=U(x_1,y_1)=U_1$$

Per spostarci lungo la curva di indifferenza con la nuova situazione dei prezzi impostiamo il seguente sistema

$$\begin{cases} U((x,y)=U_1\\\frac{U’_x}{U’_y}=\frac{P’_x}{P_y}\end{cases}$$

La prima equazione ci dice che l’utilità nel punto incognito (x,y) è uguale all’utilità U1 calcolata in precedenza

Mentre la seconda equazione ci dice che il nuovo saggio marginale di sostituzione deve essere uguale al nuovo rapporto dei prezzi.

(attenzione che P’x è semplicemente il nuovo prezzo di x e non indica la derivata di qualcosa!)

ESEMPIO DI CALCOLO DELL’EFFETTO SOSTITUZIONE

Facciamo un esempio concreto già svolto in questo articolo

Ipotizziamo che un consumatore possa spendere tutto il proprio reddito tra due beni: cibo (X) e vestiti (Y).

Il reddito settimanale a disposizione è pari a 300.

Sappiamo inoltre che il prezzo del cibo (bene X) è 10 mentre quello dei vestiti (bene Y) è 20.

La funzione di utilità è data da U(x,y) = x·y²

Calcola l’effetto sostituzione quando il prezzo di x raddoppia.

SVOLGIMENTO 

Attraverso i dati iniziali del problema che sono

$$P_x=10\quad P_y=20\quad R=300\quad U(x,y)=xy^2$$

Impostando il seguente sistema

$$\begin{array}{l}V:\\\text{SMS}:\end{array}\ \begin{cases} x+2y=30\\\frac{y}{x}=\frac{10}{20}\end{cases}$$

Giungiamo a calcolare il punto di equilibrio di consumo che è E1 ed il valore dell’utilità U1 raggiunta dal consumatore in tale punto.

$$E_1=(10,10)\quad\to\quad U_1=1.000$$

(esercizio svolto nell’articolo dedicato all’equilibrio del consumatore) 

Ora viene la parte nuova perché il prezzo del bene X raddoppia passando da 10 a 20.

$$P’_x=20$$

Dunque impostiamo il nuovo sistema

$$\begin{cases} U((x,y)=U_1\\\frac{U’_x}{U’_y}=\frac{P’_x}{P_y}\end{cases}\ \to\ \begin{cases} xy^2=1.000\\\frac{y}{2x}=\frac{20}{20}\end{cases}$$

Dalla seconda equazione ricaviamo la y in funzione della x

\frac{y}{2x}=\frac{20}{20}\ \to\ y=2x$$

Dunque sostituiamo questo valore nella prima equazione

$$xy^2=1.000\ \to\ x(2x)^2=1.000\ \to\ 4x^3=1.000\ \to\ x=\sqrt[3]{\frac{1.000}{4}}\simeq6,3$$

Calcoliamo quindi il valore della corrispondente x reinserendo il risultato nella prima equazione

$$y\simeq2\cot6,3=12,6$$

Dunque il paniere che alla luce dei nuovi prezzi relativi darebbe al consumatore la stessa utilità di prima è il punto E2

$$E_2=(6,3\ ;\ 12,6)$$

Concentriamo la nostra attenzione sulla quantità di x che è passata da 10 a 3,15.

La differenza tra queste due quantità misura proprio l’effetto sostituzione

$$\text{effetto sostituzione (bene X)}=x_2-x_1=6,3-10=-3,7$$

In questo caso il differenziale è negativo poiché il consumatore indica  che il nostro consumatore rinuncerebbe a 3,7 unita di X per tenere lo stesso tenore (utilità) di prima.

Chiaramente a favore dell’altra quantità di Y (y2-y1) 

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