In questo articolo vediamo la relazione tra i ‘intensità istantanea di interesse ($\delta(t)$) ed il Fattore di Montante ($f(t)$): un aspetto di cruciale importanza nella teoria della matematica finanziaria.
INDICE
Calcolo del Fattore di Montante con l’intensità istantanea di interesse
Il Fattore di Montante $f(t)$ al tempo $t$ è pari all’esponenziale dell’integrale definito dell’intensità istantanea di interesse $\delta(u)$, calcolato da $0$ al tempo $t$:
$$f(t) = e^{\int_{0}^{t} \delta(u) du}$$
In altre parole, il valore accumulato di un’unità di capitale al tempo $t$ è ottenuto capitalizzando l’intensità di interesse cumulativa maturata in tutto l’intervallo $[0, t]$.
Dimostrazione
1. Definizione di $\delta(t)$
L’intensità istantanea di interesse è definita come la derivata logaritmica del fattore di montante $f(t)$:
$$\delta(t) = \frac{f'(t)}{f(t)} = \frac{d}{dt} [\ln(f(t))]$$
2. Integrazione
Per risalire a $f(t)$, si integra $\delta(t)$ su entrambi i lati rispetto al tempo $u$ nell’intervallo $[0, t]$:
$$\int_{0}^{t} \delta(u) du = \int_{0}^{t} \frac{d}{du} [\ln(f(u))] du$$
Per il teorema fondamentale del calcolo, l’integrale a destra è:
$$\int_{0}^{t} \delta(u) du = \ln(f(t)) – \ln(f(0))$$
3. Condizione Iniziale
Poiché il capitale unitario al tempo $t=0$ è $f(0)=1$, si ha $\ln(f(0)) = 0$. Sostituendo:
$$\int_{0}^{t} \delta(u) du = \ln(f(t))$$
4. Risultato Finale
Applicando l’esponenziale per isolare $f(t)$:
$$f(t) = e^{\int_{0}^{t} \delta(u) du}$$
Tre Esempi di Calcolo del Fattore di Montante
Utilizziamo la formula $f(t) = e^{\int_{0}^{t} \delta(u) du}$ per tre scenari.
Esempio 1: Intensità Istantanea Costante (Regime Composto)
Assumiamo che l’intensità sia costante: $\delta(t) = \delta = 0,05$.
$$\int_{0}^{t} 0,05 du = [0,05u]_{0}^{t} = 0,05t$$
$$f(t) = e^{0,05t}$$
Esempio 2: Intensità Istantanea Lineare Crescente
Assumiamo che l’intensità cresca: $\delta(t) = 0,04 + 0,01t$.
$$\int_{0}^{t} (0,04 + 0,01u) du = [0,04u + 0,01\frac{u^2}{2}]_{0}^{t} = 0,04t + 0,005t^2$$
$$f(t) = e^{0,04t + 0,005t^2}$$
Esempio 3: Intensità Istantanea Decrescente
Assumiamo che l’intensità decresca: $\delta(t) = \frac{0,1}{1 + t}$.
$$\int_{0}^{t} \frac{0,1}{1 + u} du = 0,1 [\ln(1 + u)]_{0}^{t} = 0,1 \ln(1 + t)$$
$$f(t) = e^{0,1 \ln(1 + t)}$$
Utilizzando la proprietà $a \ln(b) = \ln(b^a)$:
$$f(t) = e^{\ln((1 + t)^{0,1})} = (1 + t)^{0,1}$$
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